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Komplexe Konjugation

Bei der komplexen Konjugation handelt es sich um eine Abbildung, die einer komplexen Zahl die komplexe Zahl mit identischen Real- und negiertem Imaginärteil zuordnet.

Definition

Bei der komplexen Konjugation handelt es sich um eine Abbildung der komplexen Zahlen auf sich selbst, die wie folgt definiert ist (mit \(a,b \in \R\)):

\begin{array}{c} \C \rightarrow \C \\[0.5em] z=a+ib \mapsto \overline{z}=a-ib. \end{array}

Die Zahl \(\overline{z}\) wird konjugiert komplexe Zahl (auch komplex konjugierte Zahl oder kurz Konjugierte) von \(z\) genannt. Bezogen auf die komplexe Zahl \(z\) besitzt sie denselben Real- und den negierten Imaginärteil, sodass sie als Spiegelung an der reellen Achse aufgefasst werden kann, wie die folgende Abbildung zeigt.

Veranschaulichung der konjugiert komplexen Zahl

Darstellung in Exponential-/Polarform

Die komplexe Konjugation kann auch in Polarform dargestellt werden; es gilt (mit \(r,\varphi \in \R\)):

\begin{align*} z &= r \cdot \bigl( \cos(\varphi) + i \cdot \sin(\varphi) \bigr) \\[0.5em] \overline{z} &= r \cdot \bigl( \cos(-\varphi) + i \cdot \sin(-\varphi) \bigr) \\[0.5em] &= r \cdot \bigl( \cos(\varphi) - i \cdot \sin(\varphi) \bigr). \end{align*}

Der Betrag \(r\) der komplexen Zahl bleibt unverändert, das Argument \(\varphi\) wird negiert. Die Gleichheiten \(\cos(-\varphi) = \cos(\varphi)\) und \(\sin(-\varphi) = -\sin(\varphi)\) gelten, da es sich bei der Kosinusfunktion um eine gerade und bei der Sinusfunktion um eine ungerade Funktion handelt.

Für die komplexe Konjugation in Exponentialform gilt analog (mit \(r,\varphi \in \R\)):

\begin{align*} z &= r \cdot e^{i\varphi} \\[0.5em] \overline{z} &= r \cdot e^{i(-\varphi)} \\[0.5em] &= r \cdot e^{-i\varphi}. \end{align*}

Eigenschaften

Körperautomorphismus

Bei der komplexen Konjugation handelt es sich um einen Körperautomorphismus, also um eine strukturerhaltende, bijektive Abbildung auf den komplexen Zahlen, die verträglich mit der komplexen Addition und der komplexen Multiplikation ist. Es gilt:

\begin{align*} \overline{z_1+z_2} &= \overline{z_1} + \overline{z_2} \\[0.5em] \overline{z_1 \cdot z_2} &= \overline{z_1} \cdot \overline{z_2}. \end{align*}

Entsprechende Regeln gelten ebenfalls für die komplexe Subtraktion und die komplexe Division:

\begin{align*} \overline{z_1-z_2} &= \overline{z_1} - \overline{z_2} \\[0.5em] \overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)} &= \frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}. \end{align*}

Gegeben seien die folgenden komplexen Zahlen (mit \(a_1,a_2,b_1,b_2 \in \R\)):

\begin{align*} z_1 &= a_1 + ib_1 \\[0.5em] z_2 &= a_2 + ib_2. \end{align*}

Die Verträglichkeit der komplexen Konjugation mit der Addition und mit der Subtraktion kann durch direktes Nachrechnen gezeigt werden.

\begin{align*} \overline{z_1 \pm z_2} &\overset{(1)}{=} \overline{(a_1+ib_1) \pm (a_2+ib_2)} \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} \overline{(a_1 \pm a_2) + i \cdot (b_1 \pm b_2)} \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} (a_1 \pm a_2) - i \cdot (b_1 \pm b_2) \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} (a_1 \pm a_2) + i \cdot \bigl((-b_1) \pm (-b_2)\bigr) \\[0.5em] &\overset{(5)}{=} (a_1-ib_1) \pm (a_2-ib_2) \\[0.5em] &\overset{(6)}{=} \overline{z_1} \pm \overline{z_2} \end{align*}

