Nebenklasse

Eine Gruppe kann mithilfe einer Untergruppe in disjunkte Teilmengen zerlegt werden, die Nebenklassen genannt werden; genauer gesagt in Links- und Rechtsnebenklassen, die stets dieselbe Mächtigkeit wie die Untergruppe haben. Die Anzahl der (Links-/Rechts-)Nebenklassen wird als Index der Untergruppe bezeichnet.

Definitionen

Linksnebenklasse

Sei $\mathcal{U} = \bigl(U,\star\bigr)$ eine Untergruppe einer Gruppe $\mathcal{G} = \bigl(G,\star\bigr)$. Mithilfe der Untergruppe $\mathcal{U}$ lässt sich auf der Menge $G$ eine Äquivalenzrelation $\sim$ definieren, deren Faktormenge eine Partition der Menge $G$ darstellt. Für $a,b \in G$ gilt:

Für ein gegebenes Element $a \in G$ handelt es sich bei

um die Menge aller Elemente $b$, die in Relation mit dem Element $a$ stehen – also um die Äquivalenzklasse der Relation $\sim$, die das Element $a$ enthält. Diese wird Nebenklasse von $a$ genannt und enthält alle Elemente aus $G$, die entstehen, indem die Elemente aus $U$ von links mit dem Element $a$ verknüpft werden. Sie wird als $a \star U$ oder als $aU$ (bei additiver Schreibweise auch als $a+U$) geschrieben und Linksnebenklasse genannt.

Rechtsnebenklasse

Sei $\mathcal{U} = \bigl(U,\star\bigr)$ eine Untergruppe einer Gruppe $\mathcal{G} = \bigl(G,\star\bigr)$. Mithilfe der Untergruppe $\mathcal{U}$ lässt sich auf der Menge $G$ eine Äquivalenzrelation $\sim$ definieren, deren Faktormenge eine Partition der Menge $G$ darstellt. Für $a,b \in G$ gilt:

Für ein gegebenes Element $a \in G$ handelt es sich bei

um die Menge aller Elemente $b$, die in Relation mit dem Element $a$ stehen – also um die Äquivalenzklasse der Relation $\sim$, die das Element $a$ enthält. Diese wird Nebenklasse von $a$ genannt und enthält alle Elemente aus $G$, die entstehen, indem die Elemente aus $U$ von rechts mit dem Element $a$ verknüpft werden. Sie wird als $U \star a$ oder als $Ua$ (bei additiver Schreibweise auch als $U+a$) geschrieben und Rechtsnebenklasse genannt.

Eigenschaften

Nebenklassen und kommutative Gruppen

Sei $\mathcal{U} = \bigl(U,\star\bigr)$ eine Untergruppe einer abelschen Gruppe $\mathcal{G} = \bigl(G,\star\bigr)$ und sei $a \in G$. Dann stimmt die Linksnebenklasse $aU$ mit der Rechtsnebenklasse $Ua$ überein, d. h., es gilt $aU=Ua$. Dies folgt unmittelbar aus der Kommutativität der Verknüpfung $\star$, denn es gilt:

Für nichtkommutative Gruppen stimmen die Links- und Rechtsnebenklassen im Allgemeinen nicht überein, d. h., es gilt $aU \neq Ua$. (Hinweis: Dies schließt nicht aus, dass für einige $a \in G$ dennoch $aU=Ua$ gilt.)

Disjunktheit von Nebenklassen

Sei $\mathcal{U} = \bigl(U,\star\bigr)$ eine Untergruppe einer Gruppe $\mathcal{G} = \bigl(G,\star\bigr)$ und seien $a,b \in G$ mit $a \neq b$. Dann sind die Linksnebenklassen $aU$ und $bU$ entweder identisch (falls $a$ und $b$ in derselben Nebenklasse liegen und somit $a \sim b$ gilt) oder disjunkt (falls $a$ und $b$ nicht in derselben Nebenklasse liegen und somit $a \not\sim b$ gilt). Hieraus folgt direkt, dass jedes Gruppenelement $a \in G$ in exakt einer Linksnebenklasse enthalten ist.

Hinweis: Die Aussage gilt analog für Rechtsnebenklassen.

Mächtigkeit der Nebenklassen

Sei $\mathcal{U} = \bigl(U,\star\bigr)$ eine Untergruppe einer Gruppe $\mathcal{G} = \bigl(G,\star\bigr)$. Alle Links- und Rechtsnebenklassen von $\mathcal{U}$ haben stets dieselbe Mächtigkeit; diese entspricht der Mächtigkeit $|U|$ der Untergruppe $\mathcal{U}$.

