Irreflexive Relation

Bei einer irreflexiven Relation handelt es sich um eine zweistellige Relation \(R\) auf einer Menge, bei der für alle Elemente der Menge stets \((a,a) \notin R\) gilt. Irreflexivität ist eine der Voraussetzungen für strikte Ordnungsrelationen.

Eine mit der Irreflexivität eng verwandte Eigenschaft von Relationen ist Reflexivität.

Definition

Sei \(A\) eine Menge und \(R \subseteq A \times A\) eine auf dieser Menge definierte zweistellige Relation. Die Relation \(R\) heißt irreflexiv, falls gilt:

Es steht folglich kein Element in Relation mit sich selbst.

Ist die Irreflexivitätsbedingung verletzt, so ist die Relation nicht irreflexiv.

Beispiele

Beispiel 1

Gegeben sei die Menge \(A = \bigl\{ a,b,c,d \bigr\}\) sowie eine auf dieser Menge definierte zweistellige Relation \(R_1\) mit

Die Relation \(R_1\) ist irreflexiv, da für alle Elemente \(x \in A\) stets \((x,x) \notin R_1\) gilt.

Beispiel 2

Gegeben sei die Menge \(A = \bigl\{ a,b,c,d \bigr\}\) sowie eine auf dieser Menge definierte zweistellige Relation \(R_2\) mit

Die Relation \(R_2\) ist nicht irreflexiv, da die Irreflexivitätsbedingung verletzt ist:

• Es gilt \((a,a) \in R_2\).
• Es gilt \((b,b) \in R_2\).

Beispiele in der Mathematik

Gleichheit von Zahlen

Bei der Ungleichheit \(\neq\) von natürlichen, ganzen, rationalen, reellen oder komplexen Zahlen handelt es sich um irreflexive Relationen.

Anordnen von Zahlen

Bei der Kleiner-Relation \(\lt\) von natürlichen, ganzen, rationalen oder reellen Zahlen handelt es sich um irreflexive Relationen, da nie \(a \lt a\) gilt. Dasselbe gilt analog für die Größer-Relation \(\gt\). In beiden Fällen handelt es sich um strenge Totalordnungen.

Teilmenge

Die (echte) Teilmengenbeziehung \(\subset\) ist irreflexiv. Für keine Menge \(A\) gilt \(A \subset A\). Mengen sind niemals eine echte Teilmenge von sich selbst. Es handelt sich bei der echten Teilmengenbeziehung um eine strenge Halbordnung.

Eigenschaften

Für irreflexive Relationen gelten unter anderem die folgenden Eigenschaften:

• Eine Relation \(R\) auf der Menge \(A\) ist genau dann irreflexiv, wenn sie keine gemeinsamen Elemente mit der Identitätsrelation \({Id}_A\) enthält.
  \[ R \text{ ist irreflexiv} \Leftrightarrow R \cap {Id}_A = \emptyset \]
• Ist eine Relation \(R\) irreflexiv, so ist die Umkehrrelation \(R^{-1}\) ebenfalls irreflexiv.
• Ist eine Relation \(R\) irreflexiv, so ist die komplementäre Relation \(R^c\) reflexiv.
• Sind \(R\) und \(S\) irreflexive Relationen, so ist auch ihr Schnitt \(R \cap S\) eine irreflexive Relation. Die Aussage gilt analog für den Schnitt von mehr als zwei Relationen.
• Die Relation auf der leeren Menge ist die einzige Relation, die sowohl reflexiv als auch irreflexiv ist.