Satz von Lagrange

Beim Satz von Lagrange handelt es sich um einen Satz aus der Gruppentheorie, der besagt, dass die Ordnung einer Untergruppe einer endlichen Gruppe stets deren Ordnung teilt. Der Satz ist nach dem italienischen Mathematiker Joseph-Louis Lagrange benannt.

Definition

Es seien \(\mathcal{G} = \bigl(G,\star\bigr)\) eine Gruppe, \(\mathcal{U} = \bigl(U,\star\bigr)\) eine Untergruppe von \(\mathcal{G}\), \(\lbrack G:U \rbrack\) der Index von \(\mathcal{U}\) in \(\mathcal{G}\) und \(|G|\) bzw. \(|U|\) die Ordnungen der Gruppen \(\mathcal{G}\) bzw. \(\mathcal{U}\). Dann gilt:

Handelt es sich bei \(\mathcal{G}\) um eine endliche Gruppe mit \(|G| \lt \infty\), so gilt insbesondere, dass es sich sowohl beim Index \(\lbrack G:U \rbrack\) als auch bei der Untergruppenordnung \(|U|\) um einen Teiler der Gruppenordnung \(|G|\) handelt.

Beweis

Bei der zu einem Element \(a \in G\) gehörenden Linksnebenklasse \(aU\) handelt es sich um eine Äquivalenzklasse der Äquivalenzrelation \(\sim\), die wie folgt definiert ist:

Die Elemente der Linksnebenklasse \(aU = \bigl\{ a \star u \mid u \in U \bigr\}\) sind folglich die Bilder aller Elemente \(u \in U\), die durch die folgende Abbildung erzeugt werden:

Diese Abbildung ist aufgrund ihrer Definition stets surjektiv. Für beliebige Elemente \(u_1,u_2 \in U\) folgt aufgrund der Linkskürzbarkeit in einer Gruppe aus der Gleichheit \(a \star u_1 = a \star u_2\) stets \(u_1=u_2\); die Abbildung ist also ebenfalls injektiv – und somit auch bijektiv. Hieraus folgt, dass die Mächtigkeit der Nebenklasse \(aU\) stets der Mächtigkeit (also der Ordnung) der Untergruppe \(\mathcal{U}\) entspricht – und somit auch, dass alle Linksnebenklassen dieselbe Mächtigkeit \(|U|\) besitzen.

Die Anzahl der Nebenklassen wird als Index \(\lbrack G:U \rbrack\) der Untergruppe \(\mathcal{U}\) in \(\mathcal{G}\) bezeichnet. Gemeinsam mit der Eigenschaft, dass die Menge aller Linksnebenklassen eine Partition der Menge \(G\) bildet, folgt somit unmittelbar die Gleichung

die die Kernaussage des Satzes von Lagrange darstellt.

Anwendungen

Ordnung eines Gruppenelements

Nach dem Satz von Lagrange ist die Ordnung einer Untergruppe stets ein Teiler der Ordnung der Obergruppe \(\mathcal{G} = \bigl(G,\star\bigr)\). Dies gilt insbesondere auch für die zyklische Untergruppe \(\langle a \rangle = \bigl\{a,a^2,\ldots,a^n=e\bigr\}\), die durch ein Element \(a \in G\) erzeugt wird. Die Ordnung der Untergruppe \(\langle a \rangle\) entspricht stets der Ordnung des Gruppenelements \(a\), woraus unmittelbar folgt, dass die Ordnung \(n\) des Gruppenelements \(a\) ein Teiler der Ordnung \(|G|\) der Gruppe \(\mathcal{G}\) ist.

Zyklische Gruppen

Handelt es sich bei der Ordnung einer Gruppe \(\mathcal{G}\) um eine Primzahl \(p\), so folgt nach dem Satz von Lagrange, dass jedes Element der Gruppe entweder die Ordnung \(1\) oder die Ordnung \(p\) besitzt, da dies die einzigen Teiler der Primzahl \(p\) sind. Da lediglich das neutrale Element die Ordnung \(1\) besitzt, müssen alle anderen Elemente die Ordnung \(p\) haben, woraus unmittelbar folgt, dass es sich bei der Gruppe \(\mathcal{G}\) um eine zyklische Gruppe handelt.

Weitere Anwendungen

Der Satz von Lagrange kann verwendet werden, um den kleinen Satz von Fermat sowie den Satz von Euler zu beweisen.

Existenz von Untergruppen/Elementen bestimmter Ordnung

Nach dem Satz von Lagrange handelt es sich bei der Ordnung einer Untergruppe stets um einen Teiler der Ordnung der Obergruppe. Hierbei handelt es sich um eine notwendige Bedingung für die Existenz einer Untergruppe einer bestimmten Ordnung. Untergruppen, bei deren Ordnung es sich nicht um einen Teiler der Ordnung der Obergruppe handelt, können somit nicht existieren. Umgekehrt garantiert der Satz von Lagrange allerdings nicht, dass Untergruppen einer bestimmten Ordnung tatsächlich existieren; die Bedingung ist nicht hinreichend. Beispielsweise besitzt die alternierende Gruppe \(\mathcal{A}_4\) keine Untergruppe der Ordnung 6, obwohl dies ein Teiler der Gruppenordnung \(|\mathcal{A}_4| = 12\) ist.

Eine analoge Aussage gilt für Elemente bestimmter Ordnung. Elemente, deren Ordnung kein Teiler der Gruppenordnung ist, können nicht existieren, der Satz von Lagrange liefert aber keine Garantie für die Existenz von Elementen bestimmter Ordnung: Beispielsweise besitzt die Kleinsche Vierergruppe kein Element der Ordnung \(4\), obwohl dies ein Teiler der Gruppenordnung \(4\) ist.