Inverse Matrix
Die inverse Matrix (auch reziproke Matrix, Kehrmatrix oder Inverse) einer quadratischen Matrix ist die quadratische Matrix, die beim Multiplizieren mit der Ausgangsmatrix die Einheitsmatrix ergibt. Sie besitzt stets dieselbe Dimension wie die Originalmatrix. Nicht jede quadratische Matrix besitzt eine inverse Matrix. Nicht quadratische Matrizen sind niemals invertierbar. Eine invertierbare Matrix wird auch reguläre Matrix bzw. nichtsinguläre Matrix genannt.
Definition
Gegeben seien eine natürliche Zahl $n \in \N$ sowie ein Ring, Körper oder Schiefkörper $\mathcal{K}$, aus dem sämtliche Elemente stammen – beispielsweise ganze, rationale, reelle oder komplexe Zahlen.
Die Matrix $A^{-1} \in \mathcal{K}^{n \times n}$ wird inverse Matrix der Matrix $A \in \mathcal{K}^{n \times n}$ genannt, falls die Gleichung
gilt. Hierbei ist $\cdot$ die Matrizenmultiplikation und $E_n$ bezeichnet die $n \times n$ Einheitsmatrix über $\mathcal{K}$.
Eine quadratische Matrix $A \in \mathcal{K}^{n \times n}$ besitzt genau dann eine inverse Matrix,
- wenn sie vollen Rang hat: $\rang(A) = n$;
- wenn ihre Determinante ungleich Null ist: $\det(A) \neq 0_\mathcal{K}$.
Hinweis: Wenn es sich bei $A^{-1}$ um die Inverse von $A$ handelt, dann handelt es sich umgekehrt bei $A$ auch um die inverse Matrix von $A^{-1}$.
Berechnung der inversen Matrix
In den folgenden Abschnitten werden Verfahren zur Berechnung der inversen Matrix (auch als Inversion oder Invertierung der Matrix bezeichnet) hergeleitet und beschrieben. Sofern nicht anders erwähnt, werden quadratische $n \times n$ Matrizen $A = \bigl[ a_{ij} \bigr]$ und $A^{-1} = \bigl[ \hat{a}_{ij} \bigr]$ verwendet, deren Einträge aus einem Körper $\mathcal{K}$ stammen. Die Verwendung eines Körpers ist wichtig, da durch dessen Eigenschaften garantiert ist, dass alle gemachten Schritte bzw. Umformungen stets möglich sind.
Darstellung durch lineare Gleichungssysteme
Hauptartikel: Lineares Gleichungssystem
Die Matrixgleichung $A \cdot A^{-1} = E_n$ kann ausgeschrieben wie folgt dargestellt werden:
Für die Multiplikation von Matrizen gilt die Eigenschaft, dass sich die $j$-te Spalte der Ergebnismatrix als Produkt der linken Matrix und der $j$-ten Spalte der rechten Matrix ergibt. Folglich ergibt sich die $j$-te Spalte $\hat{a}_j = {\bigl( \hat{a}_{1j}, \ldots, \hat{a}_{nj} \bigr)}^{\mathsf{T}}$ der gesuchten inversen Matrix $A^{-1}$ als Lösungsvektor des linearen Gleichungssystems
wobei $e_j$ – die $j$-te Spalte der Einheitsmatrix $E_n$ – der $j$-te Einheitsvektor ist.
Die inverse Matrix $A^{-1}$ ergibt sich somit aus den Lösungsvektoren der insgesamt $j$ linearen Gleichungssysteme; es gilt:
Gauß-Jordan-Algorithmus
Hauptartikel: Gauß-Jordan-Algorithmus
Beschreibung des Verfahrens
Die inverse Matrix kann – basierend auf der vorausgehenden Überlegung – mithilfe des Gauß-Jordan-Algorithmus berechnet werden, indem die $n$ linearen Gleichungssysteme simultan gelöst werden. Hierzu wird zunächst die erweiterte Matrix $[A \mid E_n]$ aufgestellt, indem die $n \times n$ Einheitsmatrix $E_n$ rechts an die Matrix $A$ angefügt wird. Anschließend wird die erhaltene Matrix $[A \mid E_n]$ mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus in die reduzierte Zeilenstufenform überführt. Dies geschieht wie üblich durch elementare Zeilenumformungen, die auf beide Matrizen gleichzeitig angewendet werden:
- Für den Fall, dass die Matrix $A$ invertierbar ist, kann die linksstehende Matrix $A$ erfolgreich in die Einheitsmatrix überführt werden. Aus der anfangs rechts stehenden Einheitsmatrix $E_n$ entsteht auf diese Weise die gesuchte inverse Matrix $A^{-1}$, die direkt abgelesen werden kann. \[ \begin{array}{c} A = \left\{\left[\begin{array}{ccc|ccc} a_{11} & \ldots & a_{1n} & 1_\mathcal{K} & \ldots & 0_\mathcal{K} \\[0.25em] \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\[0.25em] a_{n1} & \ldots & a_{nn} & 0_\mathcal{K} & \ldots & 1_\mathcal{K} \end{array}\right]\right\} = E_n \\[1em] \downarrow \\[1em] E_n = \left\{\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1_\mathcal{K} & \ldots & 0_\mathcal{K} & * & \ldots & * \\[0.25em] \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\[0.25em] 0_\mathcal{K} & \ldots & 1_\mathcal{K} & * & \ldots & * \end{array}\right]\right\} = A^{-1}. \end{array} \]
- Für den Fall, dass die Matrix $A$ nicht invertierbar ist, ist es nicht möglich, die linksstehende Matrix $A$ in die Einheitsmatrix zu überführen. Dies lässt sich bereits an der (normalen) Zeilenstufenform erkennen, da die linke Matrix dann mindestens eine Nullzeile enthält. Die inverse Matrix $A^{-1}$ existiert in diesem Fall nicht. Die Matrix hat keinen vollen Rang. Ihre Determinante ist $0_\mathcal{K}$.
