Reflexive Relation (Reflexivität)
Eine reflexive Relation ist eine zweistellige Relation $R$ auf einer Menge, bei der für alle Elemente der Menge stets $(a,a) \in R$ gilt. Diese Eigenschaft wird in der Mathematik auch Reflexivität genannt. Sie ist eine der Voraussetzungen für Äquivalenz- und Ordnungsrelationen.
Eine mit der Reflexivität eng verwandte Eigenschaft ist die Irreflexivität.
Definition
Sei $A$ eine Menge und $R \subseteq A \times A$ eine auf dieser Menge definierte binäre Relation. Die Relation $R$ heißt reflexiv, falls die folgende Eigenschaft gilt:
In Worten: Eine Relation ist genau dann reflexiv, wenn jedes Element der Menge in Relation mit sich selbst steht.
Diese Eigenschaft wird auch als Reflexivität bezeichnet. Ist die Reflexivitätsbedingung verletzt, so ist die Relation nicht reflexiv.
Beispiele
Beispiel 1
Gegeben sei die Menge $A = \bigl\{ a,b,c,d \bigr\}$ sowie eine auf dieser Menge definierte zweistellige Relation $R_1$ mit
Die Relation $R_1$ ist reflexiv, da für alle Elemente $x \in A$ stets $(x,x) \in R_1$ gilt.
Beispiel 2
Gegeben sei die Menge $A = \bigl\{ a,b,c,d \bigr\}$ sowie eine auf dieser Menge definierte zweistellige Relation $R_2$ mit
Die Relation $R_2$ ist nicht reflexiv, da die Reflexivitätsbedingung verletzt ist:
- Es gilt $(c,c) \notin R_2$.
- Es gilt $(d,d) \notin R_2$.
Beispiele in der Mathematik
Gleichheit von Zahlen
Bei der Gleichheit $=$ von natürlichen, ganzen, rationalen, reellen oder komplexen Zahlen handelt es sich um reflexive Relationen; es handelt sich jeweils sogar um Äquivalenzrelationen.
Anordnen von Zahlen
Bei der Kleinergleich-Relation $\leq$ für natürliche, ganze, rationale oder reelle Zahlen handelt es sich um eine reflexive Relation, da stets $a \leq a$ gilt. Dasselbe gilt analog für die Größergleich-Relation $\geq$. In beiden Fällen handelt es sich um eine Ordnungsrelation.
Teilbarkeit
Die Teilbarkeitsrelation $\mid$ für natürliche und ganze Zahlen ist reflexiv. Für alle Zahlen $a$ gilt stets $a \mid a$. Es handelt sich bei der Teilbarkeitsrelation um eine Ordnungsrelation.
Teilmenge
Die Teilmengenbeziehung $\subseteq$ ist reflexiv. Für jede Menge $A$ gilt stets $A \subseteq A$; Mengen sind immer eine Teilmenge von sich selbst. Es handelt sich bei der Teilmengenbeziehung um eine Ordnungsrelation.
Kongruenz modulo m
Für alle ganzen Zahlen $a$ gilt, dass sie zu sich selbst kongruent modulo $m$ sind. Es gilt trivialerweise $a \equiv a \pmod{m}$. Die Kongruenzrelation ist reflexiv und sogar eine Äquivalenzrelation.
Eigenschaften
Für reflexive Relationen bzw. Reflexivität gelten unter anderem die folgenden Eigenschaften:
- Eine Relation $R$ auf der Menge $A$ ist genau dann reflexiv, wenn sie die Identitätsrelation $\mathrm{I}_A$ enthält. \[ R \text{ ist reflexiv} \Leftrightarrow \mathrm{I}_A \subseteq R \]
- Ist eine Relation $R$ reflexiv, so ist die Umkehrrelation $R^{-1}$ ebenfalls reflexiv.
- Ist eine Relation $R$ reflexiv, so ist die komplementäre Relation $R^c$ irreflexiv.
- Sind $R$ und $S$ reflexive Relationen, so sind auch ihr Schnitt $R \cap S$ und ihre Vereinigung $R \cup S$ reflexive Relationen. Die Aussage gilt analog für den Schnitt und Vereinigung von mehr als zwei Relationen.
- Die kleinste reflexive Relation $S$, die eine gegebene Relation $R$ vollständig enthält, wird reflexive Hülle genannt. Sie lässt sich leicht durch Vereinigung mit der Identitätsrelation $\mathrm{I}_A$ finden. \[ S = R \cup \mathrm{I}_A \]
- Die Relation auf der leeren Menge ist die einzige Relation, die sowohl reflexiv als auch irreflexiv ist.