Bei der komplexen Konjugation handelt es sich um eine Abbildung, die einer komplexen Zahl die komplexe Zahl mit identischen Real- und negiertem Imaginärteil zuordnet.
Definition
Bei der komplexen Konjugation handelt es sich um eine Abbildung der komplexen Zahlen auf sich selbst, die wie folgt definiert ist (mit $a,b \in \R$):
Die Zahl $\overline{z}$ wird konjugiert komplexe Zahl (auch komplex konjugierte Zahl oder kurz Konjugierte) von $z$ genannt. Bezogen auf die komplexe Zahl $z$ besitzt sie denselben Real- und den negierten Imaginärteil, sodass sie als Spiegelung an der reellen Achse aufgefasst werden kann, wie die folgende Abbildung zeigt.
Veranschaulichung der konjugiert komplexen Zahl
Darstellung in Exponential-/Polarform
Die komplexe Konjugation kann auch in Polarform dargestellt werden; es gilt (mit $r,\varphi \in \R$):
\begin{align*} z &= r \cdot \bigl( \cos(\varphi) + i \cdot \sin(\varphi) \bigr) \\[0.5em] \overline{z} &= r \cdot \bigl( \cos(-\varphi) + i \cdot \sin(-\varphi) \bigr) \\[0.5em] &= r \cdot \bigl( \cos(\varphi) - i \cdot \sin(\varphi) \bigr). \end{align*}
Der Betrag $r$ der komplexen Zahl bleibt unverändert, das Argument $\varphi$ wird negiert. Die Gleichheiten $\cos(-\varphi) = \cos(\varphi)$ und $\sin(-\varphi) = -\sin(\varphi)$ gelten, da es sich bei der Kosinusfunktion um eine gerade und bei der Sinusfunktion um eine ungerade Funktion handelt.
Für die komplexe Konjugation in Exponentialform gilt analog (mit $r,\varphi \in \R$):
\begin{align*} z &= r \cdot e^{i\varphi} \\[0.5em] \overline{z} &= r \cdot e^{i(-\varphi)} \\[0.5em] &= r \cdot e^{-i\varphi}. \end{align*}
Ersetzen der komplexen Zahlen $z_1$ und $z_2$ durch ihre algebraische Form
(2)
Ausrechnen von $z_1 \pm z_2$ gemäß der Definition der Addition bzw. Subtraktion von komplexen Zahlen
(3)
Ausrechnen der konjugiert komplexen Zahl gemäß Definition der komplexen Konjugation
(4)
Hineinziehen des Faktors $-1$ in die Klammer $(b_1 \pm b_2)$
(5)
Aufteilen der Summe/Differenz auf zwei komplexe Zahlen gemäß Definition der Addition bzw. Subtraktion von komplexen Zahlen
(6)
Ersetzen der algebraischen Formen durch die konjugiert komplexen Zahlen $\overline{z_1}$ und $\overline{z_2}$ gemäß Definition der komplexen Konjugation
Gegeben seien die folgenden komplexen Zahlen (mit $a_1,a_2,b_1,b_2 \in \R$):
Ersetzen der komplexen Zahlen $z_1$ und $z_2$ durch ihre algebraische Form
(2)
Ausrechnen von $z_1 \cdot z_2$ gemäß der Definition der Multiplikation von komplexen Zahlen
(3)
Ausrechnen der konjugiert komplexen Zahl gemäß Definition der komplexen Konjugation
(4)
Hineinziehen des Faktors $-1$ in die Klammer $(a_1b_2 + b_1a_2)$
(5)
Aufteilen des Produkts auf zwei Faktoren gemäß Definition der Multiplikation von komplexen Zahlen
(6)
Ersetzen der algebraischen Formen durch die konjugiert komplexen Zahlen $\overline{z_1}$ und $\overline{z_2}$ gemäß Definition der komplexen Konjugation
Gegeben seien die folgenden komplexen Zahlen (mit $a_1,a_2,b_1,b_2 \in \R$):
Ausrechnen der konjugiert komplexen Zahl gemäß Definition der komplexen Konjugation
(5)
Hineinziehen des Faktors $-1$ in die Klammer $(b_1a_2 - a_1b_2)$
(6)
Aufteilen des Zählers auf zwei Faktoren gemäß Definition der Multiplikation von komplexen Zahlen
Aufteilen des Nenners auf zwei Faktoren mithilfe der dritten binomischen Formel
(7)
Kürzen des gemeinsamen Faktors $(a_2+ib_2)$
(8)
Ersetzen der algebraischen Formen durch die konjugiert komplexen Zahlen $\overline{z_1}$ und $\overline{z_2}$ gemäß Definition der komplexen Konjugation
Involution
Bei der komplexen Konjugation handelt es sich um eine Involution, also um eine selbstinverse Abbildung. Für alle $z \in \C$ gilt:
\[ \overline{\overline{z}} = z. \]
Konjugation von reellen Zahlen
Für die konjugiert komplexe Zahl einer reellen Zahl gilt stets:
\[ z \in \R \Leftrightarrow z = \overline{z}. \]
Bei den reellwertigen komplexen Zahlen handelt es sich somit um Fixpunkte der komplexen Konjugation.
Weitere Rechenregeln
Für die komplexe Konjugation gelten die folgenden Regeln:
$|z| = |\overline{z}|$
$\exp\overline{z} = \overline{\exp z}$
$\log\overline{z} = \overline{\log z}$ für $z \neq 0$
Anwendungen
Darstellung des Real/-Imaginärteils
Mithilfe der konjugiert komplexen Zahl $\overline{z}$ kann der Real- und der Imaginärteil einer komplexen Zahl $z=a+ib$ dargestellt werden. Es gilt: