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Skalarprodukt von Vektoren

Beim Skalarprodukt (auch inneres Produkt oder Punktprodukt) handelt es sich um eine Verknüpfung, die zwei Vektoren eine Zahl (ein sogenanntes Skalar) zuordnet. Zum Berechnen des Skalarprodukts werden die Vektoren komponentenweise multipliziert und die Produkte aufsummiert.

Definitionen

Skalarprodukt

Gegeben seien eine natürliche Zahl \(n \in \N\) sowie ein (kommutativer) Ring oder Körper \(\mathcal{R}\), aus dem sämtliche Elemente stammen – beispielsweise ganze, rationale oder reelle Zahlen.

Beim Skalarprodukt von zwei Vektoren \(a,b \in \mathcal{R}^n\) handelt es sich um eine zweistellige Verknüpfung \(\mathcal{R}^n \times \mathcal{R}^n \rightarrow \mathcal{R}\), die wie folgt definiert ist:

\[ a \cdot b = |a| \cdot |b| \cdot \cos(\varphi). \]

Hierbei bezeichnen $|a|$ und $|b|$ die Längen der Vektoren $a$ und $b$; der zwischen den Vektoren $a$ und $b$ eingeschlossene Winkel ist mit $\varphi$ bezeichnet.

Koordinatenform des Skalarprodukts

Eine weitere Möglichkeit, das Skalarprodukt zweier Vektoren $a,b \in \mathcal{R}^n$ darzustellen, ist die Koordinatenform des Skalarprodukts. Hierbei wird das Ergebnis berechnet, indem die beiden Vektoren \(a\) und \(b\) elementweise multipliziert und die Produkte addiert werden:

\begin{align*} a \cdot b &= \sum\limits_{k=1}^{n}{a_kb_k} \\[0.5em] &= a_1 \cdot b_1 + \ldots + a_n \cdot b_n. \end{align*}

Wichtig: Das Skalarprodukt kann nur für Vektoren derselben Dimension berechnet werden.

Beispiele

Das erste Beispiel zeigt das Skalarprodukt zweier Vektoren des $\R^2$:

\[ \begin{bmatrix} -9 \\ -8 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \end{bmatrix} = (-9) \cdot 2 + (-8) \cdot 2 = -34 \]

Das zweite Beispiel zeigt das Skalarprodukt zweier Vektoren des $\R^4$, das analog zum ersten Beispiel funktioniert:

\[ \begin{bmatrix} -5 \\ -1 \\ 8 \\ -8 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} -5 \\ -5 \\ -7 \\ -7 \end{bmatrix} = (-5) \cdot (-5) + (-1) \cdot (-5) + 8 \cdot (-7) + (-8) \cdot (-7) = 30 \]

Eigenschaften

Kommutativität

Das Skalarprodukt von Vektoren $a,b \in \mathcal{R}^n$ ist kommutativ, falls die Elemente aus einem kommutativen Ring \(\mathcal{R}\) stammen; es gilt:

\[ a \cdot b = b \cdot a. \]

Die Kommutativität des Skalarprodukts kann wie folgt durch Nachrechnen gezeigt werden:

\begin{align*} a \cdot b &\overset{(1)}{=} \begin{pmatrix} a_1 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} b_1 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix} \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} a_1b_1 + \ldots + a_nb_n \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} b_1a_1 + \ldots + b_na_n \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} \begin{pmatrix} b_1 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a_1 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix} \\[0.75em] &\overset{(5)}{=} b \cdot a \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
  • Ersetzen der Vektoren \(a\) und \(b\) durch die entsprechenden Spaltenvektoren
(2)
  • Ausrechnen von \(a \cdot b\) gemäß Definition der Koordinatenform des Skalarprodukt
(3)
  • Die Gleichheit \(a_kb_k = b_ka_k\) (für \(1 \leq k \leq n\)) gilt aufgrund der Kommutativität der Multiplikation im kommutativen Ring \(\mathcal{R}\), aus dem sämtliche Elemente stammen
(4)
  • Ersetzen durch das Skalarprodukt \(b \cdot a\) gemäß Definition der Koordinatenform des Skalarprodukt
(5)
  • Ersetzen der Spaltenvektoren durch die Vektoren \(a\) und \(b\)

