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Nullraum einer Matrix – Interaktiver Aufgabengenerator

Artikel zum Nachlesen: Nullraum einer Matrix

Der interaktive Aufgabengenerator zum Thema Nullraum einer Matrix (Kern einer Matrix) erzeugt dir eine unbegrenzte Anzahl an individuell anpassbaren, prozedural generierten Übungsaufgaben. Er unterstützt dich dabei, die Aufgaben zu lösen, das Thema ausgiebig zu üben und zu verstehen. Hierzu erstellt der Generator für jede Aufgabe eine ausführliche, verständliche Schritt-für-Schritt Musterlösung und bietet dir zudem die Möglichkeit, deine eigenen Lösungen direkt zu überprüfen. Alle Lösungen und Lösungswege werden deterministisch mithilfe der zugrundeliegenden mathematischen Verfahren berechnet. Sämtliche Hilfestellungen stehen sowohl für die freien Beispiele als auch für generierte und eigene Aufgaben im vollen Umfang zur Verfügung.

Aufgabe erstellen

Beispielaufgaben

Die ausgewählten Beispiele ermöglichen es dir, einige Generator-Konfigurationen und die verfügbare Unterstützung beim Lösen der Aufgaben unverbindlich und in aller Ruhe kennenzulernen.

Aufgabe 1 von 3

Gegeben sei die folgende Matrix mit Koeffizienten aus $\Q$ :

\begin{bmatrix} 1 & -1 & 4 \\ -1 & 2 & -3 \\ 1 & 1 & 6 \end{bmatrix}

Bestimme mithilfe des Gauß-Algorithmus eine Basis für den Nullraum der gegebenen Matrix.

Aufgabengenerator

Der Aufgabengenerator ermöglicht es dir, beliebig viele, an deine individuellen Bedürfnisse angepasste Aufgaben zu generieren, um dich perfekt mit dem Thema vertraut zu machen.

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Konfiguration anpassen

Konfiguriere den Aufgabengenerator nach deinen Wünschen – von einfachen Beispielen bis zu anspruchsvollen Herausforderungen.

Anzahl Zeilen:

–

Anzahl Spalten:

–

Anzahl Basisvektoren:

–

Reduzierte Zeilenstufenform:

Typ:

Ganze Zahlen $\Z$

Rationale Zahlen $\Q$

Restklassenkörper $\Z_p$ mit $p=$

Hier könnte deine generierte Aufgabe stehen!

Eigene Aufgabe

Eigene Aufgabe verwenden

Löse deine eigenen Aufgaben oder lasse deiner Neugier freien Lauf – mit voller Unterstützung des Generators.

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Gib an, aus welchem Zahlenbereich die Koeffizienten der Matrix stammen sollen. Gib außerdem an, ob die Matrix in reduzierte Zeilenstufenform überführt werden soll.

Typ:

Rationale Zahlen $\Q$

Restklassenkörper $\Z_p$ mit $p=$

Reduzierte Zeilenstufenform:

Gib die Matrix ein, für deren Nullraum eine Basis bestimmt werden soll.

$$ 0$$	$$ 0$$	$$ 0$$
$$ 0$$	$$ 0$$	$$ 0$$
$$ 0$$	$$ 0$$	$$ 0$$

Zeilen:

Spalten:

Aufgabe lösen

Musterlösung

Um eine Basis $\mathfrak{B}$ des Nullraums $N(A)$ der gegebenen Matrix $A$ zu bestimmen, muss zunächst das homogene lineare Gleichungssystem $Ax=0$ gelöst werden.

Zunächst wird die erweiterte Koeffizientenmatrix aufgestellt.

\left[\begin{array}{rrr|r}1 & -1 & 4 & 0 \\ -1 & 2 & -3 & 0 \\ 1 & 1 & 6 & 0 \end{array}\right]

Diese wird anschließend mithilfe des Gauß-Algorithmus schrittweise in Zeilenstufenform überführt.

\begin{array}{rrr|r|l}1 & -1 & 4 & 0 & \\[0.25em]-1 & 2 & -3 & 0 & \text{II} + \text{I} \\[0.25em]1 & 1 & 6 & 0 & \text{III} - \text{I} \\[0.25em]\hline1 & -1 & 4 & 0 & \\[0.25em]0 & 1 & 1 & 0 & \\[0.25em]0 & 2 & 2 & 0 & \text{III} - 2 \cdot \text{II} \\[0.25em]\hline1 & -1 & 4 & 0 & \\[0.25em]0 & 1 & 1 & 0 & \\[0.25em]0 & 0 & 0 & 0 & \end{array}

Ausgehend von der erhaltenen Zeilenstufenform kann nun mittels Rückwärtseinsetzen die Lösung des linearen Gleichungssystems bestimmt werden. Für die freie Variable wird der Parameter $\lambda_3 \in \Q$ verwendet.

\begin{align*}x_3 &= \lambda_3 \\[1em]x_2 &= 0-x_3 \\[0.5em]&= 0-\lambda_3 \\[0.5em]&= -\lambda_3 \\[1em]x_1 &= 0+x_2-4x_3 \\[0.5em]&= 0+\left(-\lambda_3\right)-4\lambda_3 \\[0.5em]&= -5\lambda_3\end{align*}

Die gefundene Lösung kann alternativ auch in Parameterform dargestellt werden.

x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \lambda_3 \cdot \begin{bmatrix} -5 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}

Die Basisvektoren des Nullraums $N(A)$ können an der Lösung des homogenen linearen Gleichungssystems $Ax=0$ direkt abgelesen werden – es handelt sich um die Richtungs- bzw. Spannvektoren der Parameterform. Diese erzeugen den Nullraum und sind implizit linear unabhängig, weswegen sie eine Basis $\mathfrak{B}$ bilden.

b_{1}=\begin{bmatrix} -5 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}\]\[\mathfrak{B} = \Bigl\{b_1\Bigr\}

Lösung überprüfen

Eigene Lösung überprüfen

Gib die Anzahl der Basisvektoren sowie die bestimmte Basis des Nullraums ein.

Anzahl Basisvektoren:

\[b_1=\]

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$ 0$