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Aufgaben zum Rang einer Matrix
Der interaktive Aufgabengenerator zum Thema Rang einer Matrix erstellt dir eine unbegrenzte Anzahl an individuell anpassbaren Aufgaben und unterstützt dich dabei, diese zu bearbeiten und zu lösen – unter anderem durch ausführliche und verständliche Musterlösungen. Darüber hinaus ist dieselbe Unterstützung auch für deine eigenen Aufgaben verfügbar.
Aufgabe 1 von 3
Gegeben sei die folgende Matrix mit Koeffizienten aus \(\Q\):
\[\begin{bmatrix} 1 & 1 & 6 \\ -3 & -2 & -15 \\ -1 & -2 & -6 \end{bmatrix}\]
Bestimme den Rang der gegebenen Matrix.
Zum Bestimmen des Rangs der Matrix \(A\) wird zunächst eine Basis des Zeilenraums \(Z(A)\) bestimmt.
Um eine Basis \(\mathfrak{B}\) des Zeilenraums \(Z(A)\) der gegebenen Matrix \(A\) zu bestimmen, wird diese zunächst in Zeilenstufenform überführt.
Das Überführen in Zeilenstufenform geschieht schrittweise mithilfe des Gauß-Algorithmus:
\[\begin{array}{rrr|l}
1 & 1 & 6 & \\[0.25em]
-3 & -2 & -15 & \text{II} + 3 \cdot \text{I} \\[0.25em]
-1 & -2 & -6 & \text{III} + \text{I} \\[0.25em]
\hline
1 & 1 & 6 & \\[0.25em]
0 & 1 & 3 & \\[0.25em]
0 & -1 & 0 & \text{III} + \text{II} \\[0.25em]
\hline
1 & 1 & 6 & \\[0.25em]
0 & 1 & 3 & \\[0.25em]
0 & 0 & 3 & \text{III} \cdot \frac{1}{3} \\[0.25em]
\hline
1 & 1 & 6 & \\[0.25em]
0 & 1 & 3 & \\[0.25em]
0 & 0 & 1 &
\end{array}\]
Die als Zeilenstufenform vorliegende Matrix \(A^\star\) kann nun im letzten Schritt direkt abgelesen werden.
\[A^\star=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\]
Da elementare Zeilenumformungen den Zeilenraum einer Matrix nicht verändern, besitzt die Matrix \(A^\star\) denselben Zeilenraum wie die ursprüngliche Matrix \(A\) – es gilt somit \(Z(A^\star)=Z(A)\). Der Zeilenraum \(Z(A^\star)\) wird durch die Nicht-Nullzeilen der Matrix \(A^\star\) aufgespannt. Da diese aufgrund der vorliegenden Zeilenstufenform der Matrix \(A^\star\) zudem implizit linear unabhängig sind, handelt es sich hierbei folglich um eine Basis \(\mathfrak{B}\) des Zeilenraums.
\[b_{1}=\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 6 \end{bmatrix}\quad b_{2}=\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix}\quad b_{3}=\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}\]\[\mathfrak{B} = \Bigl\{b_1,b_2,b_3\Bigr\}\]
Der gesuchte Rang entspricht der Dimension des bestimmten Zeilenraums – und somit der Anzahl der gefundenen Basisvektoren.
\[\rg(A) = \dim(Z(A)) = 3\]
