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Arkustangens

Arkustangens (abgekürzt: $\arctan$, $\atan$; manchmal auch $\tan^{-1}$) gehört zu den Arkusfunktionen und ist die Umkehrfunktion von Tangens.

Inhalt

Definition

Die Funktion lässt sich durch die folgende Formel ausdrücken:

\[ \]

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Graph der Arkustangensfunktion $\arctan(x)$

Definitionsbereich	$-\infty \lt x \lt \infty$
Wertebereich	$-\frac{\pi}{2} \lt \arctan(x) \lt \frac{\pi}{2}$
Periodizität	keine
Monotonie	streng monoton steigend
Krümmung	streng konvex für $x \leq 0$ streng konkav für $x \geq 0$
Symmetrien	Punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung ungerade Funktion
Asymptoten	$\arctan(x) \rightarrow \pm \frac{\pi}{2}$ für $x \rightarrow \pm\infty$
Nullstellen	$x_0=0$
Sprungstellen	keine
Polstellen	keine
Extrema	keine
Wendepunkte	$x_0=0$

Die Ableitung von Arkustangens lautet:

\Bigl[ \arctan(x) \Bigr]' = \frac{d}{dx} \arctan(x) = \frac{1}{1+x^2}

Die Stammfunktion von Arkustangens lautet:

\int{\arctan(x)\ dx} = x \cdot \arctan(x) - \frac{1}{2} \cdot \ln\left( x^2+1 \right) {\color{lightgray}{} + \mathcal{C}}

Die Reihenentwicklung von Arkustangens ist

\begin{align*} \arctan(x) &= \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{{(-1)}^k}{2k+1} \cdot x^{2k+1}} \\[0.75em] &= x - \frac{1}{3} x^3 + \frac{1}{5} x^5 - \frac{1}{7} x^7 + \frac{1}{9} x^9 - \ldots \end{align*}