Distributivität

Das Skalarprodukt ist distributiv über der Addition und Subtraktion von Vektoren; es gilt:

\begin{align*} a \cdot \bigl( b \pm c \bigr) &= a \cdot b \pm a \cdot c \\[0.5em] \bigl( a \pm b \bigr) \cdot c &= a \cdot c \pm b \cdot c. \end{align*}

Die Linksdistributivität des Skalarprodukts über der Vektoraddition bzw. -subtraktion kann wie folgt gezeigt werden:

\begin{align*} a \cdot \bigl( b \pm c \bigr) &\overset{(1)}{=} \begin{pmatrix} a_1 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix} \cdot \left( \begin{pmatrix} b_1 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix} \pm \begin{pmatrix} c_1 \\ \vdots \\ c_n \end{pmatrix} \right) \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} \begin{pmatrix} a_1 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} b_1 \pm c_1 \\ \vdots \\ b_n \pm c_n \end{pmatrix} \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} a_1 \cdot \bigl(b_1 \pm c_1\bigr) + \ldots + a_n \cdot \bigl(b_n \pm c_n\bigr) \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} a_1b_1 \pm a_1c_1 + \ldots + a_nb_n \pm a_nc_n \\[0.75em] &\overset{(5)}{=} \bigl( a_1b_1 + \ldots + a_nb_n \bigr) \pm \bigl(a_1c_1 + \ldots + a_nc_n \bigr) \\[0.75em] &\overset{(6)}{=} \begin{pmatrix} a_1 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} b_1 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix} \pm \begin{pmatrix} a_1 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} c_1 \\ \vdots \\ c_n \end{pmatrix} \\[0.75em] &\overset{(7)}{=} a \cdot b \pm a \cdot c. \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
  • Ersetzen der Vektoren \(a\), \(b\) und \(c\) durch die entsprechenden Spaltenvektoren
(2)
  • Ausrechnen von \(b \pm c\) gemäß Definition der Addition bzw. Subtraktion von Vektoren
(3)
  • Ausrechnen von \(a \cdot (b+c)\) gemäß Definition der Koordinatenform des Skalarprodukt
(4)
  • Ausmultiplizieren mithilfe der Distributivität im zugrundeliegenden Ring \(\mathcal{R}\)
(5)
  • Umsortieren und Klammern mithilfe der Assoziativität, Kommutativität und Distributivität im zugrundeliegenden Ring \(\mathcal{R}\)
(6)
  • Ersetzen der Skalarprodukte \(a \cdot b\) und \(a \cdot c\) gemäß Definition der Koordinatenform des Skalarprodukt
(7)
  • Ersetzen der Spaltenvektoren durch die Vektoren \(a\), \(b\) und \(c\)

Der Nachweis der Rechtsdistributivität erfolgt (mit weitgehend identischen Erklärungen) analog:

\begin{align*} \bigl( a \pm b \bigr) \cdot c &\overset{(1)}{=} \left( \begin{pmatrix} a_1 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix} \pm \begin{pmatrix} b_1 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix} \right) \cdot \begin{pmatrix} c_1 \\ \vdots \\ c_n \end{pmatrix} \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} \begin{pmatrix} a_1 \pm b_1 \\ \vdots \\ a_n \pm b_n \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} c_1 \\ \vdots \\ c_n \end{pmatrix} \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} \bigl(a_1 \pm b_1\bigr) \cdot c_1 + \ldots + \bigl(a_n \pm b_n\bigr) \cdot c_n \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} a_1c_1 \pm b_1c_1 + \ldots + a_nc_n \pm b_nc_n \\[0.75em] &\overset{(5)}{=} \bigl( a_1c_1 + \ldots + a_nc_n \bigr) \pm \bigl(b_1c_1 + \ldots + b_nc_n \bigr) \\[0.75em] &\overset{(6)}{=} \begin{pmatrix} a_1 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} c_1 \\ \vdots \\ c_n \end{pmatrix} \pm \begin{pmatrix} b_1 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} c_1 \\ \vdots \\ c_n \end{pmatrix} \\[0.75em] &\overset{(7)}{=} a \cdot c \pm b \cdot c. \end{align*}

