Aufgaben

Aufgaben zur Division von Polynomen

Der interaktive Aufgabengenerator zum Thema Division von Polynomen erstellt dir eine unbegrenzte Anzahl an individuell anpassbaren Aufgaben und unterstützt dich dabei, diese zu bearbeiten und zu lösen – unter anderem durch ausführliche und verständliche Musterlösungen. Darüber hinaus ist dieselbe Unterstützung auch für deine eigenen Aufgaben verfügbar.

Aufgabe 1 von 2

Gegeben seien die folgenden Polynome mit Koeffizienten aus $\Z$ :

\begin{align*}a(x) &= 2x^4 + x^3 + x + 3 \\[0.5em]b(x) &= x^2 + x - 1\end{align*}

Bestimme eine Zerlegung mit Rest für die Polynome $a(x)$ und $b(x)$, d.h., berechne Polynome $q(x)$ und $r(x)$ derart, dass $a(x) = q(x) \cdot b(x) + r(x)$ sowie $\grad(r(x)) < \grad(b(x))$ gilt.

Musterlösung
Lösung überprüfen

Die Berechnung der Zerlegung mit Rest kann schrittweise mittels Polynomdivision durchgeführt werden.

\begin{align*}\begin{alignedat}{7}& & \llap{\bigl(} 2x^4 & \,+\, & x^3 & & & \,+\, & x & \,+\, & 3\rlap{\bigr)} & &\ \, : & \, \bigl(x^2 + x - 1\bigr) = 2x^2 - x + 3\\[0.5em]& \phantom{-\bigl(}& \llap{-\bigl(} 2x^4 & \,+\, & 2x^3 & \,-\, & 2x^2\rlap{\bigr)} & & & & & & & \\[0.5em]\hline& & & \,-\, & x^3 & \,+\, & 2x^2 & \,+\, & x & \,+\, & 3 & & & \\[0.5em]& & & \llap{-\bigl(}\,-\, & x^3 & \,-\, & x^2 & \,+\, & x\rlap{\bigr)} & & & & & \\[0.5em]\hline& & & & & & 3x^2 & & & \,+\, & 3 & & & \\[0.5em]& & & & & & \llap{-\bigl(} 3x^2 & \,+\, & 3x & \,-\, & 3\rlap{\bigr)} & & & \\[0.5em]\hline& & & & & & & \,-\, & 3x & \,+\, & 6 & & & \\[0.5em]\end{alignedat}\end{align*}

Die Division der beiden Polynome liefert die folgende Zerlegung mit Rest:

\underbrace{2x^4 + x^3 + x + 3}_{=\ a(x)} = \left(\underbrace{2x^2 - x + 3}_{=\ q(x)}\right) \cdot \left(\underbrace{x^2 + x - 1}_{=\ b(x)}\right)\underbrace{-3x + 6}_{=\ r(x)}