de
Seitenbanner
Menu
A-Z
Nachlesen

Logarithmus einer Potenz (Logarithmusgesetz II)

Bei Logarithmusgesetz II zum Logarithmus einer Potenz, auch Potenzregel für Logarithmen genannt, handelt es sich um eine grundlegende mathematische Rechenregel. Sie beschreibt, wie der Logarithmus von Potenzen auf den Logarithmus der Basis der Potenz zurückgeführt werden kann. Die Potenzregel ist ein wichtiges Werkzeug, um beim Lösen von Gleichungen unbekannte Exponenten zu bestimmen und Potenzen mithilfe des Logarithmus aufzulösen.

Definition

Der Logarithmus einer Potenz von zwei reellen Zahlen $x,y \in \R$ kann berechnet werden, indem der Exponent der Potenz als Faktor vor den Logarithmus gezogen wird. Es gilt:

\[ \log_b{\left( x^y \right)} = y \cdot \log_b{x}. \]

Die Regel kann in den folgenden Fällen angewendet werden:

  • für reelle Zahlen $x,y \in \R$ mit $x \gt 0$ und positive reelle Basen $b \in \R$ mit $b \gt 0$ und $b \neq 1$.

Beispiele

Beispiel 1

Im ersten Beispiel wird exemplarisch der Logarithmus einer Potenz einer Variable bestimmt.

\[ \ln{\bigl( a^{42} \bigr)} = 42 \cdot \ln{a} \]

Beispiel 2

Das zweite Beispiel demonstriert die Potenzregel für Logarithmen an einer Potenz, deren Basis und Exponent ganzzahlig sind.

\begin{align*} \log_2{\bigl( 256^5 \bigr)} &= 5 \cdot \log_2{256} \\[0.5em] &= 5 \cdot 8 \\[0.5em] &= 40 \end{align*}

Beispiel 3

Im dritten Beispiel wird die Potenzregel für Logarithmen verwendet, um einen unbekannten Exponenten zu bestimmen. Hierzu wird die Gleichung zunächst logarithmiert und anschließend umgestellt.

\begin{align*} & & 3^x &= 27 \\[0.5em] &\implies & \log_3{\bigl( 3^x \bigr)} &= \log_3{27} \\[0.5em] &\implies & x \cdot \log_3{3} &= \log_3{27} \\[0.5em] &\implies & x &= 3 \end{align*}

Beweis

Das Logarithmusgesetz für Logarithmen von Potenzen kann durch Nachrechnen direkt hergeleitet bzw. bewiesen werden. Gegeben seien zwei reelle Zahlen $x,y \in \R$ mit $x \gt 0$ sowie eine reelle Zahl $b \in \R$ mit $b \gt 0$ und $b \neq 1$. Aufgrund der Bijektivität der Exponentialfunktion existiert eine eindeutig bestimmte reelle Zahl $m \in \R$ mit $x = b^m$. Gemäß der Definition des Logarithmus gilt dann:

\[ x = b^m \iff m = \log_b{x}. \]

Das Logarithmusgesetz ergibt sich nun wie folgt:

\begin{align*} \log_b{\bigl( x^y \bigr)} &\overset{(1)}{=} \log_b{\Bigl( {\bigl( b^m \bigr)}^y \Bigr)} \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} \log_b{\bigl( b^{m \cdot y} \bigr)} \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} m \cdot y \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} y \cdot \log_b{x}. \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
  • Einsetzen von $x = b^m$
(2)
(3)
(4)
  • Einsetzen von $m = \log_b{x}$
  • Vertauschen der Reihenfolge der Faktoren mithilfe des Kommutativgesetzes