Weitere Eigenschaften

Für das Skalarprodukt von Vektoren gelten die folgenden weiteren Eigenschaften:

  • Für Vektoren $a,b \in \mathcal{R}^n$ und $\lambda \in \mathcal{R}$ gilt:
    \[ \lambda \cdot a \cdot b = \bigl( \lambda \cdot a \bigr) \cdot b = a \cdot \bigl( \lambda \cdot b \bigr). \]

Geometrische Eigenschaften

Aus der (geometrischen) Definition des Skalarprodukts ergeben sich die folgenden Eigenschaften:

  • Sind die Vektoren $a,b \in \mathcal{R}^n$ parallel und gleich orientiert (d.h. $\varphi = 0$), so gilt $a \cdot b = \bigl|a\bigr| \bigl|b\bigr|$.
  • Sind die Vektoren $a,b \in \mathcal{R}^n$ parallel und entgegengesetzt orientiert (d.h. $\varphi = \pi$), so gilt $a \cdot b = -\bigl|a\bigr| \bigl|b\bigr|$.
  • Das Skalarprodukt eines Vektors $a \in \mathcal{R}^n$ mit sich selbst ist das Quadrat seiner Länge $a \cdot a = {\bigl| a \bigr|}^2$.
  • Sind die Vektoren $a,b \in \mathcal{R}^n$ orthogonal (d.h. $\varphi = \pm\frac{\pi}{2}$), so gilt $a \cdot b = 0$.
  • Ist $\varphi$ ein spitzer Winkel, so gilt $a \cdot b \gt 0$.
  • Ist $\varphi$ ein stumpfer Winkel, so gilt $a \cdot b \lt 0$.

Herleitung der Koordinatenform

Herleitung mithilfe des Kosinussatzes

Gegeben seien die beiden Vektoren $a = (a_1, \ldots, a_n)$ und $b = (b_1, \ldots, b_n)$. Mit $\varphi$ sei der zwischen $a$ und $b$ eingeschlossene Winkel bezeichnet. Ausgehend vom selben Startpunkt spannen die Vektoren \(a\) und \(b\) ein Dreieck auf, dessen dritte Seite dem Vektor \(b-a\) entspricht. Nach dem Kosinussatz gilt dann:

\[ {\bigl| b - a \bigr|}^2 = {\bigl| a \bigr|}^2 + {\bigl| b \bigr|}^2 - 2 \cdot \bigl| a \bigr| \cdot \bigl| b \bigr| \cdot \cos(\varphi). \]

Umstellen nach $\bigl| a \bigr| \cdot \bigl| b \bigr| \cdot \cos(\varphi)$ ergibt:

\[ \bigl| a \bigr| \cdot \bigl| b \bigr| \cdot \cos(\varphi) = \frac{1}{2} \left( {\bigl| a \bigr|}^2 + {\bigl| b \bigr|}^2 - {\bigl| b - a \bigr|}^2 \right). \]

Ersetzen des Terms $ \bigl| a \bigr| \cdot \bigl| b \bigr| \cdot \cos(\varphi)$ durch $a \cdot b$ – dies entspricht der Definition des Skalarprodukts – liefert:

\[ a \cdot b = \frac{1}{2} \left( {\bigl| a \bigr|}^2 + {\bigl| b \bigr|}^2 - {\bigl| b - a \bigr|}^2 \right). \]

Einsetzen der Formel für die Länge eines Vektors für $\bigl| a \bigr|$, $\bigl| b \bigr|$ bzw. $\bigl| b-a \bigr|$ und anschließendes Vereinfachen liefert die gesuchte Koordinatenform des Skalarprodukts:

