Zweistellige Verknüpfung

Eine zweistellige Verknüpfung (auch binäre Verknüpfung) ist eine Verknüpfung, die zwei Elemente zu einem neuen Element verknüpft. Die verknüpften Elemente werden hierbei als Operanden bezeichnet; die Verknüpfung selbst wird Operation genannt.

Zweistellige Verknüpfungen treten insbesondere in der Algebra recht häufig auf. Der Zusatz zweistellig kann in vielen Fällen weggelassen werden, so dass oft nur von Verknüpfungen gesprochen wird. Typische Beispiele sind die elementaren arithmetischen Operationen der Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division.

Definitionen

Zweistellige Verknüpfung

Gegeben seien Mengen $A$, $B$ und $C$ sowie eine Abbildung $\star: A \times B \rightarrow C$, die die Elemente des kartesischen Produkts $A \times B$ auf die Elemente aus $C$ abbildet. Die Abbildung \(\star\) wird zweistellige Verknüpfung genannt und darüber hinaus

• als innere zweistellige Verknüpfung bezeichnet, falls $A=B=C$ gilt;
• als äußere zweistellige Verknüpfung erster Art bezeichnet, falls $A=C$ oder $B=C$ gilt;
• als äußere zweistellige Verknüpfung zweiter Art bezeichnet, falls $A=B$ gilt.

Innere zweistellige Verknüpfung

Eine innere zweistellige Verknüpfung auf einer Menge $A$ ist eine zweistellige Abbildung $\star: A \times A \rightarrow A$, die jedem Element des kartesischen Produkts $A \times A$ ein Element der Menge $A$ zuordnet. Die Menge $A$ ist bezüglich der Verknüpfung $\star$ abgeschlossen.

Die Bezeichnung innere zweistellige Verknüpfung rührt daher, dass die Verknüpfung $\star$ vollständig innerhalb der Menge $A$ stattfindet: Es werden zwei Elemente der Menge $A$ zu einem Element derselben Menge $A$ verknüpft.

Innere zweistellige Verknüpfungen sind ein elementarer Bestandteil von algebraischen Strukturen und spielen beispielsweise bei Magmen, Halbgruppen, Monoiden, Gruppen, Ringen und Körpern eine wichtige Rolle.

Äußere zweistellige Verknüpfung erster Art

Bei einer äußeren zweistelligen Verknüpfung erster Art auf der Menge $A$ handelt es sich um eine Abbildung $\star: A \times B \rightarrow A$ (eine Rechtsoperation) oder eine Abbildung $\diamond: B \times A \rightarrow A$ (eine Linksoperation), die ein Element der Menge $A$ und ein Element der Menge $B$ zu einem Element der Menge $A$ verknüpft.

Da es sich bei der Menge $B$ nicht zwingend um eine Teilmenge der Menge $A$ handelt – und somit die Abbildungen $\star$ bzw. $\diamond$ die Elemente der Menge $A$ mit Elementen außerhalb der Menge $A$ verknüpfen – wird von einer äußeren zweistelligen Verknüpfung gesprochen.

Äußere zweistellige Verknüpfung zweiter Art

Bei einer äußeren zweistelligen Verknüpfung zweiter Art auf der Menge $A$ handelt es sich um eine Abbildung $\star: A \times A \rightarrow C$. Die Menge \(A\) muss hierbei bezüglich der Verknüpfung \(\star\) nicht abgeschlossen sein; \(C \not\subseteq A\) ist explizit zugelassen.

Bei jeder inneren zweistelligen Verknüpfung handelt es sich implizit auch um eine äußere zweistellige Verknüpfung zweiter Art.

Beispiele

Natürliche Zahlen

Für die Verknüpfungen von natürlichen Zahlen gilt:

• Bei der natürlichen Addition und der natürlichen Multiplikation handelt es sich um innere zweistellige Verknüpfungen.
• Bei der natürlichen Subtraktion handelt es sich nicht um eine innere Verknüpfung, da diese nicht abgeschlossen ist.

Ganze Zahlen

Für die Verknüpfungen von ganzen Zahlen gilt:

• Bei der ganzzahligen Addition, der ganzzahligen Subtraktion und der ganzzahligen Multiplikation handelt es sich um innere zweistellige Verknüpfungen.
• Bei der ganzzahligen Division handelt es sich nicht um eine innere Verknüpfung, da diese nicht abgeschlossen ist.

Rationale Zahlen

Für die Verknüpfungen von rationalen Zahlen gilt:

• Bei der rationalen Addition, der rationalen Subtraktion und der rationalen Multiplikation handelt es sich um innere zweistellige Verknüpfungen.
• Dasselbe gilt bei Weglassen der Null ebenfalls für die rationale Division.

Reelle Zahlen

Für die Verknüpfungen von reellen Zahlen gilt:

• Bei der reellen Addition, der reellen Subtraktion und der reellen Multiplikation handelt es sich um innere zweistellige Verknüpfungen.
• Dasselbe gilt bei Weglassen der Null ebenfalls für die reelle Division.

Komplexe Zahlen

Für die Verknüpfungen von komplexen Zahlen gilt:

• Bei der komplexen Addition, der komplexen Subtraktion und der komplexen Multiplikation handelt es sich um innere zweistellige Verknüpfungen.
• Dasselbe gilt bei Weglassen der Null ebenfalls für die komplexe Division.

Restklassen

Für die Verknüpfungen von Restklassen gilt:

• Bei der Restklassenaddition, der Restklassensubtraktion und der Restklassenmultiplikation handelt es sich um innere zweistellige Verknüpfungen.

Vektoren

Für die Verknüpfungen von Vektoren gilt:

• Bei der Vektoraddition und der Vektorsubtraktion handelt es sich um innere zweistellige Verknüpfungen.
• Bei der skalaren Multiplikation von Vektoren handelt es sich um eine äußere zweistellige Verknüpfung erster Art.
• Beim Kreuzprodukt von Vektoren handelt es sich um eine innere zweistellige Verknüpfung.
• Beim Skalarprodukt handelt es sich um eine äußere zweistellige Verknüpfung zweiter Art.

Matrizen

Für die Verknüpfungen von Matrizen gilt:

• Bei der Matrizenaddition und der Matrizensubtraktion handelt es sich um innere zweistellige Verknüpfungen.
• Bei der Matrizenmultiplikation handelt es sich um eine zweistellige Verknüpfung.
• Bei der skalaren Multiplikation von Matrizen handelt es sich um eine äußere zweistellige Verknüpfung erster Art.

Polynome

Für die Verknüpfungen von Polynomen gilt:

• Bei der Polynomaddition, der Polynomsubtraktion und der Polynommultiplikation handelt es sich um innere zweistellige Verknüpfungen.
• Bei der Polynomdivision handelt es sich nicht um eine zweistellige Verknüpfung, da diese im Allgemeinen zwei Polynome als Ergebnis liefert.

Mengen

Für die Verknüpfungen von Mengen gilt:

• Für eine beliebige Menge \(M\) und Teilmengen \(A,B \subseteq M\) handelt es sich beim Schnitt \(A \cap B\), bei der Vereinigung \(A \cup B\), bei der Exklusion \(A \setminus B\) und bei der symmetrischen Differenz \(A \triangle B\) um innere zweistellige Verknüpfungen auf der Potenzmenge \(\mathcal{P}(M)\).
• Beim kartesischen Produkt von zwei Mengen handelt es sich um eine zweistellige Verknüpfung.

Funktionen

Für die Verknüpfungen von Funktionen gilt:

• Bei der Komposition \(\circ\) von Funktionen handelt es sich um eine innere zweistellige Verknüpfung.