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Aufgaben

Zeilenstufenform – Interaktiver Aufgabengenerator

Artikel zum Nachlesen: Zeilenstufenform

Der interaktive Aufgabengenerator zum Thema Zeilenstufenform erzeugt dir eine unbegrenzte Anzahl an individuell anpassbaren, prozedural generierten Übungsaufgaben. Er unterstützt dich dabei, die Aufgaben zu lösen, das Thema ausgiebig zu üben und zu verstehen. Hierzu erstellt der Generator für jede Aufgabe eine ausführliche, verständliche Schritt-für-Schritt Musterlösung, begleitet dich interaktiv beim schrittweisen Bearbeiten der Aufgabe und bietet dir zudem die Möglichkeit, deine eigenen Lösungen direkt zu überprüfen. Alle Lösungen und Lösungswege werden deterministisch mithilfe der zugrundeliegenden mathematischen Verfahren berechnet. Sämtliche Hilfestellungen stehen sowohl für die freien Beispiele als auch für generierte und eigene Aufgaben im vollen Umfang zur Verfügung.

Aufgabe erstellen

Beispielaufgaben

Beispielaufgaben

Die ausgewählten Beispiele ermöglichen es dir, einige Generator-Konfigurationen und die verfügbare Unterstützung beim Lösen der Aufgaben unverbindlich und in aller Ruhe kennenzulernen.

Aufgabe 1 von 3

Gegeben sei die folgende Matrix mit Koeffizienten aus $ \Q$:

\[\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ -3 & 3 & 6 \\ -1 & -9 & -7 \end{bmatrix}\]

Überführe die Matrix in Zeilenstufenform. Beachte hierbei die folgenden Regeln:

  • Das Vertauschen von Zeilen ist für diese Aufgabe nicht zulässig (und auch nicht notwendig).
  • Nullzeilen, falls vorhanden, stehen am Ende der Matrix.
  • Das erste von Null verschiedene Element einer Zeile ist eine Eins.

Aufgabe 2 von 3

Gegeben sei die folgende Matrix mit Koeffizienten aus $ \Q$:

\[\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & -5 & 26 & 10 \\ -2 & -2 & 2 & 2 & -10 & -16 \\ -3 & -2 & 6 & -3 & 16 & -22 \\ 1 & 4 & 7 & -16 & 84 & 13 \\ -1 & -2 & 2 & -4 & 16 & -6 \end{bmatrix}\]

Überführe die Matrix in reduzierte Zeilenstufenform. Beachte hierbei die folgenden Regeln:

  • Das Vertauschen von Zeilen ist für diese Aufgabe nicht zulässig (und auch nicht notwendig).
  • Nullzeilen, falls vorhanden, stehen am Ende der Matrix.
  • Das erste von Null verschiedene Element einer Zeile ist eine Eins.

Aufgabe 3 von 3

Gegeben sei die folgende Matrix mit Koeffizienten aus $ \Z_{5}$:

\[\begin{bmatrix} [4]_5 & [1]_5 & [2]_5 \\ [4]_5 & [2]_5 & [0]_5 \\ [0]_5 & [4]_5 & [3]_5 \end{bmatrix}\]

Überführe die Matrix in Zeilenstufenform. Beachte hierbei die folgenden Regeln:

  • Das Vertauschen von Zeilen ist für diese Aufgabe nicht zulässig (und auch nicht notwendig).
  • Nullzeilen, falls vorhanden, stehen am Ende der Matrix.
  • Das erste von Null verschiedene Element einer Zeile ist eine Eins.

Aufgabengenerator

Aufgabengenerator

Der Aufgabengenerator ermöglicht es dir, beliebig viele, an deine individuellen Bedürfnisse angepasste Aufgaben zu generieren, um dich perfekt mit dem Thema vertraut zu machen.

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Hier könnte deine generierte Aufgabe stehen!
Eigene Aufgabe

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Gib an, aus welchem Zahlenbereich die Koeffizienten der Matrix stammen sollen.

Gib außerdem an, ob die Matrix in reduzierte Zeilenstufenform überführt werden soll.

Gib die Matrix ein, die in Zeilenstufenform überführt werden soll.

