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Division von Polynomen

Bei der Polynomdivision handelt es sich um eine Zerlegung mit Rest, die zu gegebenen Polynomen ein Quotienten- und ggf. ein Restpolynom liefert, das nicht als Vielfaches des Divisors dargestellt werden kann.

Definition

Gegeben seien zwei Polynome $a(x)$ und $b(x)$ mit Koeffizienten aus einem Ring mit Eins $\mathcal{R}$. Falls es sich beim Leitkoeffizienten des Polynoms $b(x)$ um eine Einheit des Rings $\mathcal{R}$ handelt, also um ein Element mit einem multiplikativen Inversen, so existieren eindeutig bestimmte Polynome $q(x)$ und $r(x)$ mit $\grad r(x) \lt \grad b(x)$, so dass gilt:

a(x) = q(x) \cdot b(x) + r(x).

Hierbei handelt es sich um eine Zerlegung mit Rest von $a(x)$ bezüglich $b(x)$.

Beschreibung des Verfahrens

Seien $a(x)$ und $b(x)$ Polynome mit Koeffizienten aus einem Ring mit Eins $\mathcal{R}$. Es gelte $\grad a(x) = n$, $\grad b(x) = m$ sowie $\grad b(x) \leq \grad a(x)$.

Die Division von Polynomen funktioniert im Wesentlichen analog zur schriftlichen Division von ganzen Zahlen. Um das Polynom $a(x)$ (den Dividenden) durch das Polynom $b(x)$ (den Divisor) zu teilen, muss zunächst die höchste Potenz $a_nx^n$ des Dividenden als Vielfaches der höchsten Potenz $b_mx^m$ des Divisors dargestellt werden. Hierzu muss die Frage beantwortet werden, wie oft $b_mx^m$ in $a_nx^n$ hineinpasst bzw. womit $b_mx^m$ multipliziert werden muss, um $a_nx^n$ zu erhalten. Die erste Frage lässt sich direkt auf eine Division zurückführen:

q_rx^r = \frac{a_nx^n}{b_mx^m} = \frac{a_n}{b_m}\, x^{n-m}

Da in vielen Ringen $\mathcal{R}$ keine Division existiert – das gilt insbesondere, wenn es sich bei $\mathcal{R}$ nicht um einen Körper handelt –, ist es meist sinnvoll, stattdessen die zweite Frage zu beantworten, nämlich womit $b_mx^m$ multipliziert werden muss, um $a_nx^n$ zu erhalten:

\begin{align*} a_n\,x^n &= (a_n \cdot 1)\,x^n \\[0.5em] &= \Bigl(a_n \cdot \left(b_m^{-1} \cdot b_m\right)\Bigr)\,x^{n} \\[0.5em] &= \Bigl(\left(a_n \cdot b_m^{-1}\right) \cdot b_m \Bigr)\,x^{(n-m)+m} \\[0.5em] &= \underbrace{\left(a_n \cdot b_m^{-1}\right)\,x^{n-m}}_{=\ q_rx^r} \cdot b_m\,x^m \end{align*}

Der Koeffizient $q_r$ entspricht also dem Produkt $a_nb_m^{-1}$, wobei $b_m^{-1}$ das multiplikative Inverse des Leitkoeffizienten $b_m$ des Divisors $b(x)$ ist. Hierin liegt die Forderung begründet, dass es sich beim Leitkoeffizienten $b_m$ des Divisors um eine Einheit des Rings $\mathcal{R}$ handeln muss, da ansonsten das multiplikative Inverse $b_m^{-1}$ nicht existiert. Da die Division, falls existent, im Allgemeinen als Verknüpfung mit dem multiplikativen Inversen definiert wird, entspricht der Quotient $\frac{a_n}{b_m}$ dem Produkt $a_nb_m^{-1}$.

Der so erhaltene Term $q_rx^r$ wird als Summand in das Quotientenpolynom $q(x)$ aufgenommen. (Anmerkung: Die kleineren Potenzen des Divisors $b(x)$ können bei der Bestimmung von $q_rx^r$ ignoriert werden, da bei der Multiplikation von Polynomen die höchste Potenz im Produkt ausschließlich durch das Produkt der höchsten Potenzen der Faktoren entsteht.)

Anschließend wird das $q_rx^r$-fache des Divisors $b(x)$ vom Dividenden $a(x)$ abgezogen; dies entspricht dem Teil des Dividenden, der nun als Vielfaches des Divisors dargestellt wurde. Bei der Differenz $a(x)-q_rx^r \cdot b(x)$ handelt es sich folglich um den Rest des ursprünglichen Dividenden $a(x)$, der noch nicht als Vielfaches des Divisors dargestellt wurde.

