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Multiplikation von natürlichen Zahlen
Definition
Bei der Multiplikation von natürlichen Zahlen handelt es sich um eine innere zweistellige Verknüpfung $\cdot : \N \times \N \rightarrow \N$, die durch die folgende Rekursionsvorschrift definiert ist:
\begin{align*} n \cdot 0 &= 0 = 0 \cdot n \\[0.5em] n \cdot 1 &= n \\[0.5em] \forall k \in \N:\quad n \cdot k &= \underbrace{n + \ldots + n}_{k \text{ Faktoren}} \end{align*}
Eigenschaften
Assoziativität
Die Multiplikation von natürlichen Zahlen ist assoziativ. Für natürliche Zahlen $a,b,c \in \N$ gilt:
\[ \bigl( a \cdot b \bigr) \cdot c = a \cdot \bigl( b \cdot c \bigr) = a \cdot b \cdot c. \]
Kommutativität
Die Multiplikation von natürlichen Zahlen ist kommutativ. Für natürliche Zahlen $a,b \in \N$ gilt:
\[ a \cdot b = b \cdot a. \]
Distributivität
Betrachtet man zusätzlich zur Multiplikation noch die Addition oder die Subtraktion, so gelten für natürliche Zahlen $a,b,c \in \N$ die folgenden Distributivgesetze:
\begin{align*} a \cdot \bigl( b \pm c \bigr) &= a \cdot b \pm a \cdot c \\[0.5em] \bigl( a \pm b \bigr) \cdot c &= a \cdot c \pm b \cdot c \end{align*}
Neutrales Element
Die $1$ ist das neutrale Element der Multiplikation von natürlichen Zahlen:
\[ n \cdot 1 = n = 1 \cdot n. \]
Beweise
Lemma 1
Behauptung: $n \cdot 1 = 1 \cdot n$.
(I) Induktionsanfang
Die Aussage ist für $n=0$ richtig. Gemäß der Definition der Multiplikation natürlicher Zahlen gilt
\[ 0 \cdot 1 = 1 \cdot 0. \]
(II) Induktionsschritt
Induktionsannahme: Die Behauptung gelte für einen Wert $n \in \N$.
\begin{align*} \bigl( n+1 \bigr) \cdot 1 &= n+1 && \text{(Definition von '$\cdot$')} \\[0.5em] &= n \cdot 1 + 1 && \text{(Definition von '$\cdot$')} \\[0.5em] &= 1 \cdot n + 1 && \text{(Induktionsannahme)} \\[0.5em] &= \underbrace{1 + \ldots + 1}_{n \text{ mal}} + 1 && \text{(Definition von '$\cdot$')} \\[0.5em] &= \underbrace{1 + \ldots + 1}_{n+1 \text{ mal}} && \\[0.5em] &= 1 \cdot \bigl( n+1 \bigr) && \text{(Definition von '$\cdot$')} \end{align*}
$\Rightarrow$ Aus (I) und (II) folgt die Behauptung.
Korollar 1
Aus der Definition von $\cdot$ und Lemma 1 folgt
\[ n \cdot 1 = n = 1 \cdot n. \]
Beweis der Kommutativität
Behauptung: $m \cdot n = n \cdot m$.
(I) Induktionsanfang
Die Aussage ist für $m=1$ richtig. Dies folgt direkt aus Lemma 1.
\[ 1 \cdot n = n \cdot 1 \]
(II) Induktionsschritt
Induktionsannahme: Die Behauptung gelte für einen Wert $m \in \N$.
