Irreflexive Relation (Irreflexivität)
Eine irreflexive Relation ist eine zweistellige Relation $R$ auf einer Menge, bei der für alle Elemente der Menge stets $(a,a) \notin R$ gilt. Diese Eigenschaft wird in der Mathematik auch Irreflexivität genannt. Sie ist eine der Voraussetzungen für strikte Ordnungsrelationen.
Eine mit der Irreflexivität eng verwandte Eigenschaft ist die Reflexivität.
Definition
Sei $A$ eine Menge und $R \subseteq A \times A$ eine auf dieser Menge definierte binäre Relation. Die Relation $R$ heißt irreflexiv, falls die folgende Eigenschaft gilt:
In Worten: Eine Relation ist genau dann irreflexiv, wenn kein Element der Menge in Relation mit sich selbst steht.
Diese Eigenschaft wird auch als Irreflexivität bezeichnet. Ist die Irreflexivitätsbedingung verletzt, so ist die Relation nicht irreflexiv.
Beispiele
Beispiel 1
Gegeben sei die Menge $A = \bigl\{ a,b,c,d \bigr\}$ sowie eine auf dieser Menge definierte zweistellige Relation $R_1$ mit
Die Relation $R_1$ ist irreflexiv, da für alle Elemente $x \in A$ stets $(x,x) \notin R_1$ gilt.
Beispiel 2
Gegeben sei die Menge $A = \bigl\{ a,b,c,d \bigr\}$ sowie eine auf dieser Menge definierte zweistellige Relation $R_2$ mit
Die Relation $R_2$ ist nicht irreflexiv, da die Irreflexivitätsbedingung verletzt ist:
- Es gilt $(a,a) \in R_2$.
- Es gilt $(b,b) \in R_2$.
Beispiele in der Mathematik
Gleichheit von Zahlen
Bei der Ungleichheit $\neq$ von natürlichen, ganzen, rationalen, reellen oder komplexen Zahlen handelt es sich um irreflexive Relationen.
Anordnen von Zahlen
Bei der Kleiner-Relation $\lt$ für natürliche, ganze, rationale oder reelle Zahlen handelt es sich um eine irreflexive Relation, da nie $a \lt a$ gilt. Dasselbe gilt analog für die Größer-Relation $\gt$. In beiden Fällen handelt es sich um strenge Totalordnungen.
Teilmenge
Die (echte) Teilmengenbeziehung $\subset$ ist irreflexiv. Für keine Menge $A$ gilt $A \subset A$. Mengen sind niemals eine echte Teilmenge von sich selbst. Es handelt sich bei der echten Teilmengenbeziehung um eine strenge Halbordnung.
Eigenschaften
Für irreflexive Relationen bzw. Irreflexivität gelten unter anderem die folgenden Eigenschaften:
- Eine Relation $R$ auf der Menge $A$ ist genau dann irreflexiv, wenn sie keine gemeinsamen Elemente mit der Identitätsrelation $\mathrm{I}_A$ enthält. \[ R \text{ ist irreflexiv} \Leftrightarrow R \cap \mathrm{I}_A = \emptyset \]
- Ist eine Relation $R$ irreflexiv, so ist die Umkehrrelation $R^{-1}$ ebenfalls irreflexiv.
- Ist eine Relation $R$ irreflexiv, so ist die komplementäre Relation $R^c$ reflexiv.
- Sind $R$ und $S$ irreflexive Relationen, so ist auch ihr Schnitt $R \cap S$ eine irreflexive Relation. Die Aussage gilt analog für den Schnitt von mehr als zwei Relationen.
- Die Relation auf der leeren Menge ist die einzige Relation, die sowohl reflexiv als auch irreflexiv ist.