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Logarithmusgesetz I-b: Logarithmus eines Quotienten

Bei Logarithmusgesetz I-b handelt es sich um eine Rechenregel, die beschreibt, wie der Logarithmus eines Quotienten berechnet werden kann.

Inhalt

Definition

Der Logarithmus des Quotienten von zwei nichtnegativen reellen Zahlen \(x,y \in \R\) kann berechnet werden, indem die Logarithmen der beiden reellen Zahlen subtrahiert werden. Es gilt:

\[ \log_b{\left( \frac{x}{y} \right)} = \log_b{x} - \log_b{y}. \]

Die Regel kann in den folgenden Fällen angewendet werden:

  • für positive reelle Zahlen $x,y \in \R$ mit $x \gt 0$ und $y \gt 0$ und positive reelle Basen $b \in \R$ mit $b \gt 0$ und $b \neq 1$.

Beispiele

Beispiel 1

Im ersten Beispiel wird exemplarisch der Logarithmus eines Quotienten bestimmt.

\[ \ln{\left( \frac{a}{b^2} \right)} = \ln{a} - \ln{b^2} \]

Beispiel 2

Im zweiten Beispiel wird exemplarisch der Logarithmus eines Quotienten von zwei ganzen Zahlen bestimmt.

\begin{align*} \log_2{\left( \frac{32}{8} \right)} &= \log_2{32} - \log_2{8} \\[0.5em] &= 5 - 3 \\[0.5em] &= 2 \end{align*}

Beweis

Das Logarithmusgesetz kann durch Nachrechnen direkt gezeigt werden. Gegeben seien zwei reelle Zahlen \(x,y \in \R\) mit \(x \gt 0\) und \(y \gt 0\) sowie eine reelle Zahl \(b \in \R\) mit \(b \gt 0\) und \(b \neq 1\). Aufgrund der strengen Monotonie der Exponentialfunktion existieren dann eindeutig bestimmte reelle Zahlen \(m,n \in \R\) mit \(x = b^m\) und \(y = b^n\). Gemäß der Definition des Logarithmus gilt dann:

\begin{align*} x = b^m &\quad\Leftrightarrow\quad m = \log_b{x} \\[0.5em] y = b^n &\quad\Leftrightarrow\quad n = \log_b{y}. \end{align*}

Das Logarithmusgesetz ergibt sich nun wie folgt:

\begin{align*} \log_b{\left( \frac{x}{y} \right)} &\overset{(1)}{=} \log_b{\left( \frac{b^m}{b^n} \right)} \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} \log_b{\bigl( b^{m-n} \bigr)} \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} m-n \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} \log_b{x} - \log_b{y}. \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
  • Einsetzen von \(x = b^m\)
  • Einsetzen von \(y = b^n\)
(2)
(3)
(4)
  • Einsetzen von \(m = \log_b{x}\)
  • Einsetzen von \(n = \log_b{y}\)