Nachlesen

Rationale Zahlen

Inhalt

Definition
Arithmetische Operationen
Eigenschaften
Formale Konstruktion

Definition

Bei den rationalen Zahlen $\Q$ handelt es sich um die Menge aller Zahlen, die sich als Quotient aus zwei ganzen Zahlen darstellen lassen.

\Q = \left\{ \frac{m}{n} \mid m,n \in \Z, n \neq 0 \right\}

Arithmetische Operationen

Addition

Hauptartikel: Addition von rationalen Zahlen

Zwei rationale Zahlen $r_1 = \frac{a}{b}$ und $r_2 = \frac{c}{d}$ werden wie folgt addiert:

r_1 + r_2 = \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d + b \cdot c}{b \cdot d}

Subtraktion

Hauptartikel: Subtraktion von rationalen Zahlen

Zwei rationale Zahlen $r_1 = \frac{a}{b}$ und $r_2 = \frac{c}{d}$ werden wie folgt subtrahiert:

r_1 - r_2 = \frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d - b \cdot c}{b \cdot d}

Multiplikation

Hauptartikel: Multiplikation von rationalen Zahlen

Zwei rationale Zahlen $r_1 = \frac{a}{b}$ und $r_2 = \frac{c}{d}$ werden wie folgt multipliziert:

r_1 \cdot r_2 = \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

Division

Hauptartikel: Division von rationalen Zahlen

Zwei rationale Zahlen $r_1 = \frac{a}{b}$ und $r_2 = \frac{c}{d}$ werden wie folgt dividiert:

r_1 : r_2 = \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

Gleichheit

Zwei rationale Zahlen $r_1 = \frac{a}{b}$ und $r_2 = \frac{c}{d}$ sind genau dann gleich, wenn gilt:

a \cdot d = b \cdot c

Ordnung

Für zwei rationale Zahlen $r_1 = \frac{a}{b}$ und $r_2 = \frac{c}{d}$ mit positiven Nennern $c$ bzw. $d$ gilt $r_1 \lt r_2$ genau dann, wenn

a \cdot d \lt b \cdot c

gilt. Ist einer der Nenner negativ, so muss der entsprechende Bruch zunächst in eine Form mit positiven Nenner überführt werden:

\frac{-a}{-b} = \frac{a}{b} \quad\text{ bzw. }\quad \frac{a}{-b} = \frac{-a}{b}.

Additives Inverses

Eine rationale Zahl $r = \frac{a}{b}$ besitzt ein additives Inverses:

- \left( \frac{a}{b} \right) = \frac{-a}{b} = \frac{a}{-b}

Multiplikatives Inverses

Eine rationale Zahl $r = \frac{a}{b}$ mit $a \neq 0$ besitzt ein multiplikatives Inverses:

{\left( \frac{a}{b} \right)}^{-1} = \frac{b}{a}

Potenzierung

Für nichtnegative ganze Zahlen $n$ lässt sich die $n$-te Potenz einer rationalen Zahl wie folgt darstellen:

{\left( \frac{a}{b} \right)}^n = \frac{a^n}{b^n}

Gilt $a \neq 0$, so gilt außerdem:

{\left( \frac{a}{b} \right)}^{-n} = \frac{b^n}{a^n}

Eigenschaften

Abzählbarkeit

Die Menge $\Q$ der rationalen Zahlen ist abzählbar, da es möglich ist, eine bijektive Abbildung zwischen den natürlichen Zahlen $\N$ und den rationalen Zahlen $\Q$ zu definieren.

TODO Schema

Dichte Ordnung

Die rationalen Zahlen sind dicht geordnet, d.h., zwischen zwei rationalen Zahlen befindet sich stets eine weitere rationale Zahl – und somit unendlich viele rationale Zahlen.

Seien $r_1 = \frac{a}{b}$ und $r_2 = \frac{c}{d}$ zwei rationale Zahlen mit $r_1 \lt r_2$. Dann gilt beispielsweise

\frac{a}{b} \lt \underbrace{\frac{ad+bc}{2bd}}_{=\frac{r_1+r_2}{2}} \lt \frac{c}{d}.

Körper

Die Menge $\Q$ bildet zusammen mit der Addition und der Multiplikation den Körper $(\Q, +, \cdot)$ der rationalen Zahlen. Es handelt sich bei $(\Q, +, \cdot)$ zudem um den kleinsten Körper, der die natürlichen Zahlen $\N$ vollständig enthält.

Formale Konstruktion

Bei der formalen Konstruktion der rationalen Zahlen betrachtet man zunächst die Menge $Q$, die aus allen geordneten Paaren $(a,b)$ der ganzen Zahlen $a,b \in \Z$ mit $b \neq 0$ besteht. Die Zahlenpaare $(a,b)$ können hierbei als Brüche $\frac{a}{b}$ interpretiert werden. Auf dieser Menge definiert man eine Äquivalenzrelation $\sim$ derart, dass

(a,b) \sim (c,d) \Leftrightarrow ad - bc = 0

gilt. Die wesentliche Eigenschaft dieser Definition ist es, dass Brüche wie $\frac{1}{3}$, $\frac{2}{6}$ oder $\frac{-4}{-12}$, die durch Erweitern oder Kürzen auseinander hervorgehen, stets in derselben Äquivalenzklasse liegen. Brüche, die nicht durch Erweitern oder Kürzen auseinander hervorgehen, liegen stets in verschiedenen Äquivalenzklassen.

Für die Element der Menge $Q$ definiert man eine Addition $\oplus$ und eine Multiplikation $\otimes$, die den aus der Bruchrechnung bekannten Rechenregeln entsprechen. Für $a,b,c,d \in \Z$ mit $b \neq 0$ und $d \neq 0$ gilt:

\begin{align*} (a,b) \oplus (c,d) &:= (ad + bc, bd) \\[0.5em] (a,b) \otimes (c,d) &:= (ac, bd) \end{align*}

Für die Äquivalenzklassen der Relation $\sim$ definiert man Rechenregeln, die auf den Regeln der Bruchrechnung basieren und deren Zweck es ist, den Begriff der rationalen Zahl von der konkreten Bruchdarstellung zu abstrahieren:

Gegeben seien die Äquivalenzklassen $q,r,s$. Die Addition $q+r=s$ der Äquivalenzklassen $q$ und $r$ ist wie folgt definiert: Man wählt ein Element $(a,b)$ aus $q$ sowie ein Element $(c,d)$ aus $r$ und berechnet deren Summe $(e,f)$ mit der zuvor definierten Addition $\oplus$. Die Summe $(e,f)$ ist hierbei stets ein Element der Äquivalenzklasse $s$ – die konkrete Wahl der Paare $(a,b)$ bzw. $(c,d)$ spielt keine Rolle.
Analog zur Addition wird für die Äquivalenzklassen $q,r,t$ eine Multiplikation $q \cdot r = t$ definiert.

Die Äquivalenzklassen $q,r,s,t,\ldots$ fasst man als Elemente einer neuen Menge $\Q$ auf und nennt sie rationale Zahlen. Bei einer rationalen Zahl $r \in \Q$ handelt es sich also um eine unendliche Menge von geordneten Paaren $(a,b)$. Üblicherweise wird die Äquivalenzklasse, die $(a,b)$ enthält, durch das eindeutig bestimmte Element $(a', b')$ dargestellt, für das $\ggT(a',b') = 1$ gilt – deren größter gemeinsamer Teiler also $1$ ist. Da $a'$ und $b'$ teilerfremd sind, liegt der mit dem Paar $(a',b')$ assoziierte Bruch $\frac{a'}{b'}$ in vollständig gekürzter Form vor.