Index einer Untergruppe

Sei $\mathcal{U} = \bigl(U,\star\bigr)$ eine Untergruppe einer Gruppe $\mathcal{G} = \bigl(G,\star\bigr)$. Die Anzahl der Links- und der Rechtsnebenklassen der Untergruppe $\mathcal{U}$ ist stets identisch und wird als Index $\lbrack G:U \rbrack$ der Untergruppe $\mathcal{U}$ in $\mathcal{G}$ bezeichnet.

Für endliche Gruppen $\mathcal{G}$ kann der Index $\lbrack G:U \rbrack$ der Untergruppe $\mathcal{U}$ mithilfe des Satzes von Lagrange bestimmt werden; es gilt:

Beispiele

Nebenklassen einer symmetrischen Gruppe

Es sei $U = \langle\bigl(2\ 3\bigr)\rangle$ die durch den Zyklus $\bigl(2\ 3\bigr)$ erzeugte Untergruppe der symmetrischen Gruppe $\mathcal{S}_3$. Es gilt:

Linksnebenklassen
Es ergeben sich die folgenden Linksnebenklassen:

Es ist gut zu erkennen, dass die Elemente $\id$ und $\bigl(2\ 3\bigr)$, $\bigl(1\ 2\bigr)$ und $\bigl(1\ 2\ 3\bigr)$ sowie $\bigl(1\ 3\bigr)$ und $\bigl(1\ 3\ 2\bigr)$ jeweils dieselbe Linksnebenklasse erzeugen. Insgesamt existieren 3 disjunkte Linksnebenklassen. Die Untergruppe $U$ hat den Index $\lbrack \mathcal{S}_3 : U \rbrack = 3$.

Rechtsnebenklassen
Es ergeben sich die folgenden Rechtsnebenklassen:

Es ist gut zu erkennen, dass die Elemente $\id$ und $\bigl(2\ 3\bigr)$, $\bigl(1\ 2\bigr)$ und $\bigl(1\ 3\ 2\bigr)$ sowie $\bigl(1\ 3\bigr)$ und $\bigl(1\ 2\ 3\bigr)$ jeweils dieselbe Rechtsnebenklasse erzeugen. Insgesamt existieren 3 disjunkte Rechtsnebenklassen. Die Untergruppe $U$ hat den Index $\lbrack \mathcal{S}_3 : U \rbrack = 3$.

Die Rechtsnebenklassen stimmen nicht mit den Linksnebenklassen überein, da die Komposition $\circ$ nicht kommutativ ist.

Nebenklassen einer Einheitengruppe eines Restklassenrings

Es sei $U = \langle {[8]}_9 \rangle$ die durch die Restklasse $ {[8]}_9$ erzeugte Untergruppe der Einheitengruppe $\Z_9^\times$ des Restklassenrings $\bigl(\Z_9,+,\cdot\bigr)$. Es gilt:

Linksnebenklassen
Es ergeben sich die folgenden Linksnebenklassen:

Es ist gut zu erkennen, dass die Elemente $ {[1]}_9$ und $ {[8]}_9$, $ {[2]}_9$ und $ {[7]}_9$ sowie $ {[4]}_9$ und $ {[5]}_9$ jeweils dieselbe Linksnebenklasse erzeugen. Insgesamt existieren 3 disjunkte Linksnebenklassen. Die Untergruppe $U$ hat den Index $\lbrack \Z_9^\times : U \rbrack = 3$.

Rechtsnebenklassen
Es ergeben sich die folgenden Rechtsnebenklassen:

Es ist gut zu erkennen, dass die Elemente $ {[1]}_9$ und $ {[8]}_9$, $ {[2]}_9$ und $ {[7]}_9$ sowie $ {[4]}_9$ und $ {[5]}_9$ jeweils dieselbe Rechtsnebenklasse erzeugen. Insgesamt existieren 3 disjunkte Rechtsnebenklassen. Die Untergruppe $U$ hat den Index $\lbrack \Z_9^\times : U \rbrack = 3$.

Die Rechtsnebenklassen stimmen mit den Linksnebenklassen überein, da die Multiplikation von Restklassen modulo m kommutativ ist.

