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Logarithmusgesetz I-b: Logarithmus eines Quotienten

Bei Logarithmusgesetz I-b handelt es sich um eine Rechenregel, die beschreibt, wie der Logarithmus eines Quotienten berechnet werden kann.

Definition

Der Logarithmus des Quotienten von zwei nichtnegativen reellen Zahlen $x,y \in \R$ kann berechnet werden, indem die Logarithmen der beiden reellen Zahlen subtrahiert werden. Es gilt:

\[ \log_b{\left( \frac{x}{y} \right)} = \log_b{x} - \log_b{y}. \]

Die Regel kann in den folgenden Fällen angewendet werden:

  • für positive reelle Zahlen $x,y \in \R$ mit $x \gt 0$ und $y \gt 0$ und positive reelle Basen $b \in \R$ mit $b \gt 0$ und $b \neq 1$.

Beispiele

Beispiel 1

Im ersten Beispiel wird exemplarisch der Logarithmus eines Quotienten bestimmt.

\[ \ln{\left( \frac{a}{b^2} \right)} = \ln{a} - \ln{b^2} \]

Beispiel 2

Im zweiten Beispiel wird exemplarisch der Logarithmus eines Quotienten von zwei ganzen Zahlen bestimmt.

\begin{align*} \log_2{\left( \frac{32}{8} \right)} &= \log_2{32} - \log_2{8} \\[0.5em] &= 5 - 3 \\[0.5em] &= 2 \end{align*}

Beweis

Das Logarithmusgesetz kann durch Nachrechnen direkt gezeigt werden. Gegeben seien zwei reelle Zahlen $x,y \in \R$ mit $x \gt 0$ und $y \gt 0$ sowie eine reelle Zahl $b \in \R$ mit $b \gt 0$ und $b \neq 1$. Aufgrund der strengen Monotonie der Exponentialfunktion existieren dann eindeutig bestimmte reelle Zahlen $m,n \in \R$ mit $x = b^m$ und $y = b^n$. Gemäß der Definition des Logarithmus gilt dann:

\begin{align*} x = b^m &\quad\Leftrightarrow\quad m = \log_b{x} \\[0.5em] y = b^n &\quad\Leftrightarrow\quad n = \log_b{y}. \end{align*}

Das Logarithmusgesetz ergibt sich nun wie folgt:

\begin{align*} \log_b{\left( \frac{x}{y} \right)} &\overset{(1)}{=} \log_b{\left( \frac{b^m}{b^n} \right)} \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} \log_b{\bigl( b^{m-n} \bigr)} \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} m-n \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} \log_b{x} - \log_b{y}. \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
  • Einsetzen von $x = b^m$
  • Einsetzen von $y = b^n$
(2)
(3)
(4)
  • Einsetzen von $m = \log_b{x}$
  • Einsetzen von $n = \log_b{y}$