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Betrag

Beim Betrag einer reellen oder einer komplexen Zahl handelt es sich um ihren Abstand zur Null. Dieser wird alternativ auch absoluter Betrag, Absolutbetrag oder auch Absolutwert genannt. Der Betrag einer Zahl \(x\) wird häufig mit \(|x|\) bezeichnet, gelegentlich auch mit \(\abs(x)\).

Inhalt

Definition

Betrag einer reellen Zahl

Der Betrag \(\left| x \right|\) einer reellen Zahl \(x \in \mathbb{R}\) entspricht dem Wert, den man durch Weglassen des Vorzeichens von \(x\) erhält. Es gilt

\[ \left| x \right| := \left\{\begin{array}{rl} x & \text{für } x \geq 0 \\[0.5em] -x & \text{für } x \lt 0. \end{array}\right. \]

Auf einer Zahlengeraden betrachtet entspricht der Betrag von \(x\) dem Abstand vom Nullpunkt.

Betrag einer komplexen Zahl

Der Betrag \(\left| z \right|\) einer komplexen Zahl \(z=a + ib \in \mathbb{C}\) mit reellen Koeffizienten \(a\) und \(b\) wird definiert durch

\[ \left| z \right| = \sqrt{ z \cdot \overline{z}} = \sqrt{(a + ib) \cdot (a - ib)} = \sqrt{a^2 - i^2b^2} = \sqrt{a^2 + b^2} \]

und entspricht der Quadratwurzel aus dem Produkt der komplexen Zahl \(z\) mit ihrer komplex Konjugierten \(\overline{z} = a - ib\).

Ist die Zahl \(z\) reell, gilt also \(\operatorname{Re}(z) = a\) und \(\operatorname{Im}(z) = b = 0\), so geht die vorausgehende Definition über in

\[ \left| z \right| = \sqrt{a^2}, \]

was dem Betrag der reellen Zahl \(a\) entspricht.

Betrachtet man die komplexe Zahl \(z\) als Punkt in der Gaußschen Zahlenebene, so entspricht der Betrag von \(z\) gemäß des Satzes von Pythagoras dem Abstand des Punkts \(z\) vom Nullpunkt.

Beispiele

Beispiel 1 (reelle Zahlen)

Die folgenden Beispiele zeigen exemplarisch die Berechnung der Beträge von reellen Zahlen:

\begin{align*} \left| 0 \right| &= 0 \\[0.5em] \left| 5 \right| &= 5 \\[0.5em] \left| -3 \right| &= -(-3) = 3 \end{align*}

Beispiel 2 (komplexe Zahlen)

Die folgenden Beispiele zeigen exemplarisch die Berechnung der Beträge von komplexen Zahlen:

\begin{align*} \left| 3-4i \right| &= \sqrt{(3-4i) \cdot (3+4i)} \\[0.5em] &= \sqrt{3^3 + {(-4)}^2 } = \sqrt{25} = 5 \\[1em] \left| -2i \right| &= \sqrt{(-2i) \cdot (2i)} \\[0.5em] &= \sqrt{-4i^2} = \sqrt{4} = 2 \\[1em] \left| 5 \right| &= \sqrt{5^2} = \sqrt{25} = 5 \end{align*}