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Spaltenraum einer Matrix – Interaktiver Aufgabengenerator

Artikel zum Nachlesen: Spaltenraum einer Matrix

Der interaktive Aufgabengenerator zum Thema Spaltenraum einer Matrix erzeugt dir eine unbegrenzte Anzahl an individuell anpassbaren, prozedural generierten Übungsaufgaben. Er unterstützt dich dabei, die Aufgaben zu lösen, das Thema ausgiebig zu üben und zu verstehen. Hierzu erstellt der Generator für jede Aufgabe eine ausführliche, verständliche Schritt-für-Schritt Musterlösung und bietet dir zudem die Möglichkeit, deine eigenen Lösungen direkt zu überprüfen. Alle Lösungen und Lösungswege werden deterministisch mithilfe der zugrundeliegenden mathematischen Verfahren berechnet. Sämtliche Hilfestellungen stehen sowohl für die freien Beispiele als auch für generierte und eigene Aufgaben im vollen Umfang zur Verfügung.

Aufgabe erstellen

Beispielaufgaben

Die ausgewählten Beispiele ermöglichen es dir, einige Generator-Konfigurationen und die verfügbare Unterstützung beim Lösen der Aufgaben unverbindlich und in aller Ruhe kennenzulernen.

Aufgabe 1 von 3

Gegeben sei die folgende Matrix mit Koeffizienten aus $\Q$ :

\begin{bmatrix} 1 & -3 & -1 \\ 1 & -2 & -2 \\ 6 & -15 & -6 \end{bmatrix}

Bestimme mithilfe des Gauß-Algorithmus eine Basis für den Spaltenraum der gegebenen Matrix.

Aufgabengenerator

Der Aufgabengenerator ermöglicht es dir, beliebig viele, an deine individuellen Bedürfnisse angepasste Aufgaben zu generieren, um dich perfekt mit dem Thema vertraut zu machen.

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Konfiguration anpassen

Konfiguriere den Aufgabengenerator nach deinen Wünschen – von einfachen Beispielen bis zu anspruchsvollen Herausforderungen.

Anzahl Zeilen:

–

Anzahl Spalten:

–

Anzahl Basisvektoren:

–

Reduzierte Zeilenstufenform:

Typ:

Ganze Zahlen $\Z$

Rationale Zahlen $\Q$

Restklassenkörper $\Z_p$ mit $p=$

Hier könnte deine generierte Aufgabe stehen!

Eigene Aufgabe

Eigene Aufgabe verwenden

Löse deine eigenen Aufgaben oder lasse deiner Neugier freien Lauf – mit voller Unterstützung des Generators.

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Gib an, aus welchem Zahlenbereich die Koeffizienten der Matrix stammen sollen. Gib außerdem an, ob die Matrix in reduzierte Zeilenstufenform überführt werden soll.

Typ:

Rationale Zahlen $\Q$

Restklassenkörper $\Z_p$ mit $p=$

Reduzierte Zeilenstufenform:

Gib die Matrix ein, für deren Spaltenraum eine Basis bestimmt werden soll.

$$ 0$$	$$ 0$$	$$ 0$$
$$ 0$$	$$ 0$$	$$ 0$$
$$ 0$$	$$ 0$$	$$ 0$$

Zeilen:

Spalten:

Aufgabe lösen

Musterlösung

Um eine Basis $\mathfrak{B}$ des Spaltenraums $S(A)$ der gegebenen Matrix $A$ zu bestimmen, wird diese zunächst transponiert und die erhaltene Matrix $A^{\mathsf{T}}$ in Zeilenstufenform überführt.

A^{\mathsf{T}}=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 6 \\ -3 & -2 & -15 \\ -1 & -2 & -6 \end{bmatrix}

Das Überführen der Matrix in Zeilenstufenform geschieht schrittweise mithilfe des Gauß-Algorithmus:

\begin{array}{rrr|l}1 & 1 & 6 & \\[0.25em]-3 & -2 & -15 & \text{II} + 3 \cdot \text{I} \\[0.25em]-1 & -2 & -6 & \text{III} + \text{I} \\[0.25em]\hline1 & 1 & 6 & \\[0.25em]0 & 1 & 3 & \\[0.25em]0 & -1 & 0 & \text{III} + \text{II} \\[0.25em]\hline1 & 1 & 6 & \\[0.25em]0 & 1 & 3 & \\[0.25em]0 & 0 & 3 & \text{III} \cdot \frac{1}{3} \\[0.25em]\hline1 & 1 & 6 & \\[0.25em]0 & 1 & 3 & \\[0.25em]0 & 0 & 1 & \end{array}

Die als Zeilenstufenform vorliegende Matrix $ {A^{\mathsf{T}}}^\star$ kann nun im letzten Schritt direkt abgelesen werden.

{A^{\mathsf{T}}}^\star=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

Da elementare Zeilenumformungen den Zeilenraum einer Matrix nicht verändern, besitzt die Matrix $ {A^{\mathsf{T}}}^\star$ denselben Zeilenraum wie die ursprüngliche Matrix $A^{\mathsf{T}}$ – es gilt somit $Z({A^{\mathsf{T}}}^\star)=Z(A^{\mathsf{T}})$. Der Zeilenraum $Z({A^{\mathsf{T}}}^\star)$ wird durch die Nicht-Nullzeilen der Matrix $ {A^{\mathsf{T}}}^\star$ aufgespannt. Da diese aufgrund der vorliegenden Zeilenstufenform der Matrix $ {A^{\mathsf{T}}}^\star$ zudem implizit linear unabhängig sind, handelt es sich hierbei folglich um eine Basis des Zeilenraums der transponierten Matrix. Da dieser äquivalent zum Spaltenraum $S(A)$ der ursprünglichen Matrix $A$ ist, handelt es sich ebenfalls um eine Basis $\mathfrak{B}$ des Spaltenraums von $A$.

b_{1}=\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 6 \end{bmatrix}\quad b_{2}=\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix}\quad b_{3}=\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}\]\[\mathfrak{B} = \Bigl\{b_1,b_2,b_3\Bigr\}

Lösung überprüfen

Eigene Lösung überprüfen

Gib die Anzahl der Basisvektoren sowie die bestimmte Basis des Spaltenraums ein.

Anzahl Basisvektoren:

\[b_1=\]

$ 0$

$ 0$

$ 0$