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Aufgabe lösen

Musterlösung

Musterlösung: Beispielaufgabe 1 von 3

Das Überführen der Matrix in Zeilenstufenform geschieht schrittweise mithilfe des Gauß-Algorithmus:

\[\begin{array}{rrr|l}
1 & 0 & -1 & \\[0.25em]
-3 & 3 & 6 & \text{II} + 3 \cdot \text{I} \\[0.25em]
-1 & -9 & -7 & \text{III} + \text{I} \\[0.25em]
\hline
1 & 0 & -1 & \\[0.25em]
0 & 3 & 3 & \text{II} \cdot \frac{1}{3} \\[0.25em]
0 & -9 & -8 & \\[0.25em]
\hline
1 & 0 & -1 & \\[0.25em]
0 & 1 & 1 & \\[0.25em]
0 & -9 & -8 & \text{III} + 9 \cdot \text{II} \\[0.25em]
\hline
1 & 0 & -1 & \\[0.25em]
0 & 1 & 1 & \\[0.25em]
0 & 0 & 1 &
\end{array}\]

Musterlösung: Beispielaufgabe 2 von 3

Das Überführen der Matrix in reduzierte Zeilenstufenform geschieht schrittweise mithilfe des Gauß-Jordan-Algorithmus:

\[\begin{array}{rrrrrr|l}
1 & 2 & 1 & -5 & 26 & 10 & \\[0.25em]
-2 & -2 & 2 & 2 & -10 & -16 & \text{II} + 2 \cdot \text{I} \\[0.25em]
-3 & -2 & 6 & -3 & 16 & -22 & \text{III} + 3 \cdot \text{I} \\[0.25em]
1 & 4 & 7 & -16 & 84 & 13 & \text{IV} - \text{I} \\[0.25em]
-1 & -2 & 2 & -4 & 16 & -6 & \text{V} + \text{I} \\[0.25em]
\hline
1 & 2 & 1 & -5 & 26 & 10 & \\[0.25em]
0 & 2 & 4 & -8 & 42 & 4 & \text{II} \cdot \frac{1}{2} \\[0.25em]
0 & 4 & 9 & -18 & 94 & 8 & \\[0.25em]
0 & 2 & 6 & -11 & 58 & 3 & \\[0.25em]
0 & 0 & 3 & -9 & 42 & 4 & \\[0.25em]
\hline
1 & 2 & 1 & -5 & 26 & 10 & \\[0.25em]
0 & 1 & 2 & -4 & 21 & 2 & \\[0.25em]
0 & 4 & 9 & -18 & 94 & 8 & \text{III} - 4 \cdot \text{II} \\[0.25em]
0 & 2 & 6 & -11 & 58 & 3 & \text{IV} - 2 \cdot \text{II} \\[0.25em]
0 & 0 & 3 & -9 & 42 & 4 & \\[0.25em]
\hline
1 & 2 & 1 & -5 & 26 & 10 & \\[0.25em]
0 & 1 & 2 & -4 & 21 & 2 & \\[0.25em]
0 & 0 & 1 & -2 & 10 & 0 & \\[0.25em]
0 & 0 & 2 & -3 & 16 & -1 & \text{IV} - 2 \cdot \text{III} \\[0.25em]
0 & 0 & 3 & -9 & 42 & 4 & \text{V} - 3 \cdot \text{III} \\[0.25em]
\hline
1 & 2 & 1 & -5 & 26 & 10 & \\[0.25em]
0 & 1 & 2 & -4 & 21 & 2 & \\[0.25em]
0 & 0 & 1 & -2 & 10 & 0 & \\[0.25em]
0 & 0 & 0 & 1 & -4 & -1 & \\[0.25em]
0 & 0 & 0 & -3 & 12 & 4 & \text{V} + 3 \cdot \text{IV} \\[0.25em]
\hline
1 & 2 & 1 & -5 & 26 & 10 & \text{I} - 10 \cdot \text{V} \\[0.25em]
0 & 1 & 2 & -4 & 21 & 2 & \text{II} - 2 \cdot \text{V} \\[0.25em]
0 & 0 & 1 & -2 & 10 & 0 & \\[0.25em]
0 & 0 & 0 & 1 & -4 & -1 & \text{IV} + \text{V} \\[0.25em]
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & \\[0.25em]
\hline
1 & 2 & 1 & -5 & 26 & 0 & \text{I} + 5 \cdot \text{IV} \\[0.25em]
0 & 1 & 2 & -4 & 21 & 0 & \text{II} + 4 \cdot \text{IV} \\[0.25em]
0 & 0 & 1 & -2 & 10 & 0 & \text{III} + 2 \cdot \text{IV} \\[0.25em]
0 & 0 & 0 & 1 & -4 & 0 & \\[0.25em]
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & \\[0.25em]
\hline
1 & 2 & 1 & 0 & 6 & 0 & \text{I} - \text{III} \\[0.25em]
0 & 1 & 2 & 0 & 5 & 0 & \text{II} - 2 \cdot \text{III} \\[0.25em]
0 & 0 & 1 & 0 & 2 & 0 & \\[0.25em]
0 & 0 & 0 & 1 & -4 & 0 & \\[0.25em]
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & \\[0.25em]
\hline
1 & 2 & 0 & 0 & 4 & 0 & \text{I} - 2 \cdot \text{II} \\[0.25em]
0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & \\[0.25em]
0 & 0 & 1 & 0 & 2 & 0 & \\[0.25em]
0 & 0 & 0 & 1 & -4 & 0 & \\[0.25em]
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & \\[0.25em]
\hline
1 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & \\[0.25em]
0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & \\[0.25em]
0 & 0 & 1 & 0 & 2 & 0 & \\[0.25em]
0 & 0 & 0 & 1 & -4 & 0 & \\[0.25em]
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 &
\end{array}\]

