Aufgaben

Rechnen mit Restklassen – Interaktiver Aufgabengenerator

Artikel zum Nachlesen: Addition von Restklassen , Subtraktion von Restklassen, Multiplikation von Restklassen, Potenzieren von Restklassen

Der interaktive Aufgabengenerator zum Thema Rechnen mit Restklassen erzeugt dir eine unbegrenzte Anzahl an individuell anpassbaren, prozedural generierten Übungsaufgaben. Er unterstützt dich dabei, die Aufgaben zu lösen, das Thema ausgiebig zu üben und zu verstehen. Hierzu erstellt der Generator für jede Aufgabe eine ausführliche, verständliche Schritt-für-Schritt Musterlösung und bietet dir zudem die Möglichkeit, deine eigenen Lösungen direkt zu überprüfen. Alle Lösungen und Lösungswege werden deterministisch mithilfe der zugrundeliegenden mathematischen Verfahren berechnet. Sämtliche Hilfestellungen stehen sowohl für die freien Beispiele als auch für generierte im vollen Umfang zur Verfügung.

Aufgabe erstellen

Beispielaufgaben

Die ausgewählten Beispiele ermöglichen es dir, einige Generator-Konfigurationen und die verfügbare Unterstützung beim Lösen der Aufgaben unverbindlich und in aller Ruhe kennenzulernen.

Aufgabe 1 von 2

Berechne den folgenden Ausdruck im Restklassenring $\Z_{23}$ :

{\left(\left([8]_{23} + [9]_{23}\right) \cdot \left([2]_{23} - [10]_{23}\right)\right)}^5 \cdot \left([5]_{23} - [6]_{23}\right)

Sofern es sich bei dem gefundenen Ergebnis nicht um den Standardvertreter der Ergebnis-Restklasse handelt, so ist dieses entsprechend umzurechnen.

Aufgabengenerator

Der Aufgabengenerator ermöglicht es dir, beliebig viele, an deine individuellen Bedürfnisse angepasste Aufgaben zu generieren, um dich perfekt mit dem Thema vertraut zu machen.

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Konfiguration anpassen

Konfiguriere den Aufgabengenerator nach deinen Wünschen – von einfachen Beispielen bis zu anspruchsvollen Herausforderungen.

Anzahl Operanden:

–

Modul:

–

Addition

Anzahl Summanden:

–

Häufigkeit:

Subtraktion

Häufigkeit:

Multiplikation

Anzahl Faktoren:

–

Häufigkeit:

Hier könnte deine generierte Aufgabe stehen!

Aufgabe lösen

Musterlösung

Bevor das Produkt ${\left(\left([8]_{23} + [9]_{23}\right) \cdot \left([2]_{23} - [10]_{23}\right)\right)}^5 \cdot \left([5]_{23} - [6]_{23}\right)$ berechnet werden kann, müssen zunächst alle Faktoren ausgerechnet werden:

Ausrechnen des Faktors

{\left(\left([8]_{23} + [9]_{23}\right) \cdot \left([2]_{23} - [10]_{23}\right)\right)}^5

liefert den Wert

[9]_{23}

Bevor die Potenz ${\left(\left([8]_{23} + [9]_{23}\right) \cdot \left([2]_{23} - [10]_{23}\right)\right)}^5$ berechnet werden kann, müssen zunächst die Basis und der Exponent berechnet werden:

Ausrechnen der Basis

\left([8]_{23} + [9]_{23}\right) \cdot \left([2]_{23} - [10]_{23}\right)

liefert den Wert

[2]_{23}

Bevor das Produkt $\left([8]_{23} + [9]_{23}\right) \cdot \left([2]_{23} - [10]_{23}\right)$ berechnet werden kann, müssen zunächst alle Faktoren ausgerechnet werden:

Ausrechnen des Faktors

[8]_{23} + [9]_{23}

liefert den Wert

[17]_{23}

Wie bei der Restklassenaddition üblich, wird die Summe der Restklassen bestimmt, indem die Restklasse der Summe ihrer Repräsentanten bestimmt wird. Für die Summe $[8]_{23}+[9]_{23}$ ergibt sich somit:

\begin{align*}[8]_{23}+[9]_{23}&= {[8+9]}_{23} \\[0.5em]&= {[17]}_{23}\end{align*}

Ausrechnen des Faktors

[2]_{23} - [10]_{23}

liefert den Wert

[15]_{23}

Wie bei der Restklassensubtraktion üblich, wird die Differenz der Restklassen bestimmt, indem die Restklasse der Differenz ihrer Repräsentanten bestimmt wird. Für die Differenz $[2]_{23} - [10]_{23}$ ergibt sich somit:

\begin{align*}[2]_{23} - [10]_{23}&= {[2 - 10]}_{23} \\[0.5em]&= {[-8]}_{23} \\[0.5em]&= {[-1 \cdot 23 + 15]}_{23} \\[0.5em]&= [15]_{23}\end{align*}

Wie bei der Restklassenmultiplikation üblich, wird das Produkt der Restklassen bestimmt, indem die Restklasse des Produkts ihrer Repräsentanten bestimmt wird. Für das Produkt $[17]_{23}\cdot[15]_{23}$ ergibt sich somit:

\begin{align*}[17]_{23}\cdot[15]_{23}&= {[17\cdot15]}_{23} \\[0.5em]&= {[255]}_{23} \\[0.5em]&= {[11 \cdot 23 + 2]}_{23} \\[0.5em]&= [2]_{23}\end{align*}

Die Potenz $[2]_{23}^{5}$ kann mithilfe des Square and Multiply Verfahrens über die folgenden Zwischenschritte berechnet werden:

\begin{align*}[2]_{23}^{5} &= [2]_{23}^{4} \cdot [2]_{23} \\[0.5em][2]_{23}^{4} &= {\left( [2]_{23}^{2} \right)}^2 \\[0.5em][2]_{23}^{2} &= {\left( [2]_{23}^{1} \right)}^2\end{align*}

Durch Rückwärtseinsetzen kann die gesuchte Potenz nun schrittweise berechnet werden. Nach den Rechenregeln für das Potenzieren von Restklassen und das Multiplizieren von Restklassen werden nach jedem Zwischenschritt die Standardrepräsentanten der Restklassen bestimmt und mit diesen weiter gerechnet, um die Zwischenergebnisse möglichst klein zu halten.

\begin{align*}[2]_{23}^{2} &= [2]_{23} \cdot [2]_{23} =[4]_{23} \\[0.5em][2]_{23}^{4} &= [4]_{23}^2 = [16]_{23} \\[0.5em][2]_{23}^{5} &= [16]_{23} \cdot [2]_{23} = [9]_{23}\end{align*}

Das gesuchte Ergebnis lautet also wie folgt:

[2]_{23}^{5} = [9]_{23}

Ausrechnen des Faktors

[5]_{23} - [6]_{23}

liefert den Wert

[22]_{23}

\begin{align*}[5]_{23} - [6]_{23}&= {[5 - 6]}_{23} \\[0.5em]&= {[-1]}_{23} \\[0.5em]&= {[-1 \cdot 23 + 22]}_{23} \\[0.5em]&= [22]_{23}\end{align*}

\begin{align*}[9]_{23}\cdot[22]_{23}&= {[9\cdot22]}_{23} \\[0.5em]&= {[198]}_{23} \\[0.5em]&= {[8 \cdot 23 + 14]}_{23} \\[0.5em]&= [14]_{23}\end{align*}

Lösung überprüfen

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Gib das berechnete Ergebnis ein.