Aufgaben
Aufgaben zu Nullstellen von Polynomen
Der interaktive Aufgabengenerator zum Thema Nullstellen von Polynomen erstellt dir eine unbegrenzte Anzahl an individuell anpassbaren Aufgaben und unterstützt dich dabei, diese zu bearbeiten und zu lösen – unter anderem durch ausführliche und verständliche Musterlösungen. Darüber hinaus ist dieselbe Unterstützung auch für deine eigenen Aufgaben verfügbar.
Aufgabe 1 von 3
Gegeben sei das folgenden Polynome mit Koeffizienten aus \(\Q\):
\[p(x) = x^2 - 5x + 6\]
Bestimme alle rationalen Nullstellen des Polynoms \(p(x)\).
Zum Bestimmen der Nullstellen des Polynoms muss die folgende quadratische Gleichung gelöst werden.
\[x^2 - 5x + 6 = 0\]
- Zusammenfassen und Normieren der Gleichung.
Die quadratische Gleichung liegt bereits in der normierten Form \({x}^2 + p x + q = 0\) vor.
\[\begin{align*}
x^2 - 5x + 6 &= 0
\end{align*}\]
Es gilt \(p=-5\) und \(q=6\).
- Anwenden der pq-Formel.
Die gesuchten Lösungen können mithilfe der pq-Formel direkt berechnet werden.
\[\begin{align*}
{x}_{1/2} &= -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\frac{p^2}{4} - q} \\[0.5em]
&= -\frac{-5}{2} \pm \sqrt{\frac{{\left(-5\right)}^{2}}{4}-6} \\[0.5em]
&= \frac{5}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4}}
\end{align*}\]
- Ausrechnen der Lösung.
Da der Wert unter der Wurzel – die Diskriminante – größer als Null ist, besitzt die quadratische Gleichung zwei verschiedene reelle Lösungen.
\[\begin{align*}
{x}_{1/2} &= \frac{5}{2} \pm \frac{1}{2} \\[1.5em]
\Rightarrow\ {x}_1 &= 2 \\[0.5em]
{x}_2 &= 3
\end{align*}\]
Es handelt sich bei beiden Lösungen ebenfalls um rationale Lösungen.
