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Nullraum einer Matrix – Interaktiver Aufgabengenerator mit Musterlösungen

Artikel zum Nachlesen: Nullraum einer Matrix

Der interaktive Aufgabengenerator zum Thema Nullraum einer Matrix (Kern einer Matrix) erzeugt dir eine unbegrenzte Anzahl an individuell anpassbaren Übungsaufgaben und Beispielen. Er unterstützt dich dabei, diese zu lösen und das Thema ausgiebig zu üben. Hierzu erstellt der Generator für jede Aufgabe eine ausführliche, verständliche Musterlösung und bietet dir zudem die Möglichkeit, deine eigenen Lösungen direkt zu überprüfen. Sämtliche Hilfestellungen stehen sowohl für die freien Beispiele als auch für generierte und eigene Aufgaben im vollen Umfang zur Verfügung.

Aufgabe erstellen

Beispielaufgaben

Aufgabe 1 von 3

Gegeben sei die folgende Matrix mit Koeffizienten aus $\Q$ :

\begin{bmatrix} 1 & -1 & 4 \\ -1 & 2 & -3 \\ 1 & 1 & 6 \end{bmatrix}

Bestimme mithilfe des Gauß-Algorithmus eine Basis für den Nullraum der gegebenen Matrix.

Aufgabengenerator

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Anzahl Zeilen:

–

Anzahl Spalten:

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Anzahl Basisvektoren:

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Reduzierte Zeilenstufenform:

Typ:

Ganze Zahlen $\Z$

Rationale Zahlen $\Q$

Restklassenkörper $\Z_p$ mit $p=$

Eigene Aufgabe

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Gib an, aus welchem Zahlenbereich die Koeffizienten der Matrix stammen sollen. Gib außerdem an, ob die Matrix in reduzierte Zeilenstufenform überführt werden soll.

Typ:

Rationale Zahlen $\Q$

Restklassenkörper $\Z_p$ mit $p=$

Reduzierte Zeilenstufenform:

Gib die Matrix ein, für deren Nullraum eine Basis bestimmt werden soll.

$$ 0$$	$$ 0$$	$$ 0$$
$$ 0$$	$$ 0$$	$$ 0$$
$$ 0$$	$$ 0$$	$$ 0$$

Zeilen:

Spalten:

Aufgabe lösen

Musterlösung

Um eine Basis $\mathfrak{B}$ des Nullraums $N(A)$ der gegebenen Matrix $A$ zu bestimmen, muss zunächst das homogene lineare Gleichungssystem $Ax=0$ gelöst werden.

Zunächst wird die erweiterte Koeffizientenmatrix aufgestellt.

\left[\begin{array}{rrr|r}1 & -1 & 4 & 0 \\ -1 & 2 & -3 & 0 \\ 1 & 1 & 6 & 0 \end{array}\right]

Diese wird anschließend mithilfe des Gauß-Algorithmus schrittweise in Zeilenstufenform überführt.

\begin{array}{rrr|r|l}1 & -1 & 4 & 0 & \\[0.25em]-1 & 2 & -3 & 0 & \text{II} + \text{I} \\[0.25em]1 & 1 & 6 & 0 & \text{III} - \text{I} \\[0.25em]\hline1 & -1 & 4 & 0 & \\[0.25em]0 & 1 & 1 & 0 & \\[0.25em]0 & 2 & 2 & 0 & \text{III} - 2 \cdot \text{II} \\[0.25em]\hline1 & -1 & 4 & 0 & \\[0.25em]0 & 1 & 1 & 0 & \\[0.25em]0 & 0 & 0 & 0 & \end{array}

Ausgehend von der erhaltenen Zeilenstufenform kann nun mittels Rückwärtseinsetzen die Lösung des linearen Gleichungssystems bestimmt werden. Für die freie Variable wird der Parameter $\lambda_3 \in \Q$ verwendet.

\begin{align*}x_3 &= \lambda_3 \\[1em]x_2 &= 0-x_3 \\[0.5em]&= 0-\lambda_3 \\[0.5em]&= -\lambda_3 \\[1em]x_1 &= 0+x_2-4x_3 \\[0.5em]&= 0+\left(-\lambda_3\right)-4\lambda_3 \\[0.5em]&= -5\lambda_3\end{align*}

Die gefundene Lösung kann alternativ auch in Parameterform dargestellt werden.

x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \lambda_3 \cdot \begin{bmatrix} -5 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}

Die Basisvektoren des Nullraums $N(A)$ können an der Lösung des homogenen linearen Gleichungssystems $Ax=0$ direkt abgelesen werden – es handelt sich um die Richtungs- bzw. Spannvektoren der Parameterform. Diese erzeugen den Nullraum und sind implizit linear unabhängig, weswegen sie eine Basis $\mathfrak{B}$ bilden.

b_{1}=\begin{bmatrix} -5 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}\]\[\mathfrak{B} = \Bigl\{b_1\Bigr\}

Lösung überprüfen

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Gib die Anzahl der Basisvektoren sowie die bestimmte Basis des Nullraums ein.

Anzahl Basisvektoren:

\[b_1=\]

$ 0$

$ 0$

$ 0$