Kongruenzrelation
Bei der Kongruenzrelation handelt es sich um eine Äquivalenzrelation auf der Menge der ganze Zahlen. Zwei Zahlen heißen kongruent modulo m, wenn sie bei Division durch den Modul m denselben ganzzahligen Rest lassen; andernfalls heißen sie inkongruent.
Definition
Gegeben seien zwei ganze Zahlen $a,b \in \Z$ sowie eine natürliche Zahl $m \in \N$. Man nennt $a$ und $b$ kongruent modulo m und schreibt $a \equiv b \pmod{m}$, falls $a$ und $b$ bei der Division durch den Modul $\mathbf{m}$ denselben ganzzahligen Rest lassen – dies ist genau dann der Fall, wenn es sich bei $m$ um einen Teiler der Differenz $a-b$ bzw. $b-a$ handelt. Andernfalls sind die Zahlen inkongruent modulo m und man schreibt $a \not\equiv b \pmod{m}$.
Mithilfe der Teilbarkeitsrelation kann dies wie folgt formuliert werden:
Es handelt sich bei der Kongruenzrelation $\equiv (\bmod{m})$ um eine Äquivalenzrelation – also um eine symmetrische, reflexive und transitive Relation.
Beispiele
Es gelten exemplarisch die folgenden Kongruenzen und Inkongruenzen:
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Es gilt $12 \equiv 23 \pmod{11}$, da $11 \mid \underbrace{(23 - 12)}_{=\ 11}$ gilt.
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Es gilt $123 \equiv 144 \pmod{7}$, da $7 \mid \underbrace{(144 - 123)}_{=\ 21}$ gilt.
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Es gilt $25 \equiv -26 \pmod{17}$, da $17 \mid \underbrace{(25 - (-26))}_{=\ 51}$ gilt.
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Es gilt $23 \not\equiv 42 \pmod{2}$, da $2 \nmid \underbrace{(42 - 23)}_{=\ 19}$ gilt.
Restklassen
Hauptartikel: Restklasse
Betrachtet man einen bestimmten Modul $m$, so wird die Menge $\Z$ der ganzen Zahlen durch die Kongruenzrelation $\equiv$ in genau $m$ disjunkte Teilmengen, die Restklassen, aufgeteilt; alle Elemente innerhalb einer Restklasse besitzen dabei stets denselben Rest bei Division durch $m$.
Bei den Restklassen handelt es sich um die Äquivalenzklassen der Kongruenzrelation. Die Menge aller Restklassen modulo $m$ bildet den Restklassenring $\Z_m = \Z/m\Z$.
Rechenregeln
Für alle $a,b,c,d \in \Z$ und $m \in \N$ gelten die folgenden Rechenregeln:
(I) | $a \equiv a \pmod{m}$ |
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(II) | $a \equiv b \pmod{m} \Leftrightarrow b \equiv a \pmod{m}$ |
(III) | $a \equiv b \pmod{m} \wedge b \equiv c \pmod {m} \Rightarrow a \equiv c \pmod{m}$ |
(IV) | $a_1 \equiv b_1 \pmod{m} \wedge a_2 \equiv b_2 \pmod{m} \Rightarrow a_1+a_2 \equiv b_1+b_2 \pmod{m}$ |
(V) | $a_1 \equiv b_1 \pmod{m} \wedge a_2 \equiv b_2 \pmod{m} \Rightarrow a_1-a_2 \equiv b_1-b_2 \pmod{m}$ |
(VI) | $a_1 \equiv b_1 \pmod{m} \wedge a_2 \equiv b_2 \pmod{m} \Rightarrow a_1 \cdot a_2 \equiv b_1 \cdot b_2 \pmod{m}$ |
(VII) | $a \equiv b \pmod{m} \Leftrightarrow -a \equiv -b \pmod{m}$ |
(VIII) | Gilt $\ggT(c,m)=1$, so folgt aus $c \cdot a \equiv c \cdot b \pmod{m}$ die Kongruenz $a \equiv b \pmod{m}$. |
Beweis
Um zu beweisen, dass $a \equiv b \pmod{m}$ genau dann gilt, wenn $m \mid (a-b)$ gilt, sind zwei Aussagen zu zeigen:
Beweis von (I)
Es sei $a \equiv b \pmod{m}$. Dann existieren für $a$ und $b$ die folgenden Zerlegungen mit Rest (mit $q_a,q_b,r \in \Z$ und $0 \leq r \lt m$):
Für die Differenz $a-b$ ergibt sich somit:
Hieraus folgt direkt, dass $m \mid (a-b)$ gilt.
Beweis von (II)
Es sei $m \mid (a-b)$. Für $a$ und $b$ existieren die folgenden Zerlegungen mit Rest (mit $q_a,q_b,r_a,r_b \in \Z$ und $0 \leq r_a \lt m$ sowie $0 \leq r_b \lt m$):
Für die Differenz $a-b$ ergibt sich somit:
Wegen $m \mid (a-b)$ muss also $m \mid (r_a-r_b)$ gelten. Aufgrund der Voraussetzungen $0 \leq r_a \lt m$ und $0 \leq b \lt m$ gilt
Das einzige ganzzahlige Vielfache von $m$ im Intervall $(-m,m)$ ist $0$ – dies entspricht dem Fall $r_a=r_b$, woraus direkt $a \equiv b \pmod{m}$ folgt.