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Logarithmusgesetz II: Logarithmus einer Potenz

Bei Logarithmusgesetz II handelt es sich um eine Rechenregel, die beschreibt, wie der Logarithmus einer Potenz berechnet werden kann.

Inhalt

Definition

Der Logarithmus einer Potenz von zwei reellen Zahlen \(x,y \in \R\) kann berechnet werden, indem der Exponent als Faktor vor den Logarithmus gezogen wird. Es gilt:

\[ \log_b{\left( x^y \right)} = y \cdot \log_b{x}. \]

Die Regel kann in den folgenden Fällen angewendet werden:

  • für reelle Zahlen $x,y \in \R$ mit $x \gt 0$ und positive reelle Basen $b \in \R$ mit $b \gt 0$ und $b \neq 1$.

Beispiele

Beispiel 1

Im ersten Beispiel wird exemplarisch der Logarithmus einer Potenz bestimmt.

\[ \ln{a^{42}} = 42 \cdot \ln{a} \]

Beispiel 2

Im zweiten Beispiel wird exemplarisch der Logarithmus einer Potenz mit ganzen Zahlen bestimmt.

\begin{align*} \log_2{256^5} &= 5 \cdot \log_2{256} \\[0.5em] &= 5 \cdot 8 \\[0.5em] &= 40 \end{align*}

Beweis

Das Logarithmusgesetz kann durch Nachrechnen direkt gezeigt werden. Gegeben seien zwei reelle Zahlen \(x,y \in \R\) mit \(x \gt 0\) sowie eine reelle Zahl \(b \in \R\) mit \(b \gt 0\) und \(b \neq 1\). Aufgrund der strengen Monotonie der Exponentialfunktion existiert dann eine eindeutig bestimmte reelle Zahl \(m \in \R\) mit \(x = b^m\). Gemäß der Definition des Logarithmus gilt dann:

\[ x = b^m \quad\Leftrightarrow\quad m = \log_b{x}. \]

Das Logarithmusgesetz ergibt sich nun wie folgt:

\begin{align*} \log_b{\bigl( x^y \bigr)} &\overset{(1)}{=} \log_b{\Bigl( {\bigl( b^m \bigr)}^y \Bigr)} \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} \log_b{\bigl( b^{m \cdot y} \bigr)} \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} m \cdot y \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} y \cdot \log_b{x}. \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
  • Einsetzen von \(x = b^m\)
(2)
(3)
(4)
  • Einsetzen von \(m = \log_b{x}\)
  • Vertauschen der Reihenfolge der Faktoren mithilfe des Kommutativgesetzes