\begin{align*} n \cdot \bigl( m+1 \bigr) &= \underbrace{n + \ldots + n}_{(m+1) \text{ mal}} && \text{(Definition von '$\cdot$')} \\[0.5em] &= \underbrace{n + \ldots + n}_{m \text{ mal}} + n && \\[0.5em] &= n \cdot m + n && \text{(Definition von '$\cdot$')} \\[0.5em] &= m \cdot n + 1 \cdot n && \text{(Induktionsannahme und Korollar 1)} \\[0.5em] &= \underbrace{m + \ldots + m}_{n \text{ mal}} + \underbrace{1 + \ldots + 1}_{n \text{ mal}} && \text{(Definition von '$\cdot$')} \\[0.5em] &= \underbrace{\bigl(m+1\bigr) + \ldots + \bigl(m+1\bigr)}_{n \text{ mal}} && \text{(Assoziativität und Kommutativität von $+$)} \\[0.5em] &= \bigl( m+1 \bigr) \cdot n && \text{(Definition von '$\cdot$')} \end{align*}
$\Rightarrow$ Aus (I) und (II) folgt die Behauptung.
Beweis der Distributivität
Behauptung: $a \cdot \bigl( b + c \bigr) = a \cdot b + a \cdot c$.
(I) Induktionsanfang
Die Aussage ist für $a=0$ richtig
\[ \underbrace{0 \cdot \bigl( b+c \bigr)}_{=0} = \underbrace{0 \cdot b}_{=0} + \underbrace{0 \cdot c}_{=0}. \]
(II) Induktionsschritt
Induktionsannahme: Die Behauptung gelte für einen Wert $a \in \N$.
\begin{align*} \bigl( a+1 \bigr) \cdot \bigl( b + c \bigr) &= \underbrace{\bigl(a+1\bigr) + \ldots + \bigl(a+1\bigr)}_{(b+c) \text{ mal}} && \text{(Definition von '$\cdot$')} \\[0.5em] &= \underbrace{\bigl(a+1\bigr) + \ldots + \bigl(a+1\bigr)}_{b \text{ mal}} + \underbrace{\bigl(a+1\bigr) + \ldots + \bigl(a+1\bigr)}_{c \text{ mal}} && \\[0.5em] &= \bigl(a+1\bigr) \cdot b + \bigl(a+1\bigr) \cdot c && \text{(Definition von '$\cdot$')} \\[0.5em] \end{align*}
$\Rightarrow$ Aus (I) und (II) folgt die Behauptung.
Korollar 2
Aus dem Kommutativgesetz der Multiplikation und dem Distributivgesetz folgt
\[ a \cdot \bigl( b+c \bigr) = \bigl( b+c \bigr) \cdot a = a \cdot b + a \cdot c. \]
Beweis der Assoziativität
Behauptung: $\bigl( a \cdot b \bigr) \cdot c = a \cdot \bigl( b \cdot c \bigr)$.
(I) Induktionsanfang
Die Aussage ist für $b=0$ richtig. Nach der Definition der Multiplikation gilt:
\[ \underbrace{\bigl( a \cdot 0 \bigr)}_{=0} \cdot c = a \cdot \underbrace{\bigl( b \cdot c \bigr)}_{=0} \]
(II) Induktionsschritt
Induktionsannahme: Die Behauptung gelte für einen Wert $b \in \N$.
\begin{align*} \bigl( a \cdot (b+1) \bigr) \cdot c &= \bigl( a \cdot b + a \cdot 1 \bigr) \cdot c && \bigl[\text{Distributivgesetz}\bigr] \\[0.5em] &= c \cdot a \cdot b + c \cdot a \cdot 1 && \bigl[\text{Korollar 2}\bigr] \\[0.5em] &= a \cdot c \cdot b + a \cdot c \cdot 1 && \bigl[\text{Kommutativgesetz der Multiplikation}\bigr] \\[0.5em] &= a \cdot \bigl( c \cdot b + c \cdot 1 \bigr) && \bigl[\text{Distributivgesetz}\bigr] \\[0.5em] &= a \cdot \bigl( (b+1) \cdot c \bigr) && \bigl[\text{Korollar 2}\bigr] \\[0.5em] \end{align*}
$\Rightarrow$ Aus (I) und (II) folgt die Behauptung.
