de
Seitenbanner
Menu
A-Z
  • Nachlesen
  • Grundlagen
  • Potenz
Nachlesen

Potenz

Bei einer Potenz handelt es sich um das Ergebnis des Potenzierens, das in seiner einfachsten Form eine Kurzschreibweise für das wiederholte Multiplizieren eines Werts mit sich selbst beschreibt. Das Potenzieren kann auf Potenzen mit ganzen, rationalen und reellen Exponenten erweitert werden kann.

Inhalt

Definition

Potenzen mit natürlichen Exponenten

Gegeben seien eine reelle Zahl $a \in \R$ und eine natürliche Zahl $n \in \N$. Bei der $\mathbf{n}$-ten Potenz von $\mathbf{a}$ handelt es sich um eine Kurzschreibweise für das Produkt, das insgesamt \(n\) mal den Faktor \(a\) enthält; es gilt:

\[ a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ Faktoren}}. \]

Der Wert \(a\) wird als Basis bezeichnet; der Wert \(n\) wird Exponent genannt.

Potenzen mit ganzzahligen Exponenten

Gegeben seien eine reelle Zahl $a \in \R$ und eine ganze Zahl $n \in \Z$. Um die Definition der Potenz auf ganzzahlige Exponenten zu übertragen, muss die Potenz zusätzlich zu den bereits definierten positiven ganzzahligen (natürlichen) Exponenten außerdem für den Fall \(n \lt 0\) sowie für den Spezialfall \(a \neq 0\) und \(n=0\) definiert werden. Es gilt:

\begin{align*} a^{-n} &= \frac{1}{a^n} \\[0.5em] a^0 &= 1. \end{align*}

Wichtig: Für den Spezialfall \(a=0\) und \(n=0\) ist die Potenz nicht definiert.

Potenzen mit rationalen Exponenten

Gegeben seien eine reelle Zahl $a \in \R$ und eine rationale Zahl $r \in \Q$ mit $r = \frac{m}{n}$ (für $m,n \in \Z$). Mit $\sqrt[n]{a}$ sei die $n$-te Wurzel von $a$ bezeichnet. Existiert $\sqrt[n]{a}$, so wird die $r$-te Potenz von $a$ wie folgt definiert:

\[ a^r = a^{\frac{m}{n}} = {\left( \sqrt[n]{a} \right)}^m. \]

Potenzen mit reellen Exponenten

Gegeben seien eine reelle Zahl $a \in \R$, eine reelle Zahl \(x \in \R\) sowie eine Folge \({(x_n)}_{n \in \N}\) rationaler Zahlen, die gegen \(x\) konvergiert, d. h. es gelte \(\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty}{x_n} = x\). Es handelt sich bei der reellen Potenz um den Grenzwert der Folge der rationalen Potenzen \(a^{x_n}\), d. h., es gilt:

\begin{align*} a^x &= a^{\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{x_n}} \\[0.5em] &= \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{a^{x_n}}. \end{align*}

Beispiele

Es gelten exemplarisch die folgenden Beispiele für Potenzen:

  • \(\displaystyle 2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8\)
  • \(\displaystyle 3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{3 \cdot 3} = \frac{1}{9}\)
  • \(\displaystyle 5^{\frac{3}{2}} = \sqrt{5^3} = \sqrt{125}\)

Rechenregeln

Für das Rechnen mit Potenzen gelten die folgenden Rechenregeln:

Potenzgesetz Anwendbarkeit
I-a
(Details) 		$\displaystyle a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
  • für beliebige natürliche Exponenten $m,n \in \N$
  • für beliebige ganzzahlige Exponenten $m,n \in \Z$, falls \(a \neq 0\) gilt
  • für beliebige reelle Exponenten $m, n \in \R$, falls $a \gt 0$ gilt
  • für beliebige rationale Exponenten $m, n \in \Q$ mit ungeraden Nennern, falls $a \lt 0$ gilt
I-b
(Details) 		$\displaystyle \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
  • für beliebige natürliche Exponenten $m,n \in \N$
  • für beliebige ganzzahlige Exponenten $m,n \in \Z$, falls \(a \neq 0\) gilt
  • für beliebige reelle Exponenten $m, n \in \R$, falls $a \gt 0$ gilt
  • für beliebige rationale Exponenten $m, n \in \Q$ mit ungeraden Nennern, falls $a \lt 0$ gilt
II-a
(Details) 		$\displaystyle a^n \cdot b^n = {\bigl( a \cdot b \bigr)}^n$
  • für beliebige natürliche Exponenten $n \in \N$
  • für beliebige ganzzahlige Exponenten $n \in \Z$, falls $a \neq 0$ und $b \neq 0$ gilt
  • für beliebige reelle Exponenten $n \in \R$, falls $a \gt 0$ und $b \gt 0$ gilt
  • für beliebige rationale Exponenten $n \in \Q$ mit ungeraden Nennern, falls mindestens eine der Aussagen $a \lt 0$ oder $b \lt 0$ gilt
II-b
(Details) 		$\displaystyle \frac{a^n}{b^n} = {\left( \frac{a}{b} \right)}^n$
  • für beliebige ganzzahlige Exponenten $n \in \Z$ mit $n \geq 0$ und $b \neq 0$
  • für beliebige ganzzahlige Exponenten $n \in \Z$ mit $n \leq 0$ und $a \neq 0$
  • für beliebige reelle Exponenten $n \in \R$, falls $a \gt 0$ und $b \gt 0$ gilt
  • für beliebige rationale Exponenten $n \in \Q$ mit ungeradem Nenner, falls mindestens eine der Aussagen $a \lt 0$ oder $b \lt 0$ gilt
III
(Details) 		$\displaystyle {\bigl( a^n \bigr)}^m = a^{n \cdot m}$
  • für beliebige natürliche Exponenten $m,n \in \N$
  • für beliebige ganzzahlige Exponenten $n,m$, falls $a \neq 0$ gilt
  • für beliebige reelle Exponenten $n,m$, falls $a \gt 0$ gilt
  • für beliebige rationale Exponenten $m, n \in \Q$ mit ungeraden Nennern, falls $a \lt 0$ gilt