Zweistellige Verknüpfung

Eine zweistellige Verknüpfung (auch binäre Verknüpfung) ist eine Verknüpfung, die zwei Elemente zu einem neuen Element verknüpft. Die verknüpften Elemente werden hierbei als Operanden bezeichnet; die Verknüpfung selbst wird Operation genannt.

Zweistellige Verknüpfungen treten insbesondere in der Algebra recht häufig auf. Der Zusatz zweistellig kann in vielen Fällen weggelassen werden, so dass oft nur von Verknüpfungen gesprochen wird. Typische Beispiele sind die elementaren arithmetischen Operationen der Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division.

Definitionen

Zweistellige Verknüpfung

Gegeben seien Mengen $A$, $B$ und $C$ sowie eine Abbildung $\star: A \times B \rightarrow C$, die die Elemente des kartesischen Produkts $A \times B$ auf die Elemente aus $C$ abbildet. Die Abbildung \(\star\) wird zweistellige Verknüpfung genannt und darüber hinaus

• als innere zweistellige Verknüpfung bezeichnet, falls $A=B=C$ gilt;
• als äußere zweistellige Verknüpfung erster Art bezeichnet, falls $A=C$ oder $B=C$ gilt;
• als äußere zweistellige Verknüpfung zweiter Art bezeichnet, falls $A=B$ gilt.

Innere zweistellige Verknüpfung

Eine innere zweistellige Verknüpfung auf einer Menge $A$ ist eine zweistellige Abbildung $\star: A \times A \rightarrow A$, die jedem Element des kartesischen Produkts $A \times A$ ein Element der Menge $A$ zuordnet. Die Menge $A$ ist bezüglich der Verknüpfung $\star$ abgeschlossen.

Die Bezeichnung innere zweistellige Verknüpfung rührt daher, dass die Verknüpfung $\star$ vollständig innerhalb der Menge $A$ stattfindet: Es werden zwei Elemente der Menge $A$ zu einem Element derselben Menge $A$ verknüpft.

Innere zweistellige Verknüpfungen sind ein elementarer Bestandteil von algebraischen Strukturen und spielen beispielsweise bei Magmen, Halbgruppen, Monoiden, Gruppen, Ringen und Körpern eine wichtige Rolle.

Äußere zweistellige Verknüpfung erster Art

Bei einer äußeren zweistelligen Verknüpfung erster Art auf der Menge $A$ handelt es sich um eine Abbildung $\star: A \times B \rightarrow A$ (eine Rechtsoperation) oder eine Abbildung $\diamond: B \times A \rightarrow A$ (eine Linksoperation), die ein Element der Menge $A$ und ein Element der Menge $B$ zu einem Element der Menge $A$ verknüpft.

Da es sich bei der Menge $B$ nicht zwingend um eine Teilmenge der Menge $A$ handelt – und somit die Abbildungen $\star$ bzw. $\diamond$ die Elemente der Menge $A$ mit Elementen außerhalb der Menge $A$ verknüpfen – wird von einer äußeren zweistelligen Verknüpfung gesprochen.

Äußere zweistellige Verknüpfung zweiter Art

Bei einer äußeren zweistelligen Verknüpfung zweiter Art auf der Menge $A$ handelt es sich um eine Abbildung $\star: A \times A \rightarrow C$. Die Menge \(A\) muss hierbei bezüglich der Verknüpfung \(\star\) nicht abgeschlossen sein; \(C \not\subseteq A\) ist explizit zugelassen.

Bei jeder inneren zweistelligen Verknüpfung handelt es sich implizit auch um eine äußere zweistellige Verknüpfung zweiter Art.

Beispiele

Natürliche Zahlen

• Bei der Addition und Multiplikation von natürlichen Zahlen handelt es sich um innere zweistellige Verknüpfungen.
• Bei der Subtraktion von natürlichen Zahlen handelt es sich nicht um eine innere Verknüpfung, da diese nicht abgeschlossen ist.

Ganze Zahlen

• Bei der Addition, Subtraktion und Multiplikation von ganzen Zahlen handelt es sich um innere zweistellige Verknüpfungen.
• Bei der Division von ganzen Zahlen handelt es sich nicht um eine innere Verknüpfung, da diese nicht abgeschlossen ist.

Rationale, reelle und komplexe Zahlen

• Bei der Addition, Subtraktion und Multiplikation von rationalen Zahlen handelt es sich um innere zweistellige Verknüpfungen.
• Dasselbe gilt für die Division von rationalen Zahlen ohne Null.
• Dies gilt analog auch für reelle und komplexe Zahlen.

Restklassen

• Bei der Addition, Subtraktion und Multiplikation von Restklassen handelt es sich um innere zweistellige Verknüpfungen.

Vektoren

• Bei der Vektoraddition und -subtraktion handelt es sich um innere zweistellige Verknüpfungen.
• Beim Kreuzprodukt von Vektoren handelt es sich um eine innere zweistellige Verknüpfung.
• Bei der skalaren Multiplikation von Vektoren handelt es sich um eine äußere zweistellige Verknüpfung erster Art.
• Beim Skalarprodukt handelt es sich um eine äußere zweistellige Verknüpfung zweiter Art.

Matrizen

• Bei der Matrizenaddition und -subtraktion handelt es sich um innere zweistellige Verknüpfungen auf Matrizen.
• Bei der Matrizenmultiplikation handelt es sich um eine zweistellige Verknüpfung.
• Bei der skalaren Multiplikation von Matrizen handelt es sich um eine äußere zweistellige Verknüpfung erster Art.

Polynome

• Bei der Polynomaddition, -subtraktion und -multiplikation handelt es sich um innere zweistellige Verknüpfungen auf Polynomen.
• Bei der Polynomdivision handelt es sich nicht um eine zweistellige Verknüpfung, da diese im Allgemeinen zwei Polynome als Ergebnis liefert.

Mengen

• Für eine beliebige Menge \(M\) und Teilmengen \(A,B \subseteq M\) handelt es sich beim Schnitt \(A \cap B\), bei der Vereinigung \(A \cup B\), bei der Exklusion \(A \setminus B\) und bei der symmetrischen Differenz \(A \triangle B\) um innere zweistellige Verknüpfungen auf der Potenzmenge \(\mathcal{P}(M)\).
• Beim kartesischen Produkt von zwei Mengen handelt es sich um eine zweistellige Verknüpfung.

Funktionen

• Bei der Komposition \(\circ\) von Funktionen handelt es sich um eine innere zweistellige Verknüpfung.