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Subtraktion von Restklassen

Bei der Subtraktion von Restklassen (auch Restklassensubtraktion) wird die Differenz zweier Restklassen bestimmt, indem die Restklasse der Differenz ihrer Repräsentanten bestimmt wird.

Definition

Gegeben seien ganze Zahlen \(x,y \in \Z\) sowie eine natürliche Zahl \(m \in \N\). Für Elemente \({[x]}_m\) und \({[y]}_m\) des Restklassenrings \(\Z_m\) wird die Restklassensubtraktion \(\ominus\) wie folgt definiert:

\[ \begin{array}{c} \ominus: \Z_m \times \Z_m \rightarrow \Z_m \\[0.5em] {[x]}_m \ominus {[y]}_m = {[x-y]}_m \end{array} \]

In Worten: Bei der Differenz der Restklassen \({[x]}_m\) und \({[y]}_m\) handelt es sich um die Restklasse der Differenz \(x-y\) ihrer (ganzzahligen) Repräsentanten.

Hinweis: Anstelle des Operators \(\ominus\) wird für die Restklassensubtraktion häufig auch vereinfachend der Operator \(-\) verwendet.

Beispiele

Beispiel 1

Es soll die Differenz der Restklassen \({[6]}_7\) und \({[4]}_7\) berechnet werden. Gemäß der Definition der Subtraktion von Restklassen ergibt sich:

\begin{align*} {[6]}_7 \ominus {[4]}_7 &= {[6-4]}_7 \\[0.5em] &= {[2]}_7 \end{align*}

Beispiel 2

Es soll die Differenz der Restklassen \({[5]}_{23}\) und \({[17]}_{23}\) berechnet werden. Gemäß der Definition der Subtraktion von Restklassen ergibt sich:

\begin{align*} {[5]}_{23} \ominus {[17]}_{23} &= {[5-17]}_{23} \\[0.5em] &= {[-12]}_{23} \\[0.5em] &= {[11]}_{23} \end{align*}

Da es sich bei \({[-12]}_{23}\) nicht um den Standardvertreter der Restklasse handelt, wird das Zwischenergebnis im letzten Schritt entsprechend umgerechnet.

Eigenschaften

Assoziativität

Die Subtraktion von Restklassen modulo \(m\) ist nicht assoziativ. Im Allgemeinen gilt:

\[ \Bigl( {[x]}_m \ominus {[y]}_m \Bigr) \ominus {[z]}_m \neq {[x]}_m \ominus \Bigl( {[y]}_m \ominus {[z]}_m\Bigr) \]

Die Nichtassoziativität der Subtraktion von Restklassen kann leicht mithilfe eines Gegenbeispiels gezeigt werden. Es gilt exemplarisch:

\begin{align*} \bigl( {[1]}_5 \ominus {[1]}_5 \bigr) \ominus {[1]}_5 &= {[4]}_5 \\[0.5em] {[1]}_5 \ominus \bigl( {[1]}_5 \ominus {[1]}_5 \bigr) &= {[1]}_5 \end{align*}

Kommutativität

Die Subtraktion von Restklassen modulo \(m\) ist nicht kommutativ. Im Allgemeinen gilt:

\[ {[x]}_m \ominus {[y]}_m \neq {[y]}_m \ominus {[x]}_m \]

Die Nichtkommutativität der Subtraktion von Restklassen kann leicht mithilfe eines Gegenbeispiels gezeigt werden. Es gilt exemplarisch:

\begin{align*} {[3]}_5 \ominus {[2]}_5 &= {[1]}_5 \\[0.5em] {[2]}_5 \ominus {[3]}_5 &= {[4]}_5 \end{align*}

Distributivität

Für die Subtraktion und die Multiplikation von Restklassen modulo \(m\) gilt das Distributivgesetz.

\[ {[x]}_m \odot \Bigl( {[y]}_m \ominus {[z]}_m \Bigr) = {[x]}_m \odot {[y]}_m \ominus {[x]}_m \odot {[z]}_m \]

Die Distributivität kann durch direktes Nachrechnen gezeigt werden. In den Schritten (1) und (4) wird die Definition der Subtraktion von Restklassen verwendet. In den Schritten (2) und (5) wird die Definition der Multiplikation von Restklassen verwendet. Die Gültigkeit von (3) folgt aus der Distributivität der ganzzahligen Multiplikation über der ganzzahligen Subtraktion.

\begin{align*} {[x]}_m \odot \bigl( {[y]}_m \ominus {[z]}_m \bigr) &\overset{(1)}{=} {[x]}_m \odot {[y-z]}_m \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} {[x \cdot (y-z)]}_m \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} {[x \cdot y - x \cdot z]}_m \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} {[x \cdot y]}_m \ominus {[x \cdot z]}_m \\[0.5em] &\overset{(5)}{=} {[x]}_m \odot {[y]}_m \ominus {[x}]_m \odot {[z]}_m \end{align*}

Neutrales Element

Es existiert kein neutrales Element bzgl. der Subtraktion von Restklassen modulo $m$. Beim Element \({[0]}_m\) handelt es sich um ein rechts-, aber nicht um ein linksneutrales Element.

Inverse Elemente

Das inverse Element eines Elements \({[x]}_m\) bezüglich der Subtraktion von Restklassen modulo $m$ existiert nicht. Das Verknüpfen eines Elements mit seinem Inversen muss stets das neutrale Element ergeben, welches für die Subtraktion aber nicht existiert.