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Absorbierendes Element

Bei einem absorbierenden Element handelt es sich um ein spezielles Element einer algebraischen Struktur, das die besondere Eigenschaft besitzt, dass jedes Element durch die Verknüpfung mit dem absorbierenden Element stets auf das absorbierende Element abgebildet wird.

Inhalt

Definition
Eigenschaften
Beispiele

Definition

Sei $\mathcal{M} = (M, \star)$ ein Magma, d. h. eine Menge $M$ mit einer darauf definierten inneren zweistelligen Verknüpfung $\star$. Ein Element $o \in M$ heißt

linksabsorbierend (bezüglich der Verknüpfung $\star$), falls gilt: $\forall a \in M: o \star a = o.$
rechtsabsorbierend (bezüglich der Verknüpfung $\star$), falls gilt: $\forall a \in M: a \star o = o.$
absorbierend (bezüglich der Verknüpfung $\star$), falls es links- und rechtsabsorbierend ist, d. h. falls gilt: $\forall a \in M: o \star a = o = a \star o.$

Eigenschaften

Gleichheit von links- und rechtsabsorbierenden Elementen

Besitzt ein Magma $\mathcal{M} = \bigl(M,\star\bigr)$ sowohl links- als auch rechtsabsorbierende Elemente, dann stimmen diese Elemente stets überein. Seien $o_{\ell} \in M$ ein linksabsorbierendes Element und $o_r \in M$ ein rechtsabsorbierendes Element. Dann gilt $o_{\ell} \star a = o_{\ell}$ sowie $a \star o_r = o_r$ für alle $a \in M$. Hieraus folgt insbesondere

o_{\ell} = o_{\ell} \star o_r = o_r,

woraus sich unmittelbar die Gleichheit $o_{\ell} = o_r$ ergibt.

Eindeutigkeit des absorbierenden Elements

In einem Magma $\bigl(M,\star\bigr)$ existiert höchstens ein absorbierendes Element $o \in M$. Angenommen, $o_1, o_2 \in M$ seien absorbierende Elemente. Dann sind $o_1$ und $o_2$ sowohl links- als auch rechtsabsorbierend, woraus sich die Gleichheit $o_1=o_2$ wie folgt ergibt:

o_1 = o_1 \star o_2 = o_2.

Idempotenz

Sei $\mathcal{M} = \bigl(M,\star\bigr)$ ein Magma. Ein links- oder rechtsabsorbierendes Element $o \in M$ ist stets idempotent, denn es gilt:

o = o \star o.

Absorbierende Elemente und Gruppen

In einer Gruppe $\mathcal{G}=\bigl(G,\star\bigr)$ mit mindestens zwei Elementen $a,b \in G$ kann kein (links-/rechts-)absorbierendes Element $o \in G$ existieren, da die Gleichungen $o \star x = o$ bzw. $x \star o = o$ sonst mindestens die beiden Lösungen $a$ und $b$ hätten – im direkten Widerspruch zur eindeutigen Lösbarkeit von Gleichungen in Gruppen.

Beispiele

Bei den folgenden Beispielen handelt es sich um einige exemplarische absorbierende Elemente:

Bei der Zahl $0$ handelt es sich um das absorbierende Element der Multiplikation von natürlichen, ganzen, rationalen, reellen und komplexen Zahlen.
Bei der Restklasse ${[0]}_m$ handelt es sich um das absorbierende Element der Multiplikation von Restklassen modulo $m$.
Bei der Tautologie (immer wahre Aussage) handelt es sich um das absorbierende Element der Disjunktion $\vee$.
Bei der Kontradiktion (immer falsche Aussage) handelt es sich um das absorbierende Element der Konjunktion $\wedge$.
Bei der leeren Menge $\emptyset$ handelt es sich um das absorbierende Element des Schnitts $\cap$ von Mengen.
Bei der Menge $A$ handelt es sich um das absorbierende Element der Vereinigung $\cup$ von Teilmengen von $A$.