Asymmetrische Relation (Asymmetrie)
Eine asymmetrische Relation ist eine zweistellige Relation $R$ auf einer Menge, bei der für alle Elemente der Menge aus $(a,b) \in R$ stets $(b,a) \notin R$ folgt. Diese Eigenschaft wird in der Mathematik auch Asymmetrie genannt. Sie ist eine der Voraussetzungen für eine Striktordnung.
Mit der Asymmetrie eng verwandte Eigenschaften sind die Symmetrie und die Antisymmetrie.
Definition
Sei $A$ eine Menge und $R \subseteq A \times A$ eine auf dieser Menge definierte binäre Relation. Die Relation $R$ heißt asymmetrisch, falls die folgende Eigenschaft gilt:
In Worten: Eine Relation ist genau dann asymmetrisch, wenn für alle Elemente der zugrundeliegenden Menge gilt: Steht ein Element $a$ in Relation mit einem Element $b$, so steht $b$ niemals in Relation mit $a$. Dies gilt auch für den Fall, dass es sich bei $a$ und $b$ um dasselbe Element handelt. Wird der zur Relation gehörende gerichtete Graph betrachtet, so gibt es folglich zu keiner Kante die entgegengesetzte Kante. Schlingen von einem Element zu sich selbst sind nicht zulässig.
Diese Eigenschaft wird auch als Asymmetrie bezeichnet. Ist die Asymmetriebedingung verletzt, so ist die Relation nicht asymmetrisch.
Hinweis: Eine Relation ist asymmetrisch, solange die Asymmetriebedingung nicht explizit verletzt ist. Es ist insbesondere nicht notwendig, dass tatsächlich Elemente $a$ und $b$ existieren, für die $(a,b) \in R$ gilt.
Beispiele
Beispiel 1
Gegeben sei die Menge $A = \bigl\{ a,b,c,d \bigr\}$ sowie eine auf dieser Menge definierte zweistellige Relation $R_1$ mit
Die Relation $R_1$ ist asymmetrisch, da für alle Elemente $x,y \in A$ stets gilt: Aus $(x,y) \in R_1$ folgt $(y,x) \notin R_1$.
Beispiel 2
Gegeben sei die Menge $A = \bigl\{ a,b,c,d \bigr\}$ sowie eine auf dieser Menge definierte zweistellige Relation $R_2$ mit
Die Relation $R_2$ ist nicht asymmetrisch, da die Asymmetriebedingung verletzt ist:
- Es gilt $(b,b) \in R_2$.
- Es gilt $(b,d) \in R_2$ und $(d,b) \in R_2$.
Beispiel 3
Gegeben sei die Menge $A = \bigl\{ a,b,c,d \bigr\}$ sowie eine auf dieser Menge definierte zweistellige Relation $R_3$ mit
Die Relation $R_3$ ist nicht asymmetrisch, da die Asymmetriebedingung verletzt ist:
- Es gilt $(a,a) \in R_3$.
- Es gilt $(b,b) \in R_3$.
- Es gilt $(d,d) \in R_3$.
Beispiel 4
Gegeben sei die Menge $A = \bigl\{ a,b,c,d \bigr\}$ sowie eine auf dieser Menge definierte zweistellige Relation $R_4$ mit
Die Relation $R_4$ ist asymmetrisch, da für alle Elemente $x,y \in A$ mit $x \neq y$ stets gilt: Aus $(x,y) \in R_4$ folgt niemals $(y,x) \in R_4$. Da die Relation $R_4$ keine Elemente enthält, existieren insbesondere auch keine Verletzungen der Asymmetriebedingung.
Beispiele in der Mathematik
Anordnen von Zahlen
Bei der Kleiner-Relation $\lt$ für natürliche, ganze, rationale oder reelle Zahlen handelt es sich um eine asymmetrische Relation. Für Zahlen $a$ und $b$ gilt niemals $a \lt b$ und $b \lt a$. Dasselbe gilt analog für die Größer-Relation $\gt$. In beiden Fällen handelt es sich um eine Ordnungsrelation.
Echte Teilmenge
Die (echte) Teilmengenbeziehung $\subset$ ist asymmetrisch. Für Mengen $A$ und $B$ gilt niemals $A \subset B$ und $B \subset A$. Es handelt sich bei der Teilmengenbeziehung um eine Ordnungsrelation.
Eigenschaften
Für asymmetrische Relationen bzw. Asymmetrie gelten unter anderem die folgenden Eigenschaften:
- Die Schnittmenge einer asymmetrischen Relation mit ihrer Umkehrrelation $R^{-1}$ ist immer leer. \[ R \cap R^{-1} = \emptyset. \]
- Jede Teilmenge einer asymmetrischen Relation ist wieder eine asymmetrische Relation.
- Sind $R$ und $S$ asymmetrische Relationen, so ist auch ihr Schnitt $R \cap S$ eine asymmetrische Relation. Die Aussage gilt analog für den Schnitt von mehr als zwei Relationen.
- Die leere Relation ist die einzige Relation, die symmetrisch und asymmetrisch zugleich ist.
- Jede asymmetrische Relation ist antisymmetrisch; umgekehrt ist aber nicht jede antisymmetrische Relation auch asymmetrisch.
- Jede asymmetrische Relation ist irreflexiv; umgekehrt ist aber nicht jede irreflexive Relation auch asymmetrisch.