Aufgaben
Aufgaben zur inversen Matrix
Der interaktive Aufgabengenerator zum Thema Inverse Matrix erstellt dir eine unbegrenzte Anzahl an individuell anpassbaren Aufgaben und unterstützt dich dabei, diese zu bearbeiten und zu lösen – unter anderem durch ausführliche und verständliche Musterlösungen. Darüber hinaus ist dieselbe Unterstützung auch für deine eigenen Aufgaben verfügbar.
Aufgabe 1 von 3
Gegeben sei die folgende Matrix mit Koeffizienten aus \(\Q\):
\[\begin{bmatrix} 1 & -2 & 9 \\ 0 & 1 & -3 \\ -1 & 4 & -14 \end{bmatrix}\]
Bestimme die inverse Matrix mithilfe des Gauß-Jordan-Algorithmus.
Zunächst wird die Matrix um eine Einheitsmatrix derselben Dimension erweitert:
\[\left[\begin{array}{rrr|rrr}1 & -2 & 9 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -3 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 4 & -14 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]\]
Die erweiterte Matrix wird nun mithilfe des Gauß-Jordan-Algorithmus in die erweiterte Zeilenstufenform überführt, so dass die ursprüngliche Matrix auf der linken Seite in eine Einheitsmatrix übergeht. Die anfängliche Einheitsmatrix auf der rechten Seite wird hierbei in die gesuchte inverse Matrix überführt.
\[\begin{array}{rrr|rrr|l}
1 & -2 & 9 & 1 & 0 & 0 & \\[0.25em]
0 & 1 & -3 & 0 & 1 & 0 & \\[0.25em]
-1 & 4 & -14 & 0 & 0 & 1 & \text{III} + \text{I} \\[0.25em]
\hline
1 & -2 & 9 & 1 & 0 & 0 & \\[0.25em]
0 & 1 & -3 & 0 & 1 & 0 & \\[0.25em]
0 & 2 & -5 & 1 & 0 & 1 & \text{III} - 2 \cdot \text{II} \\[0.25em]
\hline
1 & -2 & 9 & 1 & 0 & 0 & \text{I} - 9 \cdot \text{III} \\[0.25em]
0 & 1 & -3 & 0 & 1 & 0 & \text{II} + 3 \cdot \text{III} \\[0.25em]
0 & 0 & 1 & 1 & -2 & 1 & \\[0.25em]
\hline
1 & -2 & 0 & -8 & 18 & -9 & \text{I} + 2 \cdot \text{II} \\[0.25em]
0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 3 & \\[0.25em]
0 & 0 & 1 & 1 & -2 & 1 & \\[0.25em]
\hline
1 & 0 & 0 & -2 & 8 & -3 & \\[0.25em]
0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 3 & \\[0.25em]
0 & 0 & 1 & 1 & -2 & 1 &
\end{array}\]
Die gesuchte inverse Matrix kann nun direkt abgelesen werden. Es gilt:
\[\begin{bmatrix} -2 & 8 & -3 \\ 3 & -5 & 3 \\ 1 & -2 & 1 \end{bmatrix}\]