Hinweis: Es ist in jedem Fall sinnvoll, die erweiterte Matrix aufzustellen und in (reduzierte) Zeilenstufenform zu überführen. Dies liefert wahlweise die gesuchte inverse Matrix – oder den Beweis, dass diese nicht existiert.
Korrektheit
Der Beweis der Korrektheit des Verfahrens bzw. der Beweis, dass hierdurch tatsächlich die gesuchte inverse Matrix entsteht, basiert auf der Eigenschaft, dass jede elementare Zeilenumformung durch eine linksseitige Multiplikation mit einer Elementarmatrix dargestellt werden kann. Die während des Gauß-Jordan-Algorithmus durchgeführten Zeilenumformungen seien mit $T_1, T_2, \ldots, T_k$ bezeichnet. Dann gilt:
Werden beide Seiten dieser Gleichung von rechts mit der inversen Matrix $A^{-1}$ multipliziert, so folgt:
Die inverse Matrix $A^{-1}$ ergibt sich somit wie behauptet, indem die elementaren Zeilenumformungen $T_1,T_2,\ldots,T_k$, die die Matrix $A$ in die Einheitsmatrix $E_n$ überführen, auf die Einheitsmatrix $E_n$ selbst anwendet werden.
Darstellung über die Adjunkte
Lösen mithilfe der Cramerschen Regel
Hauptartikel: Cramersche Regel
Die Lösung des linearen Gleichungssystems $A \cdot \hat{a}_j = e_j$ kann auch mithilfe der Cramerschen Regel bestimmt werden. Es gilt
wobei die Matrix $A_i$ dadurch entsteht, dass die $i$-te Spalte der Matrix $A$ mit dem Einheitsvektor $e_j$ (der rechten Seite des Gleichungssystems) ersetzt wird. Die Determinante der Matrix $A_i$ kann mithilfe des Laplaceschen Entwicklungssatzes nach der $i$-ten Spalte besonders effizient berechnet werden, da diese den Einheitsvektor $e_j$ enthält, der nur an der Stelle $j$ einen von $0_\mathcal{K}$ verschiedenen Eintrag besitzt. Somit gilt
wobei die Matrizen $A_{ji}$ Untermatrizen der Matrix A sind (auch Minore genannt), die aus $A$ dadurch hervorgehen, dass die $j$-te Zeile und die $i$-te Spalte gestrichen wird.
Kofaktor, Kofaktormatrix und Adjunkte
Bei den Kofaktoren der Matrix $A$ handelt es sich um die Zahlen
wobei $A_{k\ell}$ wie zuvor eine Untermatrix von $A$ ist. Diese Werte bilden zusammengefasst die Kofaktormatrix $\operatorname{cof}(A) = \bigl[ \tilde{a}_{k\ell} \bigr]$. Die transponierte Matrix der Kofaktormatrix wird als Adjunkte $\operatorname{adj}(A)$ von $A$ bezeichnet.
Zusammenhang der Adjunkten und der inversen Matrix
Die Kofaktormatrix $\operatorname{cof}(A)$ besitzt in der $i$-ten Zeile und $j$-ten Spalte den Eintrag $\tilde{a}_{ij} = {(-1)}^{i+j} \cdot \det(A_{ij})$. Da die Adjunkte $\operatorname{adj}(A)$ die Transponierte der Kofaktormatrix ist, besitzt diese in der $i$-ten Zeile und $j$-ten Spalte folglich den Eintrag $\tilde{a}_{ji} = {(-1)}^{j+i} \cdot \det(A_{ji})$, der dem Zähler von $\hat{a}_{ij}$ entspricht. Für die gesuchte inverse Matrix $A^{-1} = \bigl[ \hat{a}_{ij} \bigr]$ ergibt sich somit der folgende Zusammenhang mit der Adjunkten:
Hinweis: Diese Darstellung gilt auch für Matrizen mit Einträgen aus einem kommutativen Ring mit Eins $\mathcal{R}$, sofern es sich bei $\det(A)$ um eine Einheit des Rings $\mathcal{R}$ handelt – falls $\det(A)$ in $\mathcal{R}$ also ein multiplikatives Inverses besitzt.
