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Tangens (Funktion)

Die Tangens-Funktion (abgekürzt: tan) gehört zu den trigonometrischen Funktionen. Sie ist eine elementare mathematische Funktion und spielt unter anderem in verschiedenen Bereichen der Mathematik (z. B. in der Geometrie), in der Physik, in der Technik sowie in verschiedenen Ingenieurswissenschaften eine Rolle. Wie alle trigonometrischen Funktionen beschreibt die Tangens-Funktion eine Beziehung zwischen den Winkeln eines rechtwinkligen Dreiecks und den Verhältnissen der Seitenlängen – genauer gesagt handelt es sich beim Tangens eines Winkels um das Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete, was alternativ auch als der Quotient von Sinus und Kosinus dargestellt werden kann. Die zur Tangens-Funktion zugehörige Umkehrfunktion ist die Arkustangens-Funktion.

Definition

Die Tangens-Funktion (abgekürzt: tan) gehört zu den trigonometrischen Funktionen. In einem rechtwinkligen Dreieck beschreibt sie für einen gegebenen Winkel $\varphi \in \R$ das Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete.

\tan(\varphi) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}

Für reelle Zahlen $x \in \R$ kann die Tangens-Funktion ebenfalls als Quotient von Sinus und Kosinus dargestellt werden.

\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}

Die Tangens-Funktion ist eine periodische Funktion und hat eine Periodenlänge von $\pi$. Sie ist an den Stellen $k\pi + \frac{\pi}{2}$ (mit $k \in \Z$) nicht definiert, da der Kosinus dort den Wert null annimmt.

Funktionsgraph

Eigenschaften

Die Tangens-Funktion besitzt die folgenden Eigenschaften:

Definitionsbereich	$-\infty \lt x \lt \infty$ $x \neq k\pi + \frac{\pi}{2}$ (mit $k \in \Z$)
Wertebereich	$-\infty \lt \tan(x) \lt \infty$
Periodizität	periodisch mit Periodenlänge $\pi$
Monotonie	streng monoton steigend in allen Intervallen
Krümmung	streng konvex für $2k\pi \leq x \lt 2k\pi + \frac{\pi}{2}$ (mit $k \in \Z$) streng konkav für $2k\pi + \frac{\pi}{2} \lt x \leq 2k\pi + \pi$ (mit $k \in \Z$)
Symmetrien	punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung ungerade Funktion
Asymptoten	senkrechte Asymptoten bei den Polstellen
Nullstellen	$x = k\pi$ (mit $k \in \Z$)
Sprungstellen	keine
Polstellen	$x = k\pi + \frac{\pi}{2}$ (mit $k \in \Z$)
Extremstellen	keine
Wendepunkte	$x = k\pi$ (mit $k \in \Z$)

Ableitung

Hauptartikel: Tangens (Ableitungsregel)

Die Ableitung der Tangens-Funktion ist für alle reellen Zahlen $x \in \R$ mit $x \neq k\pi + \frac{\pi}{2}$ (für $k \in \Z$) wie folgt definiert:

\begin{align*} {\Bigl[ \tan(x) \Bigr]}' &= \frac{d}{dx} \Bigl[ \tan(x) \Bigr] \\[0.75em] &= \frac{1}{\cos^2(x)} \\[0.75em] &= \sec^2(x) \\[0.75em] &= 1 + \tan^2(x) \end{align*}

Stammfunktion

Hauptartikel: Tangens (Integrationsregel)

Die Stammfunktion der Tangens-Funktion lautet:

\int{\tan(x)\ dx} = -\ln\bigl|\cos(x)\bigr| + \mathcal{C}

Weitere Stammfunktionen:

\begin{align*} \int{\tan^n(x)\ dx} &= \frac{1}{n-1} \cdot \tan^{n-1}(x) - \int{\tan^{n-2}(x)\ dx} + \mathcal{C} \\[1.5em] \int{\tan^{-1}(x)\ dx} &= \int{\frac{1}{\tan(x)}\ dx} \\[0.75em] &= \ln\bigl|\sin(x)\bigr| + \mathcal{C} \\[1.5em] \int{\tan^{-n}(x)\ dx} &= \int{\frac{1}{\tan^n(x)}\ dx} \\[0.75em] &= \frac{1}{(n-1)} \cdot \tan^{-n+1}(x) - \int{\tan^{-n+2}(x)\ dx} + \mathcal{C} \end{align*}

Reihenentwicklung

Hauptartikel: Tangens (Reihenentwicklung)

Die Tangens-Funktion besitzt die folgende Reihenentwicklung:

\begin{align*} \tan(x) &= \sum\limits_{k=1}^{\infty}{\frac{{(-1)}^{k-1} \cdot 2^{2k} \cdot \left( 2^{2k} - 1\right) \cdot B_{2k}}{(2k)!} \cdot x^{2k-1}} \\[0.75em] &= x + \frac{1}{3} x^3 + \frac{2}{15} x^5 + \frac{17}{315} x^7 + \ldots \end{align*}

Identitäten

Mithilfe der folgenden Formeln kann die Tangens-Funktion durch die anderen trigonometrischen Funktionen dargestellt werden:

\begin{align*} \tan(x) &= \pm \frac{\bigl| \sin(x) \bigr|}{\sqrt{1 - \sin^2(x)}} \\[0.75em] &= \pm \frac{\sqrt{1 - \cos^2(x)}}{\bigl| \cos(x) \bigr|} \\[0.75em] &= \frac{1}{\cot(x)} \\[0.75em] &= \pm \sqrt{\sec^2(x) - 1} \\[0.75em] &= \pm \frac{1}{\sqrt{\csc^2(x) - 1}} \end{align*}

An den Stellen, an denen $\pm$ verwendet wird, gilt (mit $k \in \Z$):

für $k\pi \leq x \lt k\pi + \frac{\pi}{2}$ muss als Vorzeichen $+$ verwendet werden;
für $k\pi + \frac{\pi}{2} \lt x \leq k\pi + \pi$ muss als Vorzeichen $-$ verwendet werden.