Aufgaben

Kleiner Satz von Fermat – Interaktiver Aufgabengenerator

Artikel zum Nachlesen: Kleiner Satz von Fermat

Der interaktive Aufgabengenerator zum Thema Kleiner Satz von Fermat erzeugt dir eine unbegrenzte Anzahl an individuell anpassbaren, prozedural generierten Übungsaufgaben. Er unterstützt dich dabei, die Aufgaben zu lösen, das Thema ausgiebig zu üben und zu verstehen. Hierzu erstellt der Generator für jede Aufgabe eine ausführliche, verständliche Schritt-für-Schritt Musterlösung und bietet dir zudem die Möglichkeit, deine eigenen Lösungen direkt zu überprüfen. Alle Lösungen und Lösungswege werden deterministisch mithilfe der zugrundeliegenden mathematischen Verfahren berechnet. Sämtliche Hilfestellungen stehen sowohl für die freien Beispiele als auch für generierte und eigene Aufgaben im vollen Umfang zur Verfügung.

Aufgabe erstellen

Beispielaufgaben

Die ausgewählten Beispiele ermöglichen es dir, einige Generator-Konfigurationen und die verfügbare Unterstützung beim Lösen der Aufgaben unverbindlich und in aller Ruhe kennenzulernen.

Aufgabe 1 von 2

Berechne den kleinsten, nicht negativen Wert $x$, für den die folgende Kongruenz gilt:

7^{23} \equiv x \pmod{11}

Benutze – sofern möglich – den kleinen Satz von Fermat, um die zu berechnende Potenz zunächst zu vereinfachen.

Aufgabengenerator

Der Aufgabengenerator ermöglicht es dir, beliebig viele, an deine individuellen Bedürfnisse angepasste Aufgaben zu generieren, um dich perfekt mit dem Thema vertraut zu machen.

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Konfiguration anpassen

Konfiguriere den Aufgabengenerator nach deinen Wünschen – von einfachen Beispielen bis zu anspruchsvollen Herausforderungen.

Basis:

–

Modulus:

–

Hier könnte deine generierte Aufgabe stehen!

Eigene Aufgabe

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Gib die Zahlen $a$, $n$ und $m$ ein, für die mit dem kleinen Satz von Fermat der kleinste, nicht negative Wert $x$ mit $a^n \equiv x \pmod{m}$ bestimmt werden soll.

\[a=\]

\[n=\]

\[m=\]

Aufgabe lösen

Musterlösung

Die Basis $ 7$ und der Modul $ 11$ sind teilerfremd, weswegen nach dem kleinen Satz von Fermat die folgende Kongruenz gilt.

{7}^{11-1} = {7}^{10} \equiv 1 \pmod{11}

Da der Exponent der zu berechnenden Potenz größer oder gleich $ 10$ ist, kann die Potenz mithilfe einer Zerlegung mit Rest des Exponenten sowie unter Anwendung der Potenzgesetze vereinfacht werden.

{7}^{23} = {7}^{2 \cdot 10 + 3} = {7}^{2 \cdot 10} \cdot {7}^{3} = {\left({7}^{10}\right)}^{2} \cdot {7}^{3} \equiv {1}^{2} \cdot {7}^{3} \equiv {7}^{3} \pmod{11}

Die Potenz ${7}^{3} \bmod{11}$ kann mithilfe des Square and Multiply Verfahrens über die folgenden Zwischenschritte berechnet werden:

\begin{alignedat}{3}{7}^{3} &\equiv {7}^{2} \cdot {7}&& \pmod{11} \\[0.5em]{7}^{2} &\equiv {\left({7}^{1} \right)}^2&& \pmod{11}\end{alignedat}

Durch Rückwärtseinsetzen kann die gesuchte Potenz nun schrittweise berechnet werden. Nach den Rechenregeln für das Potenzieren modulo m und das Multiplizieren modulo m werden nach jedem Zwischenschritt die Reste bestimmt und mit diesen weiter gerechnet, um die Zwischenergebnisse möglichst klein zu halten.

\begin{alignedat}{3}{7}^{2} &\equiv 49 \equiv 5 && \pmod{11} \\[0.5em]{7}^{3} &\equiv 5 \cdot {7}\equiv 35 \equiv 2 && \pmod{11}\end{alignedat}

Das gesuchte Ergebnis lautet also wie folgt:

{7}^{3} \equiv 2\pmod{11}

Insgesamt ergibt sich das folgende Gesamtergebnis:

{7}^{23} \equiv {7}^{3} \equiv 2 \pmod{11}

Lösung überprüfen

Eigene Lösung überprüfen

Gib die berechnete Potenz ein.