\begin{align*} a \cdot b &= \frac{1}{2} \Bigl( \left( a_1^2 + \ldots + a_n^2 \right) + \left( b_1^2 + \ldots + b_n^2 \right) - \left( {(b_1 - a_1)}^2 + \ldots + {(b_n - a_n)}^2 \right) \Bigr) \\[0.5em] &= \frac{1}{2} \Bigl( \left( a_1^2 + \ldots + a_n^2 \right) + \left( b_1^2 + \ldots + b_n^2 \right) - \left( b_1^2 - 2a_1b_1 + a_1^2 + \ldots + b_n^2 - 2a_nb_n + a_n^2 \right) \Bigr) \\[0.5em] &= \frac{1}{2} \Bigl( a_1^2 + \ldots + a_n^2 + b_1^2 + \ldots + b_n^2 - b_1^2 + 2a_1b_1 - a_1^2 - \ldots - b_n^2 + 2a_nb_n - a_n^2 \Bigr) \\[0.5em] &= \frac{1}{2} \Bigl( 2a_1b_1 + \ldots + 2a_nb_n \Bigr) \\[0.5em] &= a_1b_1 + \ldots + a_nb_n. \end{align*}

Herleitung mithilfe der Einheitsvektoren

Gegeben seien die beiden Vektoren $a = \bigl( a_1, \ldots, a_n \bigr)$ und $b = \bigl( b_1, \ldots, b_n \bigr)$, die unter Zuhilfenahme der kanonischen Einheitsvektoren $e_1 = (1, 0, \ldots, 0)$ bis $e_n = (0, 0, \ldots, 1)$ wie folgt dargestellt werden können:

\begin{align*} a &= \begin{pmatrix} a_1 \\[0.25em] a_2 \\[0.25em] \vdots \\[0.25em] a_n \end{pmatrix} = a_1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\[0.25em] 0 \\[0.25em] \vdots \\[0.25em] 0 \end{pmatrix} + a_2 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\[0.25em] 1 \\[0.25em] \vdots \\[0.25em] 0 \end{pmatrix} + \ldots + a_n \cdot \begin{pmatrix} 0 \\[0.25em] 0 \\[0.25em] \vdots \\[0.25em] 1 \end{pmatrix} \\[0.5em] &= a_1e_1 + a_2e_2 + \ldots + a_ne_n \\[1.5em] b &= \begin{pmatrix} b_1 \\[0.25em] b_2 \\[0.25em] \vdots \\[0.25em] b_n \end{pmatrix} = b_1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\[0.25em] 0 \\[0.25em] \vdots \\[0.25em] 0 \end{pmatrix} + b_2 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\[0.25em] 1 \\[0.25em] \vdots \\[0.25em] 0 \end{pmatrix} + \ldots + b_n \cdot \begin{pmatrix} 0 \\[0.25em] 0 \\[0.25em] \vdots \\ 1 \end{pmatrix} \\[0.5em] &= b_1e_1 + b_2e_2 + \ldots + b_ne_n. \end{align*}

Für das Skalarprodukt zweier Einheitsvektoren gilt:

\[ e_i \cdot e_j = \begin{cases} 1 & \text{für } i = j \\[0.5em] 0 & \text{für } i \neq j. \end{cases} \]

Für das Skalarprodukt $a \cdot b$ ergibt sich somit:

\begin{align*} a \cdot b &= \bigl( a_1e_1 + a_2e_2 + \ldots + a_ne_n \bigr) \cdot \bigl( b_1e_1 + b_2e_2 + \ldots + b_ne_n \bigr) \\[1em] &= a_1e_1 \cdot b_1e_1 + a_1e_1 \cdot b_2e_2 + \ldots + a_1e_1 \cdot b_ne_n + a_2e_2 \cdot b_1e_1 + a_2e_2 \cdot b_2e_2 + \ldots + a_2e_2 \cdot b_ne_n \\[0.5em] &\qquad + \ldots + a_ne_n \cdot b_1e_1 + a_ne_n \cdot b_2e_2 + \ldots + a_ne_n \cdot b_ne_n \\[1em] &= a_1b_1 \cdot e_1e_1 + a_1b_2 \cdot e_1e_2 + \ldots + a_1b_n \cdot e_1e_n + a_2b_1 \cdot e_2e_1 + a_2b_2 \cdot e_2e_2 + \ldots + a_2b_n \cdot e_2e_n \\[0.5em] &\qquad + \ldots + a_nb_1 \cdot e_ne_1 + a_nb_2 \cdot e_ne_2 + \ldots + a_nb_n \cdot e_ne_n \\[1em] &= a_1b_1 + a_2b_2 + \ldots + a_nb_n. \end{align*}