Für diesen Rest werden die beschriebenen Schritte nun erneut durchgeführt: Die höchste Potenz des Restpolynoms wird als Vielfaches der höchsten Potenz $b_mx^m$ des Divisors dargestellt und das entsprechende Vielfache des Divisors vom Restpolynom abgezogen. Dies wird solange wiederholt, bis der Grad des Restpolynoms kleiner als der Grad des Divisors ist: Das Restpolynom kann dann nicht mehr als Vielfaches des Divisors dargestellt werden, womit die Abbruchbedingung des Algorithmus zur Polynomdivision erreicht ist.

Bei dem derart berechneten Polynom $q(x)$ und dem verbleibenden Restpolynom $r(x)$ handelt es sich um die eindeutig bestimmten Polynome der gesuchten Zerlegung mit Rest.

Beispiele

Beispiel 1

Gegeben seien die beiden nachfolgenden Polynome mit Koeffizienten aus den ganzen Zahlen $\Z$:

\begin{align*} a(x) &= 3x^4 + 3x^2 + x + 1 \\[0.5em] b(x) &= x^2 - x + 3 \end{align*}

Für die Polynomdivision ergeben sich die folgenden Schritte:

\begin{align*} \begin{alignedat}{7} & & \llap{\bigl(} 3x^4 & & & \,+\, & 3x^2 & \,+\, & x & \,+\, & 1\rlap{\bigr)} & &\ \, : & \, \bigl({\color{Red}x^2} - x + 3\bigr) = {\color{CornflowerBlue} 3x^2} {\color{Orange}{}+ 3x} {\color{Magenta}{}-3} \\[0.5em] & \phantom{-\bigl(} & \llap{-\bigl(} {\color{CornflowerBlue}3x^4} & \,{\color{CornflowerBlue}-}\, & {\color{CornflowerBlue}3x^3} & \,{\color{CornflowerBlue}+}\, & {\color{CornflowerBlue}9x^2}\rlap{\bigr)} & & & & & & & \\[0.5em]\hline & & & & 3x^3 & \,-\, & 6x^2 & \,+\, & x & \,+\, & 1 & & & \\[0.5em] & & & & \llap{-\bigl(} {\color{Orange}3x^3} & \,{\color{Orange}-}\, & {\color{Orange}3x^2} & \,{\color{Orange}+}\, & {\color{Orange}9x}\rlap{\bigr)} & & & & & \\[0.5em]\hline & & & & & \,-\, & 3x^2 & \,-\, & 8x & \,+\, & 1 & & & \\[0.5em] & & & & & \llap{-\bigl(}\,{\color{Magenta}-}\, & {\color{Magenta}3x^2} & \,{\color{Magenta}+}\, & {\color{Magenta}3x} & \,{\color{Magenta}-}\, & {\color{Magenta}9}\rlap{\bigr)} & & & \\[0.5em]\hline & & & & & & & \,-\, & 11x & \,+\, & 10 & & & \end{alignedat} \end{align*}

Um das Polynom $3x^4 + 3x^2 + x + 1$ als Vielfaches des Divisors $x^2-x+3$ darzustellen, muss im ersten Schritt zunächst die höchste Potenz $3x^4$ als Vielfaches von $ {\color{Red}x^2}$ dargestellt werden; hierzu muss $ {\color{Red}x^2}$ mit $ {\color{CornflowerBlue} 3x^2}$ multipliziert werden. Folglich ist $ {\color{CornflowerBlue} 3x^2}$ der erste Term des Quotienten. Um das verbleibende, noch darzustellende Restpolynom zu bestimmen, wird anschließend das $ {\color{CornflowerBlue} 3x^2}$-fache des Divisors, also $ {\color{CornflowerBlue}3x^4-3x^2+9x^2}$, vom darzustellenden Polynom abgezogen.
Um das verbleibende Polynom $3x^3-6x^2+x+1$ als Vielfaches des Divisors $x^2-x+3$ darzustellen, muss im zweiten Schritt die höchste Potenz $3x^3$ als Vielfaches von $ {\color{Red}x^2}$ dargestellt werden; hierzu muss $ {\color{Red}x^2}$ mit $ {\color{Orange} 3x}$ multipliziert werden. Folglich ist $ {\color{Orange} 3x}$ der zweite Summand des Quotienten. Um das verbleibende, noch darzustellende Restpolynom zu bestimmen, wird anschließend das $ {\color{Orange} 3x}$-fache des Divisors, also $ {\color{Orange}3x^3-3x^2+9x}$, vom darzustellenden Polynom abgezogen.
Um das verbleibende Polynom $-3x^2-8x+1$ als Vielfaches des Divisors $x^2-x+3$ darzustellen, muss im dritten Schritt die höchste Potenz $-3x^2$ als Vielfaches von $ {\color{Red}x^2}$ dargestellt werden; hierzu muss $ {\color{Red}x^2}$ mit $ {\color{Magenta} -3}$ multipliziert werden. Folglich ist $ {\color{Magenta} -3}$ der dritte Summand des Quotienten. Um das verbleibende, noch darzustellende Restpolynom zu bestimmen, wird anschließend das $ {\color{Magenta}(-3)}$-fache des Divisors, also $ {\color{Magenta}-3x^2+3x-9}$, vom darzustellenden Polynom abgezogen.
Das verbleibende Polynom $-11x+10$ kann nicht mehr als Vielfaches des Divisors $x^2-x+3$ dargestellt werden, da der Grad $1$ des Restpolynoms kleiner als der Grad $2$ des Divisors ist.

