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Aufgaben zum Nullraum einer Matrix
Der interaktive Aufgabengenerator zum Thema Nullraum einer Matrix erstellt dir eine unbegrenzte Anzahl an individuell anpassbaren Aufgaben und unterstützt dich dabei, diese zu bearbeiten und zu lösen – unter anderem durch ausführliche und verständliche Musterlösungen. Darüber hinaus ist dieselbe Unterstützung auch für deine eigenen Aufgaben verfügbar.
Aufgabe 1 von 3
Gegeben sei die folgende Matrix mit Koeffizienten aus \(\Q\):
\[\begin{bmatrix} 1 & -1 & 4 \\ -1 & 2 & -3 \\ 1 & 1 & 6 \end{bmatrix}\]
Bestimme mithilfe des Gauß-Algorithmus eine Basis für den Nullraum der gegebenen Matrix.
Um eine Basis \(\mathfrak{B}\) des Nullraums \(N(A)\) der gegebenen Matrix \(A\) zu bestimmen, muss zunächst das homogene lineare Gleichungssystem \(Ax=0\) gelöst werden.
Zunächst wird die erweiterte Koeffizientenmatrix aufgestellt.
\[\left[\begin{array}{rrr|r}1 & -1 & 4 & 0 \\ -1 & 2 & -3 & 0 \\ 1 & 1 & 6 & 0 \end{array}\right]\]
Diese wird anschließend mithilfe des Gauß-Algorithmus schrittweise in Zeilenstufenform überführt.
\[\begin{array}{rrr|r|l}
1 & -1 & 4 & 0 & \\[0.25em]
-1 & 2 & -3 & 0 & \text{II} + \text{I} \\[0.25em]
1 & 1 & 6 & 0 & \text{III} - \text{I} \\[0.25em]
\hline
1 & -1 & 4 & 0 & \\[0.25em]
0 & 1 & 1 & 0 & \\[0.25em]
0 & 2 & 2 & 0 & \text{III} - 2 \cdot \text{II} \\[0.25em]
\hline
1 & -1 & 4 & 0 & \\[0.25em]
0 & 1 & 1 & 0 & \\[0.25em]
0 & 0 & 0 & 0 &
\end{array}\]
Ausgehend von der erhaltenen Zeilenstufenform kann nun mittels Rückwärtseinsetzen die Lösung des linearen Gleichungssystems bestimmt werden. Für die freie Variable wird der Parameter \(\lambda_3 \in \Q\) verwendet.
\[\begin{align*}
x_3 &= \lambda_3 \\[1em]
x_2 &= 0-x_3 \\[0.5em]
&= 0-\lambda_3 \\[0.5em]
&= -\lambda_3 \\[1em]
x_1 &= 0+x_2-4x_3 \\[0.5em]
&= 0+\left(-\lambda_3\right)-4\lambda_3 \\[0.5em]
&= -5\lambda_3
\end{align*}\]
Die gefundene Lösung kann alternativ auch in Parameterform dargestellt werden.
\[x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \lambda_3 \cdot \begin{bmatrix} -5 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}\]
Die Basisvektoren des Nullraums \(N(A)\) können an der Lösung des homogenen linearen Gleichungssystems \(Ax=0\) direkt abgelesen werden – es handelt sich um die Richtungs- bzw. Spannvektoren der Parameterform. Diese erzeugen den Nullraum und sind implizit linear unabhängig, weswegen sie eine Basis \(\mathfrak{B}\) bilden.
\[b_{1}=\begin{bmatrix} -5 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}\]\[\mathfrak{B} = \Bigl\{b_1\Bigr\}\]
