Bei der komplexen Konjugation handelt es sich um eine Abbildung, die einer komplexen Zahl die komplexe Zahl mit identischen Real- und negiertem Imaginärteil zuordnet.
Bei der komplexen Konjugation handelt es sich um eine Abbildung der komplexen Zahlen auf sich selbst, die wie folgt definiert ist (mit \(a,b \in \R\)):
Die Zahl \(\overline{z}\) wird konjugiert komplexe Zahl (auch komplex konjugierte Zahl oder kurz Konjugierte) von \(z\) genannt. Bezogen auf die komplexe Zahl \(z\) besitzt sie denselben Real- und den negierten Imaginärteil, sodass sie als Spiegelung an der reellen Achse aufgefasst werden kann, wie die folgende Abbildung zeigt.
Veranschaulichung der konjugiert komplexen Zahl
Darstellung in Exponential-/Polarform
Die komplexe Konjugation kann auch in Polarform dargestellt werden; es gilt (mit \(r,\varphi \in \R\)):
\begin{align*} z &= r \cdot \bigl( \cos(\varphi) + i \cdot \sin(\varphi) \bigr) \\[0.5em] \overline{z} &= r \cdot \bigl( \cos(-\varphi) + i \cdot \sin(-\varphi) \bigr) \\[0.5em] &= r \cdot \bigl( \cos(\varphi) - i \cdot \sin(\varphi) \bigr). \end{align*}
Der Betrag \(r\) der komplexen Zahl bleibt unverändert, das Argument \(\varphi\) wird negiert. Die Gleichheiten \(\cos(-\varphi) = \cos(\varphi)\) und \(\sin(-\varphi) = -\sin(\varphi)\) gelten, da es sich bei der Kosinusfunktion um eine gerade und bei der Sinusfunktion um eine ungerade Funktion handelt.
Für die komplexe Konjugation in Exponentialform gilt analog (mit \(r,\varphi \in \R\)):
\begin{align*} z &= r \cdot e^{i\varphi} \\[0.5em] \overline{z} &= r \cdot e^{i(-\varphi)} \\[0.5em] &= r \cdot e^{-i\varphi}. \end{align*}
Ersetzen der komplexen Zahlen \(z_1\) und \(z_2\) durch ihre algebraische Form
(2)
Ausrechnen von \(z_1 \pm z_2\) gemäß der Definition der Addition bzw. Subtraktion von komplexen Zahlen
(3)
Ausrechnen der konjugiert komplexen Zahl gemäß Definition der komplexen Konjugation
(4)
Hineinziehen des Faktors \(-1\) in die Klammer \((b_1 \pm b_2)\)
(5)
Aufteilen der Summe/Differenz auf zwei komplexe Zahlen gemäß Definition der Addition bzw. Subtraktion von komplexen Zahlen
(6)
Ersetzen der algebraischen Formen durch die konjugiert komplexen Zahlen \(\overline{z_1}\) und \(\overline{z_2}\) gemäß Definition der komplexen Konjugation
Gegeben seien die folgenden komplexen Zahlen (mit \(a_1,a_2,b_1,b_2 \in \R\)):
Ersetzen der komplexen Zahlen \(z_1\) und \(z_2\) durch ihre algebraische Form
(2)
Ausrechnen von \(z_1 \cdot z_2\) gemäß der Definition der Multiplikation von komplexen Zahlen
(3)
Ausrechnen der konjugiert komplexen Zahl gemäß Definition der komplexen Konjugation
(4)
Hineinziehen des Faktors \(-1\) in die Klammer \((a_1b_2 + b_1a_2)\)
(5)
Aufteilen des Produkts auf zwei Faktoren gemäß Definition der Multiplikation von komplexen Zahlen
(6)
Ersetzen der algebraischen Formen durch die konjugiert komplexen Zahlen \(\overline{z_1}\) und \(\overline{z_2}\) gemäß Definition der komplexen Konjugation
Gegeben seien die folgenden komplexen Zahlen (mit \(a_1,a_2,b_1,b_2 \in \R\)):
Ausrechnen der konjugiert komplexen Zahl gemäß Definition der komplexen Konjugation
(5)
Hineinziehen des Faktors \(-1\) in die Klammer \((b_1a_2 - a_1b_2)\)
(6)
Aufteilen des Zählers auf zwei Faktoren gemäß Definition der Multiplikation von komplexen Zahlen
Aufteilen des Nenners auf zwei Faktoren mithilfe der dritten binomischen Formel
(7)
Kürzen des gemeinsamen Faktors \((a_2+ib_2)\)
(8)
Ersetzen der algebraischen Formen durch die konjugiert komplexen Zahlen \(\overline{z_1}\) und \(\overline{z_2}\) gemäß Definition der komplexen Konjugation
Involution
Bei der komplexen Konjugation handelt es sich um eine Involution, also um eine selbstinverse Abbildung. Für alle \(z \in \C\) gilt:
\[ \overline{\overline{z}} = z. \]
Konjugation von reellen Zahlen
Für die konjugiert komplexe Zahl einer reellen Zahl gilt stets:
\[ z \in \R \Leftrightarrow z = \overline{z}. \]
Bei den reellwertigen komplexen Zahlen handelt es sich somit um Fixpunkte der komplexen Konjugation.
Weitere Rechenregeln
Für die komplexe Konjugation gelten die folgenden Regeln:
\(|z| = |\overline{z}|\)
\(\exp\overline{z} = \overline{\exp z}\)
\(\log\overline{z} = \overline{\log z}\) für \(z \neq 0\)
Anwendungen
Darstellung des Real/-Imaginärteils
Mithilfe der konjugiert komplexen Zahl \(\overline{z}\) kann der Real- und der Imaginärteil einer komplexen Zahl \(z=a+ib\) dargestellt werden. Es gilt:
Darüber hinaus gilt für den Betrag einer komplexen Zahl stets:
\[ |z| = |\overline{z}|. \]
Berechnung des multiplikativen Inversen
Das multiplikative Inverse \(z^{-1}\) einer komplexen Zahl \(z\) kann mithilfe der konjugiert komplexen Zahl \(\overline{z}\) wie folgt berechnet werden:
