Arkustangens (Funktion)
Die Arkustangens-Funktion (abgekürzt: arctan, atan; manchmal auch tan-1) gehört zu den Arkusfunktionen und ist die Umkehrfunktion der Tangens-Funktion. Sie ist eine elementare mathematische Funktion und wird beispielsweise in der Trigonometrie verwendet (z. B. bei der Bestimmung von Winkeln, falls der Tangens des Winkels bekannt ist), aber auch in der Physik und in verschiedenen Ingenieurswissenschaften. Darüber hinaus findet die Arkustangens-Funktion Anwendung bei der Integration rationaler Funktionen und bei der Umrechnung in die Polarform einer komplexen Zahl.
Definition
Bei der Arkustangens-Funktion (abgekürzt: arctan, atan; manchmal auch tan-1) handelt es sich um die Umkehrfunktion der Tangens-Funktion. Sie ordnet dem Tangens eines Winkels wieder den ursprünglichen Winkel zu. (Hinweis: Da die Tangens-Funktion periodisch und nicht bijektiv ist, wird sie auf das Intervall $\bigl( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \bigr)$ eingeschränkt, damit sie umgekehrt werden kann.)
Die Arkustangens-Funktion kann wie folgt formal definiert werden (mit $x,\varphi \in \R$):
Hierbei gilt:
- Die Arkustangens-Funktion ist für alle Werte $x \in \R$ definiert, da die Tangens-Funktion alle Funktionswerte im Intervall $\bigl( -\infty,\infty \bigr)$ annimmt.
- Bei $\arctan(x)$ handelt es sich um einen Winkel $\varphi \in \R$ im Intervall $\bigl( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \bigr)$, aber nie um die Werte $\pm\frac{\pi}{2}$, da der Tangens für $\pm\frac{\pi}{2}$ nicht definiert ist.
Zusammengefasst: Die Arkustangens-Funktion $\arctan(x)$ gibt den Winkel $\varphi$ im Intervall $\bigl( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \bigr)$ an, für den der Tangens den Wert $x$ annimmt.
Funktionsgraph
Eigenschaften
Die Arkustangens-Funktion besitzt die folgenden Eigenschaften:
Definitionsbereich |
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Wertebereich |
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Periodizität |
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Monotonie |
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Krümmung |
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Symmetrien |
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Asymptoten |
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Nullstellen |
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Sprungstellen |
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Polstellen |
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Extremstellen |
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Wendepunkte |
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Ableitung
Hauptartikel: Arkustangens (Ableitungsregel)
Die Ableitung der Arkustangens-Funktion ist für alle reellen Zahlen $x \in \R$ wie folgt definiert:
Stammfunktion
Hauptartikel: Arkustangens (Integrationsregel)
Die Stammfunktion der Arkustangens-Funktion lautet:
Reihenentwicklung
Hauptartikel: Arkustangens (Reihenentwicklung)
Die Arkustangens-Funktion besitzt die folgende Reihenentwicklung:
Identitäten
Mithilfe der folgenden Formeln kann die Arkustangens-Funktion durch die anderen Arkusfunktionen dargestellt werden: