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Zeilenstufenform

Bei der Zeilenstufenform handelt es sich um eine spezielle, treppenartige Darstellung einer Matrix. Jede Matrix kann durch elementare Zeilenumformungen – beispielsweise mithilfe des Gauß-Verfahren – in Zeilenstufenform überführt werden. Charakteristisch für die Zeilenstufenform ist die Eigenschaft, dass das erste von Null verschiedene Element einer Zeile, das Pivot-Element, weiter rechts steht als in der darüberliegenden Zeile, was für die typische Treppen- bzw. Stufenform sorgt.

Eine Matrix liegt analog genau dann in Spaltenstufenform vor, wenn ihre transponierte Matrix in Zeilenstufenform vorliegt.

Definition

Zeilenstufenform

Bei der Zeilenstufenform handelt es sich um eine Darstellungsform einer Matrix, für die die folgenden Eigenschaften gelten:

  • Nullzeilen, falls vorhanden, stehen unten in der Matrix.
  • Bei aufeinanderfolgenden Nichtnullzeilen steht das erste von Null verschiedene Element (das Pivot-Element) in der unteren Zeile stets weiter rechts als das erste von Null verschiedene Element der oberen Zeile.

Die nachfolgende Abbildung zeigt exemplarisch eine Matrix in Zeilenstufenform. Bei den Elementen $a_{ij}$ handelt es sich um die von Null verschiedenen Pivot-Elemente. Die mit $\star$ markierten Einträge können beliebig sein.

\[ A = \begin{pmatrix} a_{11} & \star & \star & \star & \star \\[0.25em] 0 & a_{22} & \star & \star & \star \\[0.25em] 0 & 0 & 0 & a_{34} & \star \\[0.25em] 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]
Darstellung einer Matrix in Zeilenstufenform

Aus den zuvor geforderten Eigenschaften ergeben sich implizit auch die folgenden Eigenschaften einer Zeilenstufenform:

  • Alle Nichtnullzeilen stehen oberhalb der Nullzeilen.
  • Unterhalb des ersten von Null verschiedenen Elements einer Zeile befinden sich nur Nullen.

Hinweis: Teilweise wird gefordert, dass das Pivot-Element einer Zeile eine Eins ist. Dabei handelt es sich zwar um eine gültige Zeilenstufenform, zwingend notwendig ist die führende Eins hierfür genaugenommen jedoch nicht.

Reduzierte/Normierte Zeilenstufenform

Bei der reduzierten Zeilenstufenform handelt es sich um eine spezielle Darstellung einer Matrix, für die die folgenden Eigenschaften gelten:

  • Die Matrix liegt in Zeilenstufenform vor.
  • Das erste von Null verschiedene Element, das Pivot-Element, ist eine Eins.
  • Ober- und unterhalb der führenden Einsen befinden sich nur Nullen.

Die nachfolgende Abbildung zeigt exemplarisch eine Matrix in reduzierter Zeilenstufenform. Die mit $\star$ markierten Einträge können beliebig sein.

\[ B = \begin{pmatrix} 1 & \star & 0 & 0 & \star \\[0.25em] 0 & 0 & 1 & 0 & \star \\[0.25em] 0 & 0 & 0 & 1 & \star \end{pmatrix} \]
Darstellung einer Matrix in reduzierter Zeilenstufenform

Im Gegensatz zur normalen Zeilenstufenform ist die reduzierte Zeilenstufenform einer Matrix stets eindeutig bestimmt, weswegen sie auch als normierte Zeilenstufenform oder als kanonische Zeilenstufenform bezeichnet wird.

Überführen einer Matrix in (reduzierte) Zeilenstufenform

Überführen in Zeilenstufenform

Jede Matrix kann mithilfe von elementaren Zeilenumformungen in Zeilenstufenform überführt werden. Hierfür kann beispielsweise der Gauß-Algorithmus verwendet werden.

Gegeben sei die folgende Matrix $A \in \R^{3 \times 3}$, an der das Verfahren exemplarisch demonstriert werden soll.

\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\[0.25em] 1 & 4 & 3 \\[0.25em] 0 & 3 & 5 \end{bmatrix} \]

Das Überführen in Zeilenstufenform geschieht mithilfe der folgenden elementaren Zeilenumformungen, die sich aus dem Gauß-Verfahren ergeben.

\[ \begin{array}{rrr|l} 1 & 3 & 2 & \\[0.25em] 1 & 4 & 3 & \text{II} - \text{I} \\[0.25em] 0 & 3 & 5 & \\[0.25em] \hline 1 & 3 & 2 & \\[0.25em] 0 & 1 & 1 & \\[0.25em] 0 & 3 & 5 & \text{III} - 3 \cdot \text{II} \\[0.25em] \hline 1 & 3 & 2 & \\[0.25em] 0 & 1 & 1 & \\[0.25em] 0 & 0 & 2 & \text{III} \cdot \frac{1}{2} \\[0.25em] \hline 1 & 3 & 2 & \\[0.25em] 0 & 1 & 1 & \\[0.25em] 0 & 0 & 1 & \end{array} \]

Bereits im vorletzten Schritt liegt die Matrix in einer gültigen Zeilenstufenform vor. Diese wird im letzten Schritt noch dahingehend verändert, dass das führende Element $2$ der untersten Zeile zu einer führenden Eins wird. Dies zeigt exemplarisch auch die Nicht-Eindeutigkeit der Zeilenstufenform.

Überführen in reduzierte Zeilenstufenform

Mithilfe des Gauß-Jordan-Algorithmus kann jede Matrix in reduzierte Zeilenstufenform überführt werden. Für die bereits bekannte Matrix $A$, die im vorausgehenden Abschnitt bereits in Zeilenstufenform überführt wurde, werden mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus die folgenden weiteren Schritte durchgeführt:

\[ \begin{array}{rrr|l} 1 & 3 & 2 & \text{I} - 2 \cdot \text{III} \\[0.25em] 0 & 1 & 1 & \text{II} - \text{III} \\[0.25em] 0 & 0 & 1 & \\[0.25em] \hline 1 & 3 & 0 & \text{I} - 3 \cdot \text{II} \\[0.25em] 0 & 1 & 0 & \\[0.25em] 0 & 0 & 1 & \\[0.25em] \hline 1 & 0 & 0 & \\[0.25em] 0 & 1 & 0 & \\[0.25em] 0 & 0 & 1 & \end{array} \]

Die im letzten Schritt erhaltene Matrix liegt in der gesuchten reduzierten bzw. normierten Zeilenstufenform vor und ist eindeutig bestimmt. Da es sich bei der Matrix $A$ um eine quadratische Matrix mit vollem Rang handelt, handelt es sich bei der reduzierten Zeilenstufenform um die Einheitsmatrix.

Hinweis: Bei allen drei Umformungsschritten handelt es sich ebenfalls um Zeilenstufenformen.