Musterlösung: Beispielaufgabe 3 von 3

Das Überführen der Matrix in Zeilenstufenform geschieht schrittweise mithilfe des Gauß-Algorithmus:

\[\begin{array}{rrr|l}
[4]_5 & [1]_5 & [2]_5 & \text{I} \cdot [4]_5 \\[0.25em]
[4]_5 & [2]_5 & [0]_5 & \\[0.25em]
[0]_5 & [4]_5 & [3]_5 & \\[0.25em]
\hline
[1]_5 & [4]_5 & [3]_5 & \\[0.25em]
[4]_5 & [2]_5 & [0]_5 & \text{II} + \text{I} \\[0.25em]
[0]_5 & [4]_5 & [3]_5 & \\[0.25em]
\hline
[1]_5 & [4]_5 & [3]_5 & \\[0.25em]
[0]_5 & [1]_5 & [3]_5 & \\[0.25em]
[0]_5 & [4]_5 & [3]_5 & \text{III} + \text{II} \\[0.25em]
\hline
[1]_5 & [4]_5 & [3]_5 & \\[0.25em]
[0]_5 & [1]_5 & [3]_5 & \\[0.25em]
[0]_5 & [0]_5 & [1]_5 &
\end{array}\]
Unterstütztes Lösen

Unterstütztes Lösen: Beispielaufgabe 1 von 3

Überführe die folgende Matrix schrittweise in Zeilenstufenform.

$ 1$
$ 0$
$ -1$
$ -3$
$ 3$
$ 6$
$ -1$
$ -9$
$ -7$

Entscheide, welche elementaren Zeilenumformungen auf die aktuelle Matrix angewendet werden sollen, um diese schrittweise in Zeilenstufenform zu überführen.

  • Zeile 1:
  • Zeile 2:
  • Zeile 3:

Unterstütztes Lösen: Beispielaufgabe 2 von 3

Überführe die folgende Matrix schrittweise in reduzierte Zeilenstufenform.

$ 1$
$ 2$
$ 1$
$ -5$
$ 26$
$ 10$
$ -2$
$ -2$
$ 2$
$ 2$
$ -10$
$ -16$
$ -3$
$ -2$
$ 6$
$ -3$
$ 16$
$ -22$
$ 1$
$ 4$
$ 7$
$ -16$
$ 84$
$ 13$
$ -1$
$ -2$
$ 2$
$ -4$
$ 16$
$ -6$

Entscheide, welche elementaren Zeilenumformungen auf die aktuelle Matrix angewendet werden sollen, um diese schrittweise in Zeilenstufenform zu überführen.

  • Zeile 1:
  • Zeile 2:
  • Zeile 3:
  • Zeile 4:
  • Zeile 5:

Unterstütztes Lösen: Beispielaufgabe 3 von 3

Überführe die folgende Matrix schrittweise in Zeilenstufenform.

$ [4]_5$
$ [1]_5$
$ [2]_5$
$ [4]_5$
$ [2]_5$
$ [0]_5$
$ [0]_5$
$ [4]_5$
$ [3]_5$

Entscheide, welche elementaren Zeilenumformungen auf die aktuelle Matrix angewendet werden sollen, um diese schrittweise in Zeilenstufenform zu überführen.

  • Zeile 1:
  • Zeile 2:
  • Zeile 3:
Lösung überprüfen

Eigene Lösung überprüfen: Beispielaufgabe 1 von 3

Gib die von dir berechnete Zeilenstufenform in die folgende Tabelle ein:

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$ 0$
$ 0$
$ 0$
$ 0$
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Eigene Lösung überprüfen: Beispielaufgabe 2 von 3

Gib die von dir berechnete reduzierte Zeilenstufenform in die folgende Tabelle ein:

$ 0$
$ 0$
$ 0$
$ 0$
$ 0$
$ 0$
$ 0$
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$ 0$
$ 0$
$ 0$
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$ 0$
$ 0$
$ 0$
$ 0$
$ 0$
$ 0$
$ 0$

Eigene Lösung überprüfen: Beispielaufgabe 3 von 3

Gib die von dir berechnete Zeilenstufenform in die folgende Tabelle ein:

$ [0]_5$
$ [0]_5$
$ [0]_5$
$ [0]_5$
$ [0]_5$
$ [0]_5$
$ [0]_5$
$ [0]_5$
$ [0]_5$