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Aufgaben

Untersuchen von Eigenschaften von Relationen – Interaktiver Aufgabengenerator mit Musterlösungen

Artikel zum Nachlesen: Antisymmetrische Relation (Antisymmetrie), Antitransitive Relation (Antitransitivität), Asymmetrische Relation (Asymmetrie), Irreflexive Relation (Irreflexivität), Reflexive Relation (Reflexivität), Symmetrische Relation (Symmetrie), Transitive Relation (Transitivität)

Der interaktive Aufgabengenerator zum Thema Untersuchen von Eigenschaften von Relationen erzeugt dir eine unbegrenzte Anzahl an individuell anpassbaren Übungsaufgaben und Beispielen. Er unterstützt dich dabei, diese zu lösen und das Thema ausgiebig zu üben. Hierzu erstellt der Generator für jede Aufgabe eine ausführliche, verständliche Musterlösung und bietet dir zudem die Möglichkeit, deine eigenen Lösungen direkt zu überprüfen. Sämtliche Hilfestellungen stehen sowohl für die freien Beispiele als auch für generierte und eigene Aufgaben im vollen Umfang zur Verfügung.

Aufgabe erstellen

Beispielaufgaben

Beispielaufgaben

Aufgabe 1 von 2

Gegeben sei die Menge $ A = \left\{1, 2, 3, 4\right\}$ sowie eine auf dieser Menge definierte Relation $R \subseteq A \times A$.

\[R=\left\{\left(1, 1\right), \left(1, 4\right), \left(2, 1\right), \left(2, 2\right), \left(2, 3\right), \left(2, 4\right), \left(3, 3\right), \left(4, 4\right)\right\}\]

Entscheide, ob die Relation symmetrisch, antisymmetrisch, asymmetrisch, reflexiv, irreflexiv, transitiv oder antitransitiv ist.

Aufgabengenerator

Aufgabengenerator

Konfiguration anpassen
 – 
 – 
Eigene Aufgabe

Eigene Aufgabe verwenden

Gib zunächst die Menge $A$ sowie die auf dieser Menge definierte Relation $R \subseteq A \times A$ ein.

\[A=\]
$\emptyset$
\[R=\]
$\emptyset$

Entscheide, auf welche Eigenschaften die Relation überprüft werden sollen.

Symmetrie

Reflexivität

Transitivität

Zusammengesetzt

Aufgabe lösen

Musterlösung

Musterlösung

Überprüfung auf Symmetrie

Die Relation ist nicht symmetrisch, da es Verletzungen der Symmetriebedingung gibt:

  • Es gilt $(2, 1) \in R$ und $(1, 2) \notin R$.
  • Es gilt $(2, 3) \in R$ und $(3, 2) \notin R$.
  • Es gilt $(1, 4) \in R$ und $(4, 1) \notin R$.
  • Es gilt $(2, 4) \in R$ und $(4, 2) \notin R$.
Überprüfung auf Antisymmetrie

Die Relation ist antisymmetrisch , da es keine Verletzung der Antisymmetriebedingung gibt: Es existiert kein Element $(\alpha_1,\alpha_2) \in R$ mit $\alpha_1 \neq \alpha_2$, für das $(\alpha_2, \alpha_1) \in R$ gilt.

Überprüfung auf Asymmetrie

Die Relation ist nicht asymmetrisch, da es Verletzungen der Asymmetriebedingung gibt:

  • Es gilt $(1, 1) \in R$.
  • Es gilt $(2, 2) \in R$.
  • Es gilt $(3, 3) \in R$.
  • Es gilt $(4, 4) \in R$.
Überprüfung auf Reflexivität

Die Relation ist reflexiv, da es keine Verletzung der Reflexivitätsbedingung gibt: Es existiert kein Element $\alpha \in A$, für das $(\alpha, \alpha) \notin R$ gilt.

Überprüfung auf Irreflexivität

Die Relation ist nicht irreflexiv, da es Verletzungen der Irreflexivitätsbedingung gibt:

  • Es gilt $(1, 1) \in R$.
  • Es gilt $(2, 2) \in R$.
  • Es gilt $(3, 3) \in R$.
  • Es gilt $(4, 4) \in R$.
Überprüfung auf Transitivität

Die Relation ist transitiv, da es keine Verletzung der Transitivitätsbedingung gibt: Es existieren keine Elemente $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 \in A$ mit $(\alpha_1, \alpha_2) \in R$ und $(\alpha_2, \alpha_3) \in R$, für die $(\alpha_1, \alpha_3) \notin R$ gilt.

Überprüfung auf Antitransitivität

Die Relation ist nicht antitransitiv, da es Verletzungen der Antitransitivitätsbedingung gibt:

  • Es gilt $(1, 1) \in R$.
  • Es gilt $(2, 1) \in R$ und $(1, 4) \in R$, aber ebenso $(2, 4) \in R$.
  • Es gilt $(2, 2) \in R$.
  • Es gilt $(3, 3) \in R$.
  • Es gilt $(4, 4) \in R$.
Lösung überprüfen

Eigene Lösung überprüfen

Symmetrie

Entscheide, ob die Relation symmetrisch oder nicht symmetrisch ist. Gib im Fall nicht symmetrisch ein Element an, das in der Relation fehlt und somit die Symmetriebedingung verletzt.

Antisymmetrie

Entscheide, ob die Relation antisymmetrisch oder nicht antisymmetrisch ist. Gib im Fall nicht antisymmetrisch ein Element an, das in der Relation enthalten ist und die Antisymmetriebedingung verletzt.

Asymmetrie

Entscheide, ob die Relation asymmetrisch oder nicht asymmetrisch ist. Gib im Fall nicht asymmetrisch ein Element an, das in der Relation enthalten ist und die Asymmetriebedingung verletzt.

Reflexivität

Entscheide, ob die Relation reflexiv oder nicht reflexiv ist. Gib im Fall nicht reflexiv ein Element an, das in der Relation fehlt und somit die Reflexivitätsbedingung verletzt.

Irreflexivität

Entscheide, ob die Relation irreflexiv oder nicht irreflexiv ist. Gib im Fall nicht irreflexiv ein Element an, das in der Relation enthalten ist und die Irreflexivitätsbedingung verletzt.

Transitivität

Entscheide, ob die Relation transitiv oder nicht transitiv ist. Gib im Fall nicht transitiv ein Element an, das in der Relation fehlt und somit die Transitivitätsbedingung verletzt.

Antitransitivität

Entscheide, ob die Relation antitransitiv oder nicht antitransitiv ist. Gib im Fall nicht antitransitiv ein Element an, das in der Relation enthalten ist und die Antitransitivitätsbedingung verletzt.