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Aufgaben

Potenzieren von Restklassen – Interaktiver Aufgabengenerator mit Musterlösungen

Artikel zum Nachlesen: Potenzieren von Restklassen

Der interaktive Aufgabengenerator zum Thema Potenzieren von Restklassen erzeugt dir eine unbegrenzte Anzahl an individuell anpassbaren Übungsaufgaben und Beispielen. Er unterstützt dich dabei, diese zu lösen und das Thema ausgiebig zu üben. Hierzu erstellt der Generator für jede Aufgabe eine ausführliche, verständliche Musterlösung und bietet dir zudem die Möglichkeit, deine eigenen Lösungen direkt zu überprüfen. Sämtliche Hilfestellungen stehen sowohl für die freien Beispiele als auch für generierte und eigene Aufgaben im vollen Umfang zur Verfügung.

Aufgabe erstellen

Beispielaufgaben

Beispielaufgaben

Aufgabe 1 von 2

Berechne mithilfe des Potenzierens von Restklassen die folgende Potenz im Restklassenrings $\Z_{13}$:

\[[5]_{13}^{25}\]

Sofern es sich bei dem gefundenen Ergebnis nicht um den Standardvertreter der Ergebnis-Restklasse handelt, so ist dieses entsprechend umzurechnen.

Aufgabengenerator

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Eigene Aufgabe

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Gib die Zahlen $a$, $n$ und $m$ ein, für die die Potenz $a^n$ im Restklassenring $\Z_m$ berechnet werden soll.

Aufgabe lösen

Musterlösung

Musterlösung

Die Potenz $ [5]_{13}^{25}$ kann mithilfe des Square and Multiply Verfahrens über die folgenden Zwischenschritte berechnet werden:

\[\begin{align*}
[5]_{13}^{25} &= [5]_{13}^{24} \cdot [5]_{13} \\[0.5em]
[5]_{13}^{24} &= {\left( [5]_{13}^{12} \right)}^2 \\[0.5em]
[5]_{13}^{12} &= {\left( [5]_{13}^{6} \right)}^2 \\[0.5em]
[5]_{13}^{6} &= {\left( [5]_{13}^{3} \right)}^2 \\[0.5em]
[5]_{13}^{3} &= [5]_{13}^{2} \cdot [5]_{13} \\[0.5em]
[5]_{13}^{2} &= {\left( [5]_{13}^{1} \right)}^2
\end{align*}\]

Durch Rückwärtseinsetzen kann die gesuchte Potenz nun schrittweise berechnet werden. Nach den Rechenregeln für das Potenzieren von Restklassen und das Multiplizieren von Restklassen werden nach jedem Zwischenschritt die Standardrepräsentanten der Restklassen bestimmt und mit diesen weiter gerechnet, um die Zwischenergebnisse möglichst klein zu halten.

\[\begin{align*}[5]_{13}^{2} &= [5]_{13} \cdot [5]_{13} =[12]_{13} \\[0.5em]
[5]_{13}^{3} &= [12]_{13} \cdot [5]_{13} = [8]_{13} \\[0.5em]
[5]_{13}^{6} &= [8]_{13}^2 = [12]_{13} \\[0.5em]
[5]_{13}^{12} &= [12]_{13}^2 = [1]_{13} \\[0.5em]
[5]_{13}^{24} &= [1]_{13}^2 = [1]_{13} \\[0.5em]
[5]_{13}^{25} &= [1]_{13} \cdot [5]_{13} = [5]_{13}
\end{align*}\]

Das gesuchte Ergebnis lautet also wie folgt:

\[[5]_{13}^{25} = [5]_{13}\]
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Gib die berechnete Potenz ein.