Beweise

Äquivalenzrelation

Sei $\mathcal{U} = \bigl(U,\star\bigr)$ eine Untergruppe einer Gruppe $\mathcal{G} = \bigl(G,\star\bigr)$ und $\sim$ die nachfolgende Relation, die zur Definition der Linksnebenklassen verwendet wurde:

Zum Nachweis, dass es sich bei der Relation $\sim$ um eine Äquivalenzrelation handelt, muss gezeigt werden, dass die Relation symmetrisch, reflexiv und transitiv ist.

Nachweis der Symmetrie
Für $a,b \in G$ folgt aus $a \sim b$, dass $b = a \star u$ für ein $u \in U$ gilt. Da es sich bei $\mathcal{U}$ um eine Untergruppe handelt, existiert für jedes $u \in U$ stets auch das inverse Element $u_{\star}^{-1} \in U$. Rechtsseitiges Verknüpfen der Gleichung $b = a \star u$ mit $u_{\star}^{-1}$ liefert

woraus unmittelbar $b \sim a$ und somit die Symmetrie der Relation $\sim$ folgt.

Nachweis der Reflexivität
Da es sich bei $\mathcal{U}$ um eine Untergruppe handelt, gilt insbesondere $e_{\star} \in U$; mit $e_{\star}$ ist hierbei das neutrale Element der Verknüpfung $\star$ bezeichnet. Für $a \in G$ folgt aus $a = a \star e_{\star}$ unmittelbar $a \sim a$ und somit die Reflexivität der Relation $\sim$.

Nachweis der Transitivität
Für $a,b,c \in G$ folgt aus $a \sim b$ und $b \sim c$, dass $b = a \star u_1$ sowie $c = b \star u_2$ für $u_1,u_2 \in U$ gilt. Hieraus folgt unter Zuhilfenahme der Abgeschlossenheit der Untergruppe $\mathcal{U}$ die Gleichung

woraus unmittelbar $a \sim c$ und somit die Transitivität der Relation $\sim$ folgt.

Hinweis: Der Nachweis für die Äquivalenzrelation der Rechtsnebenklassen funktioniert analog.

Mächtigkeit der Nebenklassen

Sei $\mathcal{U} = \bigl(U,\star\bigr)$ eine Untergruppe einer Gruppe $\mathcal{G} = \bigl(G,\star\bigr)$. Bei der zu einem Element $a \in G$ gehörenden Linksnebenklasse $aU$ handelt es sich um die Menge

bei der es sich um die Bilder aller Elemente $u \in U$ handelt, die durch die folgende Abbildung erzeugt werden:

Diese Abbildung ist aufgrund ihrer Definition stets surjektiv. Für beliebige Elemente $u_1,u_2 \in U$ folgt aufgrund der Linkskürzbarkeit in einer Gruppe aus der Gleichheit $a \star u_1 = a \star u_2$ stets $u_1=u_2$; die Abbildung ist also ebenfalls injektiv – und somit auch bijektiv. Hieraus folgt, dass die Mächtigkeit der Nebenklasse $aU$ stets der Mächtigkeit (also der Ordnung) der Untergruppe $\mathcal{U}$ entspricht – und somit auch, dass alle Linksnebenklassen dieselbe Mächtigkeit $|U|$ besitzen.

Hinweis: Der Nachweis für die Mächtigkeit der Rechtsnebenklassen funktioniert analog.

Disjunktheit von Nebenklassen

Sei $\mathcal{U} = \bigl(U,\star\bigr)$ eine Untergruppe einer Gruppe $\mathcal{G} = \bigl(G,\star\bigr)$ und seien $a,b \in G$. Handelt es sich bei $b$ um ein Element der Linksnebenklasse $aU$, gilt also $a \sim b$, dann existiert ein Element $u \in U$ mit $b = a \star u$. Für die von $b$ erzeugte Linksnebenklasse $bU$ gilt dann:

Die Umformung $(\ast)$ gilt, da es sich bei der Abbildung $u \mapsto a \star u$, deren Bilder die Elemente der Linksnebenklasse $aU$ darstellen, um eine Bijektion handelt (siehe vorheriger Abschnitt) und folglich $uU=U$ gilt.

Die Elemente $a$ und $b$ erzeugen folglich stets dieselbe Linksnebenklasse $aU=bU$, falls $a \sim b$ gilt. Da es sich bei $\sim$ zudem um eine Äquivalenzrelation handelt, deren Äquivalenzklassen die Nebenklassen sind, gehört jedes Element zu einer eindeutig bestimmten Nebenklasse. Aus der Kombination dieser beiden Eigenschaften folgt unmittelbar die Disjunktheit der Nebenklassen.