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Aufgaben zum Spaltenraum einer Matrix
Der interaktive Aufgabengenerator zum Thema Spaltenraum einer Matrix erstellt dir eine unbegrenzte Anzahl an individuell anpassbaren Aufgaben und unterstützt dich dabei, diese zu bearbeiten und zu lösen – unter anderem durch ausführliche und verständliche Musterlösungen. Darüber hinaus ist dieselbe Unterstützung auch für deine eigenen Aufgaben verfügbar.
Aufgabe 1 von 3
Gegeben sei die folgende Matrix mit Koeffizienten aus \(\Q\):
\[\begin{bmatrix} 1 & -3 & -1 \\ 1 & -2 & -2 \\ 6 & -15 & -6 \end{bmatrix}\]
Bestimme mithilfe des Gauß-Algorithmus eine Basis für den Spaltenraum der gegebenen Matrix.
Um eine Basis \(\mathfrak{B}\) des Spaltenraums \(S(A)\) der gegebenen Matrix \(A\) zu bestimmen, wird diese zunächst transponiert und die erhaltene Matrix \(A^T\) in Zeilenstufenform überführt.
\[A^T=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 6 \\ -3 & -2 & -15 \\ -1 & -2 & -6 \end{bmatrix}\]
Das Überführen in Zeilenstufenform geschieht schrittweise mithilfe des Gauß-Algorithmus:
\[\begin{array}{rrr|l}
1 & 1 & 6 & \\[0.25em]
-3 & -2 & -15 & \text{II} + 3 \cdot \text{I} \\[0.25em]
-1 & -2 & -6 & \text{III} + \text{I} \\[0.25em]
\hline
1 & 1 & 6 & \\[0.25em]
0 & 1 & 3 & \\[0.25em]
0 & -1 & 0 & \text{III} + \text{II} \\[0.25em]
\hline
1 & 1 & 6 & \\[0.25em]
0 & 1 & 3 & \\[0.25em]
0 & 0 & 3 & \text{III} \cdot \frac{1}{3} \\[0.25em]
\hline
1 & 1 & 6 & \\[0.25em]
0 & 1 & 3 & \\[0.25em]
0 & 0 & 1 &
\end{array}\]
Die als Zeilenstufenform vorliegende Matrix \({A^T}^\star\) kann nun im letzten Schritt direkt abgelesen werden.
\[{A^T}^\star=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\]
Da elementare Zeilenumformungen den Zeilenraum einer Matrix nicht verändern, besitzt die Matrix \({A^T}^\star\) denselben Zeilenraum wie die ursprüngliche Matrix \(A^T\) – es gilt somit \(Z({A^T}^\star)=Z(A^T)\). Der Zeilenraum \(Z({A^T}^\star)\) wird durch die Nicht-Nullzeilen der Matrix \({A^T}^\star\) aufgespannt. Da diese aufgrund der vorliegenden Zeilenstufenform der Matrix \({A^T}^\star\) zudem implizit linear unabhängig sind, handelt es sich hierbei folglich um eine Basis des Zeilenraums der transponierten Matrix. Da dieser äquivalent zum Spaltenraum \(S(A)\) der ursprünglichen Matrix \(A\) ist, handelt es sich ebenfalls um eine Basis \(\mathfrak{B}\) des Spaltenraums von \(A\).
\[b_{1}=\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 6 \end{bmatrix}\quad b_{2}=\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix}\quad b_{3}=\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}\]\[\mathfrak{B} = \Bigl\{b_1,b_2,b_3\Bigr\}\]
