Nullstellen von Polynomen – Interaktiver Aufgabengenerator

Die quadratische Gleichung kann mithilfe der pq-Formel wie folgt gelöst werden:

1. Zusammenfassen und Normieren der Gleichung.
   

   Die quadratische Gleichung liegt bereits in der normierten Form $ {x}^2 + p x + q = 0$ vor.

   \[\begin{align*}
   x^2 - 5x + 6 &= 0
   \end{align*}\]

   Es gilt $p=-5$ und $q=6$.

2. Anwenden der pq-Formel.
   

   Die gesuchten Lösungen können mithilfe der pq-Formel direkt berechnet werden.

   \[\begin{align*}
   {x}_{1/2} &= -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\frac{p^2}{4} - q} \\[0.5em]
   &= -\,\frac{-5}{2} \pm \sqrt{\frac{{\left(-5\right)}^2}{4} - 6} \\[0.5em]
   &= \frac{5}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4}}
   \end{align*}\]
3. Ausrechnen der Lösung.
   

   Da der Wert unter der Wurzel – die Diskriminante – größer als Null ist, besitzt die quadratische Gleichung zwei verschiedene reelle Lösungen.

   \[\begin{align*}
   {x}_{1/2} &= \frac{5}{2} \pm \frac{1}{2} \\[1.5em]
   \implies {x}_1 &= 2 \\[0.5em]
   {x}_2 &= 3
   \end{align*}\]

   Es handelt sich bei beiden Lösungen ebenfalls um rationale Lösungen.