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Arkustangens (Ableitungsregel)

Die Ableitungsregel der Arkustangens-Funktion (abgekürzt: arctan oder atan) kann direkt aus der Definition der Arkustangens-Funktion als Umkehrfunktion der Tangens-Funktion hergeleitet werden. Dieser Artikel bietet eine detaillierte Schritt für Schritt Herleitung der Ableitungsregel und demonstriert deren Anwendung an einigen Beispielen.

Grundlagen

Die Arkustangens-Funktion kann für alle reellen Zahlen $x \in \R$ als Umkehrfunktion der Tangens-Funktion formal wie folgt definiert werden (mit $y \in \R$ und $-\frac{\pi}{2} \lt y \lt \frac{\pi}{2}$):

\arctan(x) = y \quad\Leftrightarrow\quad \tan(y) = x.

Ableitungsregel

Die Ableitung der Arkustangens-Funktion (abgekürzt: arctan oder atan) ist für alle reellen Zahlen $x \in \R$ wie folgt definiert:

\begin{align*} {\Bigl[ \arctan(x) \Bigr]}' &= \frac{d}{dx} \Bigl[ \arctan(x) \Bigr] \\[0.75em] &= \frac{1}{1+x^2} \end{align*}

Herleitung der Ableitungsregel

Die Herleitung der Ableitungsregel der Arkustangens-Funktion basiert auf der Tatsache, dass es sich bei der Arkustangens-Funktion um die Umkehrfunktion der Tangens-Funktion handelt. Aus der Definition $\arctan(x)=y$ folgt unmittelbar die Aussage $x = \tan(y)$. Diese kann mittels impliziter Differentiation unter Zuhilfenahme der Ableitungsregel der Tangens-Funktion und der Kettenregel direkt abgeleitet und umgestellt werden. Es gilt:

\begin{align*} x &= \tan(y) \\[1.5em] \Rightarrow\ \frac{d}{dx}\Bigl[ x \Bigr] &\overset{(1)}{=} \frac{d}{dx}\Bigl[ \tan(y) \Bigr] \\[0.75em] 1 &\overset{(2)}{=} \bigl( 1 + \tan^2(y) \bigr) \cdot \frac{d}{dx}\Bigl[ y \Bigr] \\[1.5em] \Rightarrow\ \frac{d}{dx}\Bigl[ y \Bigr] &\overset{(3)}{=} \frac{1}{1 + \tan^2(y)} \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} \frac{1}{1 + x^2} \\[1.5em] \Rightarrow\ \frac{d}{dx} \Bigl[ \arctan(x) \Bigr] &\overset{(5)}{=} \frac{1}{1 + x^2} \end{align*}

Erklärungen zu den Schritten
(1)	Implizite Differentiation Ableiten der Gleichung nach der Variable $x$
(2)	Anwenden der Ableitungsregel der Potenzfunktion Anwenden der Ableitungsregel der Tangens-Funktion Anwenden der Kettenregel
(3)	Umstellen nach $\frac{d}{dx} \bigl[ y \bigr]$
(4)	Ersetzen von $\tan(y)$ durch $x$ gemäß der laut Definition geltenden Gleichheit $x = \tan(y)$
(5)	Ersetzen von $y$ durch $\arctan(x)$ gemäß der laut Definition geltenden Gleichheit $\arctan(x) = y$

Beispiele

Beispiel 1

Gegeben sei die folgende Funktion, deren Ableitung mithilfe der Ableitungsregel der Arkustangens-Funktion bestimmt werden soll:

f(x) = \arctan(3x)

Für die Ableitung der Funktion $f(x)$ ergibt sich:

\begin{align*} f'(x) &= {\Bigl[ \arctan(3x) \Bigr]}' \\[0.75em] &= \frac{1}{1 +{(3x)}^2} \cdot {\Bigl[ 3x \Bigr]}' \\[0.75em] &= \frac{1}{1 + 9x^2} \cdot 3 \\[0.75em] &= \frac{3}{1 + 9x^2} \end{align*}

Beispiel 2

Gegeben sei die folgende Funktion, deren Ableitung mithilfe der Ableitungsregel der Arkustangens-Funktion bestimmt werden soll:

g(x) = \arctan\left( x^5 \right)

Für die Ableitung der Funktion $g(x)$ ergibt sich:

\begin{align*} g'(x) &= {\Bigl[ \arctan\left( x^5 \right) \Bigr]}' \\[0.75em] &= \frac{1}{1 + {\left(x^5\right)}^2} \cdot {\Bigl[ x^5 \Bigr]}' \\[0.75em] &= \frac{1}{1 + x^{10}} \cdot 5x^4 \\[0.75em] &= \frac{5x^4}{1 + x^{10}} \end{align*}