Erklärungen zu den Schritten
(1)	Ersetzen der komplexen Zahlen \(z_1\) und \(z_2\) durch ihre algebraische Form
(2)	Ausrechnen von \(z_1 \pm z_2\) gemäß der Definition der Addition bzw. Subtraktion von komplexen Zahlen
(3)	Ausrechnen der konjugiert komplexen Zahl gemäß Definition der komplexen Konjugation
(4)	Hineinziehen des Faktors \(-1\) in die Klammer \((b_1 \pm b_2)\)
(5)	Aufteilen der Summe/Differenz auf zwei komplexe Zahlen gemäß Definition der Addition bzw. Subtraktion von komplexen Zahlen
(6)	Ersetzen der algebraischen Formen durch die konjugiert komplexen Zahlen \(\overline{z_1}\) und \(\overline{z_2}\) gemäß Definition der komplexen Konjugation

Gegeben seien die folgenden komplexen Zahlen (mit \(a_1,a_2,b_1,b_2 \in \R\)):

\begin{align*} z_1 &= a_1 + ib_1 \\[0.5em] z_2 &= a_2 + ib_2. \end{align*}

Die Verträglichkeit der komplexen Konjugation mit der Multiplikation kann durch direktes Nachrechnen gezeigt werden.

\begin{align*} \overline{\vphantom{(}z_1 \cdot z_2} &\overset{(1)}{=} \overline{(a_1+ib_1) \cdot (a_2+ib_2)} \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} \overline{(a_1a_2-b_1b_2) + i \cdot (a_1b_2 + b_1a_2)} \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} (a_1a_2-b_1b_2) - i \cdot (a_1b_2 + b_1a_2) \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} (a_1a_2-b_1b_2) + i \cdot (-a_1b_2 - b_1a_2) \\[0.5em] &\overset{(5)}{=} (a_1-ib_1) \cdot (a_2-ib_2) \\[0.5em] &\overset{(6)}{=} \overline{z_1} \cdot \overline{z_2} \end{align*}

Erklärungen zu den Schritten
(1)	Ersetzen der komplexen Zahlen \(z_1\) und \(z_2\) durch ihre algebraische Form
(2)	Ausrechnen von \(z_1 \cdot z_2\) gemäß der Definition der Multiplikation von komplexen Zahlen
(3)	Ausrechnen der konjugiert komplexen Zahl gemäß Definition der komplexen Konjugation
(4)	Hineinziehen des Faktors \(-1\) in die Klammer \((a_1b_2 + b_1a_2)\)
(5)	Aufteilen des Produkts auf zwei Faktoren gemäß Definition der Multiplikation von komplexen Zahlen
(6)	Ersetzen der algebraischen Formen durch die konjugiert komplexen Zahlen \(\overline{z_1}\) und \(\overline{z_2}\) gemäß Definition der komplexen Konjugation

Gegeben seien die folgenden komplexen Zahlen (mit \(a_1,a_2,b_1,b_2 \in \R\)):

\begin{align*} z_1 &= a_1 + ib_1 \\[0.5em] z_2 &= a_2 + ib_2. \end{align*}

Die Verträglichkeit der komplexen Konjugation mit der Division kann durch direktes Nachrechnen gezeigt werden.

\begin{align*} \overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)} &\overset{(1)}{=} \overline{\left(\frac{a_1+ib_1}{a_2+ib_2}\right)} \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} \overline{\left(\frac{(a_1+ib_1) \cdot (a_2-ib_2)}{(a_2+ib_2) \cdot (a_2-ib_2)}\right)} \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} \overline{\left(\frac{(a_1a_2 + b_1b_2) + i \cdot (b_1a_2 - a_1b_2)}{a_2^2 + b_2^2}\right)} \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} \frac{(a_1a_2 + b_1b_2) - i \cdot (b_1a_2 - a_1b_2)}{a_2^2 + b_2^2} \\[0.5em] &\overset{(5)}{=} \frac{(a_1a_2 + b_1b_2) + i \cdot (a_1b_2 - b_1a_2)}{a_2^2 + b_2^2} \\[0.5em] &\overset{(6)}{=} \frac{(a_1 - ib_1) \cdot (a_2 + ib_2)}{(a_2-ib_2) \cdot (a_2+ib_2)} \\[0.5em] &\overset{(7)}{=} \frac{a_1-ib_1}{a_2-ib_2} \\[0.5em] &\overset{(8)}{=} \frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}} \end{align*}

Erklärungen zu den Schritten
(1)	Ersetzen der komplexen Zahlen \(z_1\) und \(z_2\) durch ihre algebraische Form
(2)	Erweitern mit der konjugiert komplexen Zahl \(\overline{z_2}=a_2-ib_2\)
(3)	Ausmultiplizieren des Zählers gemäß Definition der Multiplikation von komplexen Zahlen Anwenden der dritten binomischen Formel zum Ausrechnen des Nenners
(4)	Ausrechnen der konjugiert komplexen Zahl gemäß Definition der komplexen Konjugation
(5)	Hineinziehen des Faktors \(-1\) in die Klammer \((b_1a_2 - a_1b_2)\)
(6)	Aufteilen des Zählers auf zwei Faktoren gemäß Definition der Multiplikation von komplexen Zahlen Aufteilen des Nenners auf zwei Faktoren mithilfe der dritten binomischen Formel
(7)	Kürzen des gemeinsamen Faktors \((a_2+ib_2)\)
(8)	Ersetzen der algebraischen Formen durch die konjugiert komplexen Zahlen \(\overline{z_1}\) und \(\overline{z_2}\) gemäß Definition der komplexen Konjugation

Involution

Bei der komplexen Konjugation handelt es sich um eine Involution, also um eine selbstinverse Abbildung. Für alle \(z \in \C\) gilt:

\overline{\overline{z}} = z.

Konjugation von reellen Zahlen

Für die konjugiert komplexe Zahl einer reellen Zahl gilt stets:

z \in \R \Leftrightarrow z = \overline{z}.

Bei den reellwertigen komplexen Zahlen handelt es sich somit um Fixpunkte der komplexen Konjugation.

Weitere Rechenregeln

Für die komplexe Konjugation gelten die folgenden Regeln:

\(|z| = |\overline{z}|\)
\(\exp\overline{z} = \overline{\exp z}\)
\(\log\overline{z} = \overline{\log z}\) für \(z \neq 0\)

Anwendungen

Darstellung des Real/-Imaginärteils

Mithilfe der konjugiert komplexen Zahl \(\overline{z}\) kann der Real- und der Imaginärteil einer komplexen Zahl \(z=a+ib\) dargestellt werden. Es gilt:

\begin{align*} a = \operatorname{Re}(z) &= \frac{1}{2} \cdot \bigl(z + \overline{z} \bigr) \\[0.5em] b = \operatorname{Im}(z) &= \frac{1}{2i} \cdot \bigl(z - \overline{z} \bigr). \end{align*}

Berechnung des Betrags

Mithilfe der konjugiert komplexen Zahl \(\overline{z}=a-ib\) kann der Betrag einer komplexen Zahl \(z=a+ib\) berechnet werden. Es gilt

{|z|}^2 = z \cdot \overline{z} = a^2 + b^2,

woraus sich für den Betrag unmittelbar die folgende Aussage ergibt:

|z| = \sqrt{z \cdot \overline{z}} = \sqrt{a^2+b^2}.

Darüber hinaus gilt für den Betrag einer komplexen Zahl stets:

|z| = |\overline{z}|.

Berechnung des multiplikativen Inversen

Das multiplikative Inverse \(z^{-1}\) einer komplexen Zahl \(z\) kann mithilfe der konjugiert komplexen Zahl \(\overline{z}\) wie folgt berechnet werden:

z^{-1} = \frac{1}{z} = \frac{1 \cdot \overline{z}}{z \cdot \overline{z}} = \frac{\overline{z}}{{|z|}^2}\,.

Berechnung des Quotienten von komplexen Zahlen

Die Division von komplexen Zahlen \(z_1\) und \(z_2\) kann mithilfe der Konjugierten \(\overline{z_2}\) des Nenners wie folgt dargestellt werden:

\frac{z_1}{z_2} = \frac{z_1 \cdot \overline{z_2}}{z_2 \cdot \overline{z_2}} = \frac{z_1 \cdot \overline{z_2}}{{|z_2|}^2}\,.