Aufgaben
Aufgaben zum Potenzieren von Restklassen
Der interaktive Aufgabengenerator zum Thema Potenzieren von Restklassen erstellt dir eine unbegrenzte Anzahl an individuell anpassbaren Aufgaben und unterstützt dich dabei, diese zu bearbeiten und zu lösen – unter anderem durch ausführliche und verständliche Musterlösungen. Darüber hinaus ist dieselbe Unterstützung auch für deine eigenen Aufgaben verfügbar.
Aufgabe 1 von 2
Berechne die folgende Potenz in \(\Z_{13}\):
\[[5]_{13}^{25}\]
Sofern es sich bei dem gefundenen Ergebnis nicht um den Standardvertreter der Ergebnis-Restklasse handelt, so ist dieses entsprechend umzurechnen.
Die Potenz \([5]_{13}^{25}\) kann mithilfe des Square-and-Multiply Verfahrens über die folgenden Zwischenschritte berechnet werden:
\[\begin{align*}
[5]_{13}^{25} &= [5]_{13}^{24} \cdot [5]_{13} \\[0.5em]
[5]_{13}^{24} &= {\left( [5]_{13}^{12} \right)}^2 \\[0.5em]
[5]_{13}^{12} &= {\left( [5]_{13}^{6} \right)}^2 \\[0.5em]
[5]_{13}^{6} &= {\left( [5]_{13}^{3} \right)}^2 \\[0.5em]
[5]_{13}^{3} &= [5]_{13}^{2} \cdot [5]_{13} \\[0.5em]
[5]_{13}^{2} &= {\left( [5]_{13}^{1} \right)}^2
\end{align*}\]
Ausrechnen durch Rückwärtseinsetzen ergibt:
\[\begin{align*}[5]_{13}^{2} &= [5]_{13} \cdot [5]_{13} =[12]_{13} \\[0.5em]
[5]_{13}^{3} &= [12]_{13} \cdot [5]_{13} = [8]_{13} \\[0.5em]
[5]_{13}^{6} &= [8]_{13}^2 = [12]_{13} \\[0.5em]
[5]_{13}^{12} &= [12]_{13}^2 = [1]_{13} \\[0.5em]
[5]_{13}^{24} &= [1]_{13}^2 = [1]_{13} \\[0.5em]
[5]_{13}^{25} &= [1]_{13} \cdot [5]_{13} = [5]_{13}
\end{align*}\]
Das gesuchte Ergebnis lautet also wie folgt:
\[[5]_{13}^{25} = [5]_{13}\]
