Asymmetrische Relation (Asymmetrie)

Definition

Sei $A$ eine Menge und $R \subseteq A \times A$ eine auf dieser Menge definierte binäre Relation. Die Relation $R$ heißt asymmetrisch, falls die folgende Eigenschaft gilt:

In Worten: Eine Relation ist genau dann asymmetrisch, wenn für alle Elemente der zugrundeliegenden Menge gilt: Steht ein Element $a$ in Relation mit einem Element $b$, so steht $b$ niemals in Relation mit $a$. Dies gilt auch für den Fall, dass es sich bei $a$ und $b$ um dasselbe Element handelt. Wird der zur Relation gehörende gerichtete Graph betrachtet, so gibt es folglich zu keiner Kante die entgegengesetzte Kante. Schlingen von einem Element zu sich selbst sind nicht zulässig.

Diese Eigenschaft wird auch als Asymmetrie bezeichnet. Ist die Asymmetriebedingung verletzt, so ist die Relation nicht asymmetrisch.

Hinweis: Eine Relation ist asymmetrisch, solange die Asymmetriebedingung nicht explizit verletzt ist. Es ist insbesondere nicht notwendig, dass tatsächlich Elemente $a$ und $b$ existieren, für die $(a,b) \in R$ gilt.

Beispiele

Beispiel 1

Gegeben sei die Menge $A = \bigl\{ a,b,c,d \bigr\}$ sowie eine auf dieser Menge definierte zweistellige Relation $R_1$ mit

Die Relation $R_1$ ist asymmetrisch, da für alle Elemente $x,y \in A$ stets gilt: Aus $(x,y) \in R_1$ folgt $(y,x) \notin R_1$.

Beispiel 2

Gegeben sei die Menge $A = \bigl\{ a,b,c,d \bigr\}$ sowie eine auf dieser Menge definierte zweistellige Relation $R_2$ mit

Die Relation $R_2$ ist nicht asymmetrisch, da die Asymmetriebedingung verletzt ist:

• Es gilt $(b,b) \in R_2$.
• Es gilt $(b,d) \in R_2$ und $(d,b) \in R_2$.

Beispiel 3

Gegeben sei die Menge $A = \bigl\{ a,b,c,d \bigr\}$ sowie eine auf dieser Menge definierte zweistellige Relation $R_3$ mit

Die Relation $R_3$ ist nicht asymmetrisch, da die Asymmetriebedingung verletzt ist:

• Es gilt $(a,a) \in R_3$.
• Es gilt $(b,b) \in R_3$.
• Es gilt $(d,d) \in R_3$.

Beispiel 4

Gegeben sei die Menge $A = \bigl\{ a,b,c,d \bigr\}$ sowie eine auf dieser Menge definierte zweistellige Relation $R_4$ mit

Die Relation $R_4$ ist asymmetrisch, da für alle Elemente $x,y \in A$ mit $x \neq y$ stets gilt: Aus $(x,y) \in R_4$ folgt niemals $(y,x) \in R_4$. Da die Relation $R_4$ keine Elemente enthält, existieren insbesondere auch keine Verletzungen der Asymmetriebedingung.

Beispiele in der Mathematik

Anordnen von Zahlen

Bei der Kleiner-Relation $\lt$ für natürliche, ganze, rationale oder reelle Zahlen handelt es sich um eine asymmetrische Relation. Für Zahlen $a$ und $b$ gilt niemals $a \lt b$ und $b \lt a$. Dasselbe gilt analog für die Größer-Relation $\gt$. In beiden Fällen handelt es sich um eine Ordnungsrelation.

Echte Teilmenge

Die (echte) Teilmengenbeziehung $\subset$ ist asymmetrisch. Für Mengen $A$ und $B$ gilt niemals $A \subset B$ und $B \subset A$. Es handelt sich bei der Teilmengenbeziehung um eine Ordnungsrelation.

Eigenschaften

Für asymmetrische Relationen bzw. Asymmetrie gelten unter anderem die folgenden Eigenschaften:

• Die Schnittmenge einer asymmetrischen Relation mit ihrer Umkehrrelation $R^{-1}$ ist immer leer.
  \[ R \cap R^{-1} = \emptyset. \]
• Jede Teilmenge einer asymmetrischen Relation ist wieder eine asymmetrische Relation.
• Sind $R$ und $S$ asymmetrische Relationen, so ist auch ihr Schnitt $R \cap S$ eine asymmetrische Relation. Die Aussage gilt analog für den Schnitt von mehr als zwei Relationen.
• Die leere Relation ist die einzige Relation, die symmetrisch und asymmetrisch zugleich ist.
• Jede asymmetrische Relation ist antisymmetrisch; umgekehrt ist aber nicht jede antisymmetrische Relation auch asymmetrisch.
• Jede asymmetrische Relation ist irreflexiv; umgekehrt ist aber nicht jede irreflexive Relation auch asymmetrisch.