Insgesamt ergibt sich die folgende Zerlegung mit Rest:

\underbrace{3x^{4} + 3x^{2} + x + 1}_{=\ a(x)} = \Bigl(\underbrace{3x^{2} + 3x - 3}_{=\ q(x)}\Bigr) \cdot \Bigl(\underbrace{x^{2} - x + 3}_{=\ b(x)}\Bigr) + \Bigl(\underbrace{-11x + 10}_{=\ r(x)}\Bigr)

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Beispiel 2

Gegeben seien die beiden nachfolgenden Polynome mit Koeffizienten aus dem Restklassenring $\Z_5$:

\begin{align*} a(x) &= {[2]}_5x^3 + {[3]}_5x^2 + {[4]}_5x + {[1]}_5 \\[0.5em] b(x) &= {[3]}_5x^2 + {[1]}_5 \end{align*}

Für die Polynomdivision ergeben sich die folgenden Schritte:

\begin{align*} \begin{alignedat}{6} & & \llap{\bigl(} {[2]}_5x^3 & \,+\, & {[3]}_5x^2 & \,+\, & {[4]}_5x & \, + \, & {[1]}_5\rlap{\bigr)} & &\ \, : & \, \bigl({\color{Red}{[3]}_5x^2} + {[1]}_5\bigr) = {\color{CornflowerBlue}{[4]}_5x} {\color{Orange}{}+{[1]}_5}\\[0.5em] & \phantom{-\bigl(} & \llap{-\bigl(} {\color{CornflowerBlue}{[2]}_5x^3} & & & \,{\color{CornflowerBlue}+}\, & {\color{CornflowerBlue}{[4]}_5x}\rlap{\bigr)} & & & & & \\[0.5em]\hline & & & & {[3]}_5x^2 & & & \,+\, & {[1]}_5 & & & \\[0.5em] & & & & \llap{-\bigl(} {\color{Orange}{[3]}_5x^2} & & & \,{\color{Orange}+}\, & {\color{Orange}{[1]}_5}\rlap{\bigr)} & & & \\[0.5em]\hline & & & & & & & & {[0]}_5 & & & \end{alignedat} \end{align*}

Um das Polynom $ {[2]}_5x^3 + {[3]}_5x^2 + {[4]}_5x + {[1]}_5$ als Vielfaches des Divisors $ {[3]}_5x^2 + {[1]}_5$ darzustellen, muss im ersten Schritt zunächst die höchste Potenz $ {[2]}_5x^3$ als Vielfaches von $ {\color{Red}{[3]}_{5}x^2}$ dargestellt werden; hierzu muss $ {\color{Red}{[3]}_{5}x^2}$ mit $ {\color{CornflowerBlue} {[4]}_5x}$ multipliziert werden. Folglich ist $ {\color{CornflowerBlue} {[4]}_5x}$ der erste Term des Quotienten. Um das verbleibende, noch darzustellende Restpolynom zu bestimmen, wird anschließend das $ {\color{CornflowerBlue}{[4]}_5x}$-fache des Divisors, also $ {\color{CornflowerBlue}{[2]}_5x^3 + {[4]}_5x}$, vom darzustellenden Polynom abgezogen.
Um das verbleibende Polynom $ {[3]}_5x^2 + {[1]}_5$ als Vielfaches des Divisors $ {[3]}_5x^2 + {[1]}_5$ darzustellen, muss im zweiten Schritt die höchste Potenz $ {[3]}_5x^2$ als Vielfaches von $ {\color{Red}{[3]}_{5}x^2}$ dargestellt werden; hierzu muss $ {\color{Red}{[3]}_{5}x^2}$ mit $ {\color{Orange} {[1]}_5}$ multipliziert werden. Folglich ist $ {\color{Orange} {[1]}_5}$ der zweite Summand des Quotienten. Um das verbleibende, noch darzustellende Restpolynom zu bestimmen, wird anschließend das $ {\color{Orange} {[1]}_5}$-fache des Divisors, also $ {\color{Orange}{[3]}_5x^2 + {[1]}_5}$, vom darzustellenden Polynom abgezogen.
Das verbleibende Polynom $ {[0]}_5$ bedeutet, dass die Polynomdivision beendet ist und ohne Rest möglich war.

