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Aufgaben

Aufgaben zum Zeilenraum einer Matrix

Zum Nachlesen: Zeilenraum einer Matrix

Der interaktive Aufgabengenerator zum Thema Zeilenraum einer Matrix erstellt dir eine unbegrenzte Anzahl an individuell anpassbaren Aufgaben und unterstützt dich dabei, diese zu bearbeiten und zu lösen – unter anderem durch ausführliche und verständliche Musterlösungen. Darüber hinaus ist dieselbe Unterstützung auch für deine eigenen Aufgaben verfügbar.

Aufgabe 1 von 3

Gegeben sei die folgende Matrix mit Koeffizienten aus \(\Q\):

\[\begin{bmatrix} 1 & 1 & 6 \\ -3 & -2 & -15 \\ -1 & -2 & -6 \end{bmatrix}\]

Bestimme mithilfe des Gauß-Algorithmus eine Basis für den Zeilenraum der gegebenen Matrix.



Um eine Basis \(\mathfrak{B}\) des Zeilenraums \(Z(A)\) der gegebenen Matrix \(A\) zu bestimmen, wird diese zunächst in Zeilenstufenform überführt.

Das Überführen in Zeilenstufenform geschieht schrittweise mithilfe des Gauß-Algorithmus:

\[\begin{array}{rrr|l}
1 & 1 & 6 & \\[0.25em]
-3 & -2 & -15 & \text{II} + 3 \cdot \text{I} \\[0.25em]
-1 & -2 & -6 & \text{III} + \text{I} \\[0.25em]
\hline
1 & 1 & 6 & \\[0.25em]
0 & 1 & 3 & \\[0.25em]
0 & -1 & 0 & \text{III} + \text{II} \\[0.25em]
\hline
1 & 1 & 6 & \\[0.25em]
0 & 1 & 3 & \\[0.25em]
0 & 0 & 3 & \text{III} \cdot \frac{1}{3} \\[0.25em]
\hline
1 & 1 & 6 & \\[0.25em]
0 & 1 & 3 & \\[0.25em]
0 & 0 & 1 &
\end{array}\]

Die als Zeilenstufenform vorliegende Matrix \(A^\star\) kann nun im letzten Schritt direkt abgelesen werden.

\[A^\star=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\]

Da elementare Zeilenumformungen den Zeilenraum einer Matrix nicht verändern, besitzt die Matrix \(A^\star\) denselben Zeilenraum wie die ursprüngliche Matrix \(A\) – es gilt somit \(Z(A^\star)=Z(A)\). Der Zeilenraum \(Z(A^\star)\) wird durch die Nicht-Nullzeilen der Matrix \(A^\star\) aufgespannt. Da diese aufgrund der vorliegenden Zeilenstufenform der Matrix \(A^\star\) zudem implizit linear unabhängig sind, handelt es sich hierbei folglich um eine Basis \(\mathfrak{B}\) des Zeilenraums.

\[b_{1}=\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 6 \end{bmatrix}\quad b_{2}=\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix}\quad b_{3}=\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}\]\[\mathfrak{B} = \Bigl\{b_1,b_2,b_3\Bigr\}\]