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Logarithmus eines Quotienten (Logarithmusgesetz I-b)

Bei Logarithmusgesetz I-b zum Logarithmus eines Quotienten, auch Quotientenregel für Logarithmen genannt, handelt es sich um eine grundlegende mathematische Rechenregel. Sie beschreibt, wie der Logarithmus von Quotienten auf die Logarithmen des Zählers und Nenners bzw. des Dividenden und Divisors zurückgeführt werden kann.

Definition

Logarithmus eines Quotienten

Der Logarithmus des Quotienten von zwei positiven reellen Zahlen $x,y \in \R$ kann berechnet werden, indem die Logarithmen der beiden reellen Zahlen subtrahiert werden. Es gilt:

\[ \log_b{\left( \frac{x}{y} \right)} = \log_b{x} - \log_b{y}. \]

In Worten: Der Logarithmus des Quotienten entspricht der Differenz der Logarithmen des Zählers und des Nenners.

Die Regel kann in den folgenden Fällen angewendet werden:

  • für positive reelle Zahlen $x,y \in \R$ mit $x \gt 0 $ und $y \gt 0$ und positive reelle Basen $b \in \R$ mit $b \gt 0$ und $b \neq 1$.

Logarithmus des Kehrwerts

Aus der vorherigen Regel ergibt sich direkt die Regel für den Logarithmus des Kehrwerts. Für positive reelle Zahlen $x \in \R$ gilt:

\begin{align*} \log_b{\left( \frac{1}{x} \right)} &= \underbrace{\log_b{1}}_{{}=0} - \log_b{x} \\[0.5em] &= -\log_b{x}. \end{align*}

In Worten: Der Logarithmus des Kehrwerts entspricht dem negierten Logarithmus des Wert.

Die Regel kann in den folgenden Fällen angewendet werden:

  • für positive reelle Zahlen $x \in \R$ mit $x \gt 0$ und positive reelle Basen $b \in \R$ mit $b \gt 0$ und $b \neq 1$.

Beispiele

Beispiel 1

Im ersten Beispiel wird exemplarisch der Logarithmus eines Quotienten bestimmt.

\begin{align*} \ln{\left( \frac{a}{c^2} \right)} &= \ln{a} - \ln{c^2} \\[0.5em] &\overset{(\star)}{=} \ln{a} - 2 \cdot \ln{c} \end{align*}

Hinweis: Im letzten Schritt $(\star)$ wurde Logarithmusgesetz II verwendet, um die Logarithmus der Potenz weiter zu vereinfachen.

Beispiel 2

Im zweiten Beispiel wird der Logarithmus eines Quotienten von zwei ganzen Zahlen bestimmt.

\begin{align*} \log_2{\left( \frac{32}{8} \right)} &= \log_2{32} - \log_2{8} \\[0.5em] &= 5 - 3 \\[0.5em] &= 2 \end{align*}

Beispiel 3

Das dritte Beispiel zeigt exemplarisch den Logarithmus des Kehrwerts einer ganzen Zahlen.

\begin{align*} \log_3{\left( \frac{1}{27} \right)} &= -\log_3{27} \\[0.5em] &= -3 \end{align*}

Beweis

Das Logarithmusgesetz für Logarithmen von Quotienten kann durch Nachrechnen direkt hergeleitet bzw. bewiesen werden. Gegeben seien zwei reelle Zahlen $x,y \in \R$ mit $x \gt 0$ und $y \gt 0$ sowie eine reelle Zahl $b \in \R$ mit $b \gt 0$ und $b \neq 1$. Aufgrund der Bijektivität der Exponentialfunktion existieren eindeutig bestimmte reelle Zahlen $m,n \in \R$ mit $x = b^m$ und $y = b^n$. Gemäß der Definition des Logarithmus gilt dann:

\begin{align*} x = b^m &{}\iff m = \log_b{x} \\[0.5em] y = b^n &{}\iff n = \log_b{y}. \end{align*}

Das Logarithmusgesetz ergibt sich nun wie folgt:

\begin{align*} \log_b{\left( \frac{x}{y} \right)} &\overset{(1)}{=} \log_b{\left( \frac{b^m}{b^n} \right)} \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} \log_b{\bigl( b^{m-n} \bigr)} \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} m - n \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} \log_b{x} - \log_b{y}. \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
  • Einsetzen von $x = b^m$
  • Einsetzen von $y = b^n$
(2)
(3)
(4)
  • Einsetzen von $m = \log_b{x}$
  • Einsetzen von $n = \log_b{y}$