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Logarithmusfunktion
Herleitung der Ableitung von $\ln(x)$
Die Bestimmung der Ableitung von $\ln(x)$ geschieht über den Grenzwert des Differenzenquotienten.
Es gilt:
\begin{align*} {\Bigl[ \ln(x) \Bigr]}' &\overset{(1)}{=} \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{\ln(x+h) - \ln(x)}{h} \right)} \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{1}{h} \cdot \Bigl( \ln(x+h) - \ln(x) \right) \Bigr)} \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{1}{h} \cdot \ln{\left( \frac{x+h}{x} \right)} \right)} \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{1}{h} \cdot \ln{\left( 1 + \frac{h}{x} \right)} \right)} \\[0.75em] &\overset{(5)}{=} \lim\limits_{t \rightarrow 0}{\left( \frac{1}{xt} \cdot \ln{\left( 1+t \right)} \right)} \\[0.75em] &\overset{(6)}{=} \frac{1}{x} \cdot \lim\limits_{t \rightarrow 0}{\left( \frac{1}{t} \cdot \ln{\left( 1+t \right)} \right)} \\[0.75em] &\overset{(7)}{=} \frac{1}{x} \cdot \lim\limits_{t \rightarrow 0}{\left( \ln{\left( {\left( 1+t \right)}^{\frac{1}{t}} \right)} \right)} \\[0.75em] &\overset{(8)}{=} \frac{1}{x} \cdot \ln{\left( \lim\limits_{t \rightarrow 0}{\left( {\left( 1+t \right)}^{\frac{1}{t}} \right)} \right)} \\[0.75em] &\overset{(9)}{=} \frac{1}{x} \cdot \ln{\left( e \right)} \\[0.75em] &\overset{(10)}{=} \frac{1}{x} \end{align*}
| Erklärungen zu den Schritten | |
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| (8) |
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