Rang einer Matrix
Beim Rang einer Matrix handelt es sich um einen Begriff aus der linearen Algebra. Der Zeilenrang einer Matrix entspricht der maximalen Anzahl an linear unabhängigen Zeilenvektoren der Matrix – und somit der Dimension des Zeilenraums der Matrix. Der Spaltenrang der Matrix entspricht analog der maximalen Anzahl linear unabhängiger Spaltenvektoren und somit der Dimension des Spaltenraums. Bei Matrizen über einem Körper stimmen Zeilen- und Spaltenrang stets überein und werden schlicht als Rang der Matrix bezeichnet. Bei Matrizen über einem Ring gilt dies nicht notwendigerweise.
Allgemein handelt es sich beim Rang einer linearen Abbildung zwischen zwei Vektorräumen um die Dimension des Bilds der linearen Abbildung.
Definition
Rang einer Matrix
Gegeben seien zwei natürliche Zahlen $m,n \in \N$, ein Ring oder Körper $\mathcal{R}$, aus dem sämtliche Elemente stammen – beispielsweise ganze, rationale, reelle oder komplexe Zahlen –, sowie eine $m \times n$ Matrix $A \in \mathcal{R}^{m \times n}$.
Es gelten die folgenden Bezeichnungen:
- Beim Zeilenrang der Matrix $A$ handelt es sich um die Anzahl der linear unabhängigen Zeilenvektoren der Matrix. Dies entspricht der Dimension des Zeilenraums $Z(A)$ der Matrix.
- Beim Spaltenrang der Matrix $A$ handelt es sich um die Anzahl der linear unabhängigen Spaltenvektoren und somit um die Dimension des Spaltenraums $S(A)$ der Matrix.
- Für Matrizen über einem Körper sind der Zeilen- und der Spaltenrang stets identisch, sodass diese häufig einfach nur als Rang bezeichnet werden: \[ \rang(A) = \rg(A) = \dim\bigl(Z(A)\bigr) = \dim\bigl(S(A)\bigr). \]Hinweis: Für Matrizen über einem Ring gilt diese Gleichheit im Allgemeinen nicht.
Eine $m \times n$ Matrix $A$ über einem Körper besitzt vollen Zeilenrang, wenn ihr Zeilenrang der Anzahl der Zeilen entspricht, wenn also $\rang(A)=m$ gilt. Entsprechend besitzt sie vollen Spaltenrang, wenn ihr Spaltenrang der Anzahl der Spalten entspricht, wenn also $\rang(A)=n$ gilt. Die Matrix besitzt vollen Rang, wenn ihr Rang dem maximal möglichen Zeilen- bzw. Spaltenrang entspricht, wenn also $\rang(A)=\min(m,n)$ gilt.
Rang einer linearen Abbildung
Gegeben seien zwei Vektorräume $\mathcal{V}$ und $\mathcal{W}$ sowie eine lineare Abbildung $f: \mathcal{V} \rightarrow \mathcal{W}$. Beim Rang der linearen Abbildung $f$ handelt es sich um die Dimension des Bilds von $f$; es gilt:
Hinweis: Eine lineare Abbildung und die zugehörige Abbildungsmatrix besitzen denselben Rang.
Eigenschaften
Es gelten die folgenden Eigenschaften:
- Die Nullmatrix ist die einzige Matrix mit Rang $0$: \[ \rang(0_{mn}) = 0. \]
- Die $n \times n$ Einheitsmatrix $E_n$ besitzt den vollen Rang $n$: \[ \rang(E_n) = n. \]
- Die transponierte Matrix $A^{\mathsf{T}}$ (über einem Körper) besitzt denselben Rang wie die Matrix $A$: \[ \rang(A) = \rang\bigl(A^{\mathsf{T}}\bigr). \]
- Der Zeilenrang der Matrix $A$ entspricht dem Spaltenrang der transponierten Matrix $A^{\mathsf{T}}$ – und umgekehrt.
- Für Matrizen passender Dimensionen gilt: \begin{align*} \rang(A \pm B) &\leq \rang(A) + \rang(B) \\[0.5em] \rang(A \cdot B) &\leq \min\bigl\{ \rang(A), \rang(B) \bigr\}. \end{align*}
- Eine lineare Abbildung ist genau dann
- injektiv, wenn die zugehörige Abbildungsmatrix $A \in \mathcal{R}^{m \times n}$ vollen Spaltenrang hat, d. h., wenn $\rang(A) = n$ gilt.
- surjektiv, wenn die zugehörige Abbildungsmatrix $A \in \mathcal{R}^{m \times n}$ vollen Zeilenrang hat, d. h., wenn $\rang(A) = m$ gilt.