Das Polynom $a(x)$ ist ohne Rest durch $b(x)$ teilbar. Insgesamt ergibt sich die folgende Zerlegung mit Rest:

\underbrace{{[2]}_{5}x^{3} + {[3]}_{5}x^{2} + {[4]}_{5}x + {[1]}_{5}}_{=\ a(x)} = \Bigl(\underbrace{{[4]}_{5}x + {[1]}_{5}}_{=\ q(x)}\Bigr) \cdot \Bigl(\underbrace{{[3]}_{5}x^{2} + {[1]}_{5}}_{=\ b(x)}\Bigr)

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Eigenschaften

Verknüpfung

Bei der Polynomdivision handelt es sich im Allgemeinen nicht um eine innere zweistellige Verknüpfung $\mathcal{R}[x] \times \mathcal{R}[x] \rightarrow \mathcal{R}[x]$ auf Polynomen aus dem Polynomring $\mathcal{R}[x]$, da es sich beim Ergebnis der Polynomdivision zumeist nicht um ein einzelnes, sondern um zwei Polynome aus $\mathcal{R}[x]$ handelt – das Quotientenpolynom $q(x)$ und das Restpolynom $r(x)$.

Ist die Division von Polynomen mit Koeffizienten aus einem (speziellen) Ring $\mathcal{R}$ stets ohne Rest möglich, so handelt es sich beim Polynomring $\mathcal{R}[x]$ um einen Körper; bei der Polynomdivision handelt es sich dann um die Umkehrung der Polynommultiplikation.

Euklidischer Ring

Ist die Polynomdivision für beliebige Elemente des Polynomrings $\mathcal{R}[x]$ immer möglich, so handelt es sich bei $\mathcal{R}[x]$ um einen euklidischen Ring. Umgekehrt gilt: Handelt es sich bei $\mathcal{R}[x]$ um einen euklidischen Ring, so ist die Polynomdivision für beliebige Elemente von $\mathcal{R}[x]$ immer möglich.

Dies ist genau dann der Fall, wenn es sich bei $\mathcal{R}$ um einen Körper handelt.

Assoziativität

Die Division von Polynomen $a(x)$, $b(x)$ und $c(x)$ ist nicht assoziativ; im Allgemeinen gilt:

\Bigl(a(x) : b(x) \Bigr) : c(x) \neq a(x) : \Bigl( b(x) : c(x) \Bigr)

Die Nichtassoziativität der Division von Polynomen kann leicht mithilfe eines Gegenbeispiels gezeigt werden. Gegeben seien die folgenden Polynome:

\begin{align*} a(x) &= x^8 \\[0.5em] b(x) &= x^4 \\[0.5em] c(x) &= x^2 \end{align*}

Für die Polynome $a(x)$, $b(x)$ und $c(x)$ gilt

\begin{align*} \Bigl( a(x) : b(x) \Bigr) : c(x) &= \underbrace{\Bigl( x^8 : x^4 \Bigr)}_{=\ x^2} : x^2 \\[0.5em] &= 1 \\[1em] a(x) : \Bigl( b(x) : c(x) \Bigr) &= x^8 : \underbrace{\Bigl( x^4 : x^2 \Bigr)}_{=\ x^2} \\[0.5em] &= x^4, \end{align*}

woraus unmittelbar die Nichtassoziativität der Division von Polynomen folgt.

Hinweis: Die Verkettung der Division funktioniert nur dann, wenn alle Divisionen jeweils ohne Rest möglich sind; ansonsten ist sie undefiniert.

Kommutativität

Die Division von Polynomen $a(x)$ und $b(x)$ ist nicht kommutativ; im Allgemeinen gilt:

a(x) : b(x) \neq b(x) : a(x)

Die Nichtkommutativität der Division von Polynomen kann leicht mithilfe eines Gegenbeispiels gezeigt werden. Gegeben seien die folgenden Polynome:

\begin{align*} a(x) &= x^4 \\[0.5em] b(x) &= x^2 \end{align*}

Für die Zerlegungen mit Rest gilt

\begin{align*} a(x) : b(x) \Rightarrow x^4 &= \underbrace{x^2}_{=\ q(x)} \cdot x^2 + \underbrace{0}_{=\ r(x)} \\[0.5em] b(x) : a(x) \Rightarrow x^2 &= \underbrace{0}_{=\ q(x)} \cdot x^4 + \underbrace{x^2}_{=\ r(x)}, \end{align*}

woraus unmittelbar die Nichtkommutativität der Division von Polynomen folgt.

Neutrales Element

Es existiert kein neutrales Element bezüglich der Division von Polynomen. Das konstante Polynom $1$ ist rechtsneutral, aber nicht linksneutral.

Inverses Element

Das inverse Element eines Polynoms $a(x)$ bezüglich der Polynomdivision existiert im Allgemeinen nicht.