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Tangens

Tangens (abgekürzt: $\tan$) gehört zu den trigonometrischen Funktionen.

Inhalt

Definition

Die Funktion lässt sich durch die folgende Formel ausdrücken:

\tan(x) := \frac{\sin(x)}{\cos(x)}

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Graph der Tangensfunktion $\tan(x)$

Definitionsbereich	$\R \setminus \Bigl\{ k \cdot \pi + \frac{\pi}{2} \mid k \in \Z \Bigr\}$
Wertebereich	$\R$
Periodizität	Periodisch mit Periodenlänge $\pi$ $\tan(x + \pi) = \tan(x)$
Monotonie	streng monoton steigend in allen Intervallen
Krümmung	streng konkav für $x \in \Bigl( k \cdot \pi - \frac{\pi}{2},\ k \cdot \pi \Bigr]$ streng konvex für $x \in \Bigl[ k \cdot \pi,\ k \cdot \pi + \frac{\pi}{2} \Bigr)$
Symmetrien	Punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung ungerade Funktion
Asymptoten	Senkrechte Asymptoten bei den Polstellen
Nullstellen	$x = k \cdot \pi$ (mit $k \in \Z$)
Sprungstellen	keine
Polstellen	$x = k \cdot \pi + \frac{\pi}{2}$ (mit $k \in \Z$)
Extrema	keine
Wendepunkte	$x = k \cdot \pi$ (mit $k \in \Z$)

Die Ableitung von Tangens lautet:

\Bigl[ \tan(x) \Bigr]' = \frac{d}{dx} \tan(x) = 1 + \tan^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)} = \sec^2(x)

Die Stammfunktion von Tangens lautet:

\int{\tan(x)\ dx} = -\ln\bigl|\cos(x)\bigr| {\color{lightgray}{} + \mathcal{C}}

Weitere Stammfunktionen:

\begin{align*} \int{\tan^n(x)\ dx} &= \frac{1}{n-1} \cdot \tan^{n-1}(x) - \int{\tan^{n-2}(x)\ dx} {\color{lightgray}{} + \mathcal{C}} \\[0.75em] \int{\frac{1}{\tan(x)}\ dx} = \int{\tan^{-1}(x)\ dx} &= \ln\bigl|\sin(x)\bigr| {\color{lightgray}{} + \mathcal{C}} \\[0.75em] \int{\frac{1}{\tan^n(x)}\ dx} = \int{\tan^{-n}(x)\ dx} &= \frac{1}{(n-1) \cdot \tan^{n-1}(x)} - \int{\frac{1}{\tan^{n-2}(x)}\ dx} {\color{lightgray}{} + \mathcal{C}} \end{align*}

Die Reihenentwicklung von Tangens ist

\begin{align*} \tan(x) &= \sum\limits_{k=1}^{\infty}{\frac{{(-1)}^{k-1} \cdot 2^{2k} \cdot \left( 2^{2k} - 1\right) \cdot B_{2k}}{(2k)!} \cdot x^{2k-1}} \\[0.75em] &= x + \frac{1}{3} x^3 + \frac{2}{15} x^5 + \frac{17}{315} x^7 + \ldots \end{align*}