- bijektiv, wenn die zugehörige Abbildungsmatrix $A \in \mathcal{R}^{n \times n}$ quadratisch ist und wenn die Abbildungsmatrix vollen Rang hat, d. h., wenn $\rang(A) = n$ gilt.
Rang einer Matrix bestimmen
Das Verfahren zum Berechnen des Zeilenrangs einer Matrix beruht auf der Eigenschaft, dass elementare Zeilenumformungen den Zeilenraum einer Matrix nicht verändern – und damit insbesondere auch nicht die Dimension des Zeilenraums, die dem Zeilenrang der Matrix entspricht.
Zunächst wird die Matrix $A$ mithilfe von elementaren Zeilenumformungen in Zeilenstufenform überführt. Die Nichtnullzeilen der erhaltenen Matrix bilden dann eine Basis des Zeilenraums $Z(A)$ der Matrix. Die Anzahl der Basisvektoren entspricht hierbei definitionsgemäß der Dimension des Zeilenraums. Somit handelt es sich bei der Anzahl der Nichtnullzeilen in Zeilenstufenform folglich um den gesuchten Zeilenrang der Matrix.
Hinweis: Zum Berechnen des Spaltenrangs einer Matrix wird diese zunächst transponiert und anschließend der Zeilenrang der transponierten Matrix bestimmt – dieser entspricht dem Spaltenrang der Originalmatrix.
Beispiele
Beispiel 1: Rang einer reellen 3x3 Matrix
Gegeben sei die reelle $3 \times 3$ Matrix $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}$.
Mit dem Gauß-Algorithmus wird die Matrix zunächst in Zeilenstufenform überführt:
Die in Zeilenstufenform vorliegende Matrix besitzt exakt zwei Nichtnullzeilen; somit gilt, dass die Matrix den Zeilenrang $2$ besitzt.
Hinweis: Das Überführen der Matrix in reduzierte Zeilenstufenform mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus bringt keine Vorteile, da sich die Anzahl der Nichtnullzeilen hierdurch nicht verändert.
Beispiel 2: Rang einer Matrix über einem Ring
Gegeben sei die $2 \times 2$ Matrix $B = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 6 \end{bmatrix}$ über dem Ring der ganzen Zahlen.
- Die Matrix hat den Zeilenrang 1, da die beiden Zeilen Vielfache voneinander sind – es gilt $z_2 = 2 \cdot z_1$ – und in Zeilenstufenform somit nur eine Nichtnullzeile existiert.
- Die Matrix hat den Spaltenrang 2, da die beiden Spalten keine Vielfachen voneinander sind. Es gibt keine ganze Zahl $\lambda$, so dass $s_2 = \lambda \cdot s_1$ gilt.
Anwendungen
Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen (LGS)
Mithilfe des Rangs der Koeffizientenmatrix $A$ und des Rangs der erweiterten Matrix $[A \mid b]$ kann eine Aussage darüber getroffen werden, ob das zugehörige lineare Gleichungssystem $Ax=b$ mit $n$ Variablen keine, eine oder unendlich viele Lösungen besitzt. Das Gleichungssystem besitzt
- keine Lösung, falls der Rang der Koeffizientenmatrix kleiner als der Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix ist, falls also gilt: \[ \rang(A) \lt \rang([A \mid b]); \]
- eine Lösung, falls der Rang der Koeffizientenmatrix mit dem Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix übereinstimmt und der Anzahl der Variablen entspricht, falls also gilt: \[ \rang(A) = \rang([A \mid b]) = n; \]
- unendlich viele Lösungen, falls die Ränge der Matrizen übereinstimmen, der Rang aber kleiner als die Anzahl der Variablen ist, falls also gilt: \[ \rang(A) = \rang([A \mid b]) \lt n. \]
Reguläre Matrix
Bei einer quadratischen Matrix $A$ über einem Körper $\mathcal{K}$ mit vollem Rang handelt es sich um eine reguläre Matrix. Dies ist gleichbedeutend mit den folgenden Aussagen:
- Die inverse Matrix $A^{-1}$ existiert.
- Die Determinante der Matrix ist ungleich Null: \[ \det(A) \neq 0_\mathcal{K}. \]
- Die Zeilen bzw. die Spalten der Matrix sind linear unabhängig.
- Der Nullraum bzw. Kern der Matrix ist trivial und enthält nur den Nullvektor: \[ N(A) = \bigl\{ 0 \bigr\}. \]
Hinweis: Eine quadratische Matrix, die keinen vollen Rang besitzt, wird singuläre Matrix genannt.