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Aufgaben

Aufgaben zum Untersuchen von Eigenschaften von Relationen

Zum Nachlesen: Antisymmetrie, Antitransitivität, Asymmetrie, Irreflexivität, Reflexivität, Symmetrie, Transitivität

Der interaktive Aufgabengenerator zum Thema Untersuchen von Eigenschaften von Relationen erstellt dir eine unbegrenzte Anzahl an individuell anpassbaren Aufgaben und unterstützt dich dabei, diese zu bearbeiten und zu lösen – unter anderem durch ausführliche und verständliche Musterlösungen. Darüber hinaus ist dieselbe Unterstützung auch für deine eigenen Aufgaben verfügbar.

Aufgabe 1 von 2

Gegeben sei die Menge \(A = \left\{ 1, 2, 3, 4 \right\}\) sowie eine auf dieser Menge definierte Relation \(R \subseteq A \times A\).

\[R=\left\{ \left( 1, 1 \right), \left( 1, 4 \right), \left( 2, 1 \right), \left( 2, 2 \right), \left( 2, 3 \right), \left( 2, 4 \right), \left( 3, 3 \right), \left( 4, 4 \right) \right\}\]

Entscheide, ob die Relation symmetrisch, antisymmetrisch, asymmetrisch, reflexiv, irreflexiv, transitiv oder antitransitiv ist.

Überprüfung auf Symmetrie

Die Relation ist nicht symmetrisch, da es Verletzungen der Symmetriebedingung gibt:

  • Es gilt \((2, 1) \in R\) und \((1, 2) \notin R\).
  • Es gilt \((2, 3) \in R\) und \((3, 2) \notin R\).
  • Es gilt \((1, 4) \in R\) und \((4, 1) \notin R\).
  • Es gilt \((2, 4) \in R\) und \((4, 2) \notin R\).
Überprüfung auf Antisymmetrie

Die Relation ist antisymmetrisch, da es keine Verletzung der Antisymmetriebedingung gibt: Es existiert kein Element \((\alpha_1,\alpha_2) \in R\) mit \(\alpha_1 \neq \alpha_2\), für das \((\alpha_2, \alpha_1) \in R\) gilt.

Überprüfung auf Asymmetrie

Die Relation ist nicht asymmetrisch, da es Verletzungen der Asymmetriebedingung gibt:

  • Es gilt \((1, 1) \in R\).
  • Es gilt \((2, 2) \in R\).
  • Es gilt \((3, 3) \in R\).
  • Es gilt \((4, 4) \in R\).
Überprüfung auf Reflexivität

Die Relation ist reflexiv, da es keine Verletzung der Reflexivitätsbedingung gibt: Es existiert kein Element \(\alpha \in A\), für das \((\alpha, \alpha) \notin R\) gilt.

Überprüfung auf Irreflexivität

Die Relation ist nicht irreflexiv, da es Verletzungen der Irreflexivitätsbedingung gibt:

  • Es gilt \((1, 1) \in R\).
  • Es gilt \((2, 2) \in R\).
  • Es gilt \((3, 3) \in R\).
  • Es gilt \((4, 4) \in R\).
Überprüfung auf Transitivität

Die Relation ist transitiv, da es keine Verletzung der Transitivitätsbedingung gibt: Es existieren keine Elemente \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 \in A\) mit \((\alpha_1, \alpha_2) \in R\) und \((\alpha_2, \alpha_3) \in R\), für die \((\alpha_1, \alpha_3) \notin R\) gilt.

Überprüfung auf Antitransitivität

Die Relation ist nicht antitransitiv, da es Verletzungen der Antitransitivitätsbedingung gibt:

  • Es gilt \((1, 1) \in R\).
  • Es gilt \((2, 1) \in R\) und \((1, 4) \in R\), aber ebenso \((2, 4) \in R\).
  • Es gilt \((2, 2) \in R\).
  • Es gilt \((3, 3) \in R\).
  • Es gilt \((4, 4) \in R\).