Berechnung der inversen Matrix einer 2x2 Matrix
Die inverse Matrix einer $2 \times 2$ Matrix
kann mithilfe der zuvor beschriebenen Adjunkten direkt berechnet werden. Es gilt:
Bei $\det(A)$ handelt es sich wie gewöhnlich um die Determinante der Matrix. Die inverse Matrix existiert nur, wenn $\det(A) = ad-bc \neq 0_\mathcal{K}$ gilt, da sonst eine undefinierte Division durch Null auftritt. Allgemeiner: Die Formel funktioniert, falls $\det(A)$ ein multiplikatives Inverses besitzt.
Hinweis: Entsprechende Formeln können auch für größere quadratische Matrizen gefunden werden; diese sind jedoch nicht intuitiv und nicht praktikabel, sodass sie für die Berechnung der Inversen faktisch keine Rolle spielen.
Beispiele
Beispiel 1
Gegeben sei die folgende Matrix $A \in \R^{3 \times 3}$:
Die Berechnung der gesuchten inversen Matrix erfolgt durch Erweitern der Matrix $A$ mit der Einheitsmatrix $E_3$ und anschließendes Anwenden des Gauß-Jordan-Algorithmus:
Da die Matrix $A$ in die Einheitsmatrix überführt werden konnte, existiert die inverse Matrix $A^{-1}$; sie kann im letzten Schritt direkt abgelesen werden:
Beispiel 2
Gegeben sei die folgende Matrix $B \in \R^{2 \times 2}$:
Für die gesuchte inverse Matrix $B^{-1}$ ergibt sich unmittelbar aus der expliziten Formel für die Inverse einer $2 \times 2$ Matrix:
Beispiel 3
Gegeben sei die Matrix $C \in \R^{3 \times 3}$:
Erweitern der Matrix $C$ mit der Einheitsmatrix $E_3$ und anschließendes Anwenden des Gauß-Jordan-Algorithmus liefert die folgende Umformung:
Es handelt sich hierbei noch nicht um die reduzierte Zeilenstufenform, aber es ist bereits jetzt zu erkennen, dass die links stehende Matrix $C$ nicht mehr in die Einheitsmatrix überführt werden kann, da in der dritten Zeile nur Nullen stehen. Die Matrix $C$ ist folglich nicht invertierbar. Die inverse Matrix $C^{-1}$ existiert nicht.
Eigenschaften
Gruppeneigenschaften
Die Menge der invertierbaren $n \times n$ Matrizen über einem Körper $\mathcal{K}$ bildet zusammen mit der Matrizenmultiplikation eine Gruppe, die allgemeine lineare Gruppe $\operatorname{GL}(n,\mathcal{K})$. Die $n \times n$ Einheitsmatrix ist hierbei das neutrale Element; die inversen Matrizen sind die inversen Elemente. Die inverse Matrix $A^{-1}$ ist für jede Matrix $A$ eindeutig definiert und ist sowohl die Linksinverse als auch die Rechtsinverse von $A$.
Die Einheitsmatrix ist selbstinvers. Die Inverse der inversen Matrix ist stets wieder die Ausgangsmatrix selbst:
Aufgrund der Gruppeneigenschaften ist das Produkt $A \cdot B$ zweier invertierbarer Matrizen $A$ und $B$ ebenfalls eine invertierbare Matrix und es gilt:
Allgemein gilt für die inverse Matrix des Produkts mehrerer Matrizen:
Weitere Eigenschaften
Im Zusammenhang mit inversen Matrizen gelten zudem die folgenden Eigenschaften:
- Für die inverse Matrix des Produkts einer Matrix $A \in \mathcal{K}^{n \times n}$ mit einem Skalar $\lambda \in \mathcal{K}$ gilt: \[ {\bigl( \lambda \cdot A \bigl)}^{-1} = \lambda^{-1} \cdot A^{-1}. \]
- Die inverse Matrix der Transponierten entspricht der transponierten Matrix der Inversen: \[ {\bigl( A^{\mathsf{T}} \bigr)}^{-1} = {\bigl( A^{-1} \bigr)}^{\mathsf{T}}. \]
- Die Inverse der adjungierten komplexen Matrix entspricht der Adjungierten der Inversen: \[ {\bigl( A^{\mathsf{H}} \bigr)}^{-1} = {\bigl( A^{-1} \bigr)}^{\mathsf{H}}. \]
- Der Rang der Matrix entspricht dem Rang der inversen Matrix: \[ \rang\bigl(A\bigr) = \rang\bigl(A^{-1}\bigr) = n. \]
- Handelt es sich bei $\lambda$ um einen Eigenwert der Matrix $A$ mit dem Eigenvektor $v$, so ist $\lambda^{-1}$ ein Eigenwert der inversen Matrix $A^{-1}$ mit demselben Eigenvektor $v$.