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Symmetrische Differenz von Mengen

Bei der symmetrischen Differenz von zwei Mengen handelt es sich um diejenigen Elemente, die in exakt einer der beiden Mengen vorkommen.

Inhalt

Definition

Gegeben seien zwei Mengen $A$ und $B$. Bei der symmetrischen Differenz $A \mathop{\triangle} B$ handelt es sich um die Menge aller Elemente, die entweder nur in der Menge $A$ oder nur in der Menge $B$ enthalten sind:

\begin{align*} A \mathop{\triangle} B &= \bigl( A \setminus B \bigr) \cup \bigl( B \setminus A \bigr) \\[0.5em] &= \Bigl\{ x \mid \bigl(x \in A \text{ und } x \notin B\bigr) \text{ oder } \bigl(x \notin A \text{ und } x \in B\bigr) \Bigr\}. \end{align*}
Darstellung der symmetrischen Differenz von zwei Mengen
Darstellung der symmetrischen Differenz \(A \mathop{\triangle} B\)

Alternativ kann die symmetrische Differenz auch wie folgt definiert werden:

\begin{align*} A \mathop{\triangle} B &= \bigl( A \cup B \bigr) \setminus \bigl( A \cap B \bigr) \\[0.5em] &= \Bigl\{ x \mid \bigl(x \in A \text{ oder } x \in B \bigr) \text{ und } x \notin A \cap B \Bigr\}. \end{align*}

Beispiele

Beispiel 1

Gegeben seien die beiden Mengen $A = \bigl\{1,2,3\bigr\}$ und $B = \bigl\{2,3,4\bigr\}$. Die symmetrische Differenz $A \mathop{\triangle} B$ enthält alle Elemente, die entweder nur in $A$ oder nur in $B$ enthalten sind:

\[ A \mathop{\triangle} B = \Bigl\{ 1,2,3 \Bigr\} \mathop{\triangle} \Bigl\{ 2,3,4 \Bigr\} = \Bigl\{ 1,4 \Bigr\} \]

Beispiel 2

Gegeben seien die Mengen $A = \bigl\{a,b,c\bigr\}$ und $B = \emptyset$. Da $B$ die leere Menge ist, entspricht die symmetrische Differenz $A \mathop{\triangle} B$ der Menge $A$ selbst:

\[ A \mathop{\triangle} B = \Bigl\{ a,b,c \Bigr\} \mathop{\triangle} \emptyset = \Bigl\{ a,b,c \Bigr\} = A. \]

Eigenschaften

Assoziativität

Die symmetrische Differenz \(\triangle\) ist assoziativ. Für Mengen $A$, $B$ und $C$ gilt:

\[ \bigl( A \mathop{\triangle} B \bigr) \mathop{\triangle} C = A \mathop{\triangle} \bigl( B \mathop{\triangle} C \bigr) = A \mathop{\triangle} B \mathop{\triangle} C. \]

Kommutativität

Die symmetrische Differenz \(\triangle\) ist kommutativ. Für Mengen $A$ und $B$ gilt:

\[ A \mathop{\triangle} B = B \mathop{\triangle} A. \]

Neutrales Element

Bei der leeren Menge $\emptyset$ handelt es sich um das neutrale Element der symmetrischen Differenz \(\triangle\). Für eine Menge \(A\) gilt:

\[ \emptyset \mathop{\triangle} A = A = A \mathop{\triangle} \emptyset. \]

Inverse Elemente

Eine Menge \(A\) ist bezüglich der symmetrischen Differenz \(\triangle\) zu sich selbst invers. Es gilt:

\[ A \mathop{\triangle} A = \emptyset. \]