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Differenz von Mengen

Bei der Differenz von zwei Mengen handelt es sich um alle Elemente, die in der ersten, aber nicht in der zweiten Menge enthalten sind.

Definition

Gegeben seien zwei Mengen $A$ und $B$. Bei der Differenz $A \setminus B$ handelt es sich um die Menge aller Elemente, die in der Menge $A$, aber nicht in der Menge $B$ enthalten sind:

A \setminus B = \Bigl\{ x \mid x \in A \text{ und } x \notin B \Bigr\}.

Darstellung der Differenz von zwei Mengen — Darstellung der Differenz $A \setminus B$

Beispiele

Beispiel 1

Gegeben seien die beiden Mengen $A = \bigl\{1,2,3\bigr\}$ und $B = \bigl\{2,3,4\bigr\}$. Die Differenz $A \setminus B$ enthält alle Elemente, die in $A$, aber nicht in $B$ enthalten sind:

A \setminus B = \Bigl\{ 1,2,3 \Bigr\} \setminus \Bigl\{ 2,3,4 \Bigr\} = \Bigl\{ 1 \Bigr\}

Analog enthält die Differenz $B \setminus A$ alle Elemente, die in $B$, aber nicht in $A$ enthalten sind:

B \setminus A = \Bigl\{ 2,3,4 \Bigr\} \setminus \Bigl\{ 1,2,3 \Bigr\} = \Bigl\{ 4 \Bigr\}

Beispiel 2

Gegeben seien die Mengen $A = \bigl\{a,b,c\bigr\}$ und $B = \emptyset$. Da $B$ die leere Menge ist, entspricht die Differenz $A \setminus B$ der Menge $A$ selbst:

A \setminus B = \Bigl\{ a,b,c \Bigr\} \setminus \emptyset = \Bigl\{ a,b,c \Bigr\} = A.

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Eigenschaften

Assoziativität

Die Differenz $\setminus$ ist nicht assoziativ. Für Mengen $A$, $B$ und $C$ gilt im Allgemeinen:

\bigl( A \setminus B \bigr) \setminus C \neq A \setminus \bigl( B \setminus C \bigr).

Die Nichtassoziativität der Differenz von Mengen kann leicht mithilfe eines Gegenbeispiels gezeigt werden. Gegeben seien die folgenden Mengen:

\begin{align*} A &= \Bigl\{ 1,2,3 \Bigr\} \\[0.5em] B &= \Bigl\{ 2,3 \Bigr\} \\[0.5em] C &= \Bigl\{ 3 \Bigr\}. \end{align*}

Für die Mengen $A$, $B$ und $C$ gilt

\begin{align*} \bigl( A \setminus B \bigr) \setminus C &= \Bigl\{ 1 \Bigr\} \\[0.5em] A \setminus \bigl( B \setminus C \bigr) &= \Bigl\{ 1,3 \Bigr\}, \end{align*}

woraus unmittelbar die Nichtassoziativität der Differenz von Mengen folgt.

Kommutativität

Die Differenz $\setminus$ ist nicht kommutativ. Für Mengen $A$ und $B$ gilt im Allgemeinen:

A \setminus B \neq B \setminus A.

Die Nichtkommutativität der Differenz von Mengen kann leicht mithilfe eines Gegenbeispiels gezeigt werden. Gegeben seien die folgenden Mengen:

\begin{align*} A &= \Bigl\{ 1,2 \Bigr\} \\[0.5em] B &= \Bigl\{ 1 \Bigr\}. \end{align*}

Für die Mengen $A$ und $B$ gilt

\begin{align*} A \setminus B &= \Bigl\{ 2 \Bigr\} \\[0.5em] B \setminus A &= \emptyset, \end{align*}

woraus unmittelbar die Nichtkommutativität der Differenz von Mengen folgt.

Neutrales Element

Es existiert kein neutrales Element bezüglich der Differenz $\setminus$ von Mengen. Die leere Menge $\emptyset$ ist rechtsneutral, aber nicht linksneutral:

A \setminus \emptyset = A.

Inverse Elemente

Eine Menge $A$ ist bezüglich der Differenz $\setminus$ zu sich selbst (rechts-)invers. Es gilt:

A \setminus A = \emptyset.

Absorbierendes Element

Bei der leeren Menge $\emptyset$ handelt es sich um ein linksabsorbierendes Element der Differenz $\setminus$ von Mengen. Für eine Menge $A$ gilt:

\emptyset \setminus A = \emptyset.

Identitäten

Für Mengen $A$, $B$ und $C$ gelten die folgenden Identitäten:

\begin{align*} A \setminus \bigl( B \cap C \bigr) &= \bigl( A \setminus B \bigr) \cup \bigl( A \setminus C \bigr) \\[0.5em] A \setminus \bigl( B \cup C \bigr) &= \bigl( A \setminus B \bigr) \cap \bigl( A \setminus C \bigr) \\[1.5em] A \setminus \bigl( B \setminus C \bigr) &= \bigl( A \cap C \bigr) \cup \bigl( A \setminus B \bigr) \\[0.5em] A \setminus \bigl( A \setminus C \bigr) &= A \cap C \\[1.5em] \bigl( A \setminus B \bigr) \cap C &= \bigl( A \cap C \bigr) \setminus B \\[0.5em] &= A \cap \bigl( C \setminus B \bigr) \\[0.5em] \bigl( A \setminus B \bigr) \cup C &= \bigl( A \cup C \bigr) \setminus \bigl( B \setminus C \bigr) \end{align*}

Darüber hinaus gelten für Mengen $A$, $B$ und $C$ die folgenden Teilmengenbeziehungen:

\begin{align*} A \subset B &\Rightarrow C \setminus B \subset C \setminus A \\[0.5em] A \setminus B \subseteq C &\Leftrightarrow A \setminus C \subseteq B \end{align*}