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Subtraktion von rationalen Zahlen

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Definition
Beispiele
Eigenschaften

Definition

Gegeben seien zwei rationale Zahlen $r_1 = \frac{a}{b}$ sowie $r_2 = \frac{c}{b}$ (mit $a,b,c \in \Z$), die denselben Nenner besitzen. Für die Differenz dieser beiden Zahlen gilt:

r_1 - r_2 = \frac{a}{b} - \frac{c}{b} = \frac{a-c}{b}

Besitzen die rationalen Zahlen $r_1 = \frac{a}{b}$ sowie $r_2 = \frac{c}{d}$ (mit $a,b,c,d \in \Z$) verschiedene Nenner, so müssen diese zunächst auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden, bevor sie subtrahiert werden können. Einen gemeinsamen Nenner erhält man beispielsweise als Produkt der Nenner der beiden rationalen Zahlen.

r_1 - r_2 = \frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{ad}{bd} - \frac{bc}{bd} = \frac{ad-bc}{bd}

Anstelle des Produkts $bd$ kann auch jedes andere gemeinsame Vielfache der Nenner von $r_1$ und $r_2$ verwendet werden, beispielsweise das kleinste gemeinsame Vielfache.

Beispiele

Beispiel 1

Es seien $r_1 = \frac{1}{2}$ und $r_2 = \frac{1}{3}$. Da die Nenner verschieden sind, müssen $r_1$ und $r_2$ zunächst auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden. Ein gemeinsamer Nenner ist beispielsweise das Produkt der Nenner von $r_1$ und $r_2$.

r_1 - r_2 = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 3} = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{3 - 2}{6} = \frac{1}{6}

Beispiel 2

Es seien $r_1 = \frac{1}{2}$ und $r_2 = \frac{1}{4}$. Die Nenner von $r_1$ und $r_2$ sind verschieden, aber der Nenner von $r_2$ ist ein Vielfaches des Nenners von $r_1$. In diesem Fall bietet es sich an, den Nenner von $r_2$ als gemeinsamen Nenner zu verwenden.

r_1 - r_2 = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4} - \frac{1}{4} = \frac{2 - 1}{4} = \frac{1}{4}

Beispiel 3

Es seien $r_1 = \frac{1}{3}$, $r_2 = \frac{3}{4}$ und $r_3 = \frac{2}{5}$. Analog zur Subtraktion von zwei rationalen Zahlen werden $r_1$, $r_2$ und $r_3$ zunächst auf einen gemeinsamen Nenner gebracht und anschließend subtrahiert.

r_1 - r_2 - r_3 = \frac{1}{3} - \frac{3}{4} - \frac{2}{5} = \frac{20}{60} - \frac{45}{60} - \frac{24}{60} = \frac{20-45-24}{60} = -\frac{49}{60}

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Eigenschaften

Nichtassoziativität

Die Subtraktion von rationalen Zahlen ist im Allgemeinen nicht assoziativ, wie das folgende Beispiel zeigt:

\begin{align*} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) - \frac{1}{4} &= \left( \frac{6}{12} - \frac{4}{12} \right) - \frac{3}{12} = \frac{2}{12} - \frac{3}{12} = -\frac{1}{12} \\[0.5em] \frac{1}{2} - \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) &= \frac{6}{12} - \left( \frac{4}{12} - \frac{3}{12} \right) = \frac{6}{12} - \frac{1}{12} = \frac{5}{12} \end{align*}

Nichtkommutativität

Die Subtraktion von rationalen Zahlen ist im Allgemeinen nicht kommutativ, wie das folgende Beispiel zeigt:

\begin{align*} \frac{1}{2} - \frac{1}{3} &= \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6} \\[0.5em] \frac{1}{3} - \frac{1}{2} &= \frac{2}{6} - \frac{3}{6} = -\frac{1}{6} \end{align*}

Neutrales Element

Es existiert kein neutrales Element bzgl. der Subtraktion von rationalen Zahlen.

Inverses Element

Ein inverses Element zu einer rationalen Zahl $r \in \Q$ bzgl. der Subtraktion existiert im Allgemeinen nicht.