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Zeilenraum einer Matrix

Beim Zeilenraum einer Matrix handelt es sich um den Vektorraum, der durch die Zeilenvektoren der Matrix aufgespannt wird.

Inhalt

Definition

Gegeben seien zwei natürliche Zahlen \(m,n \in \N\), ein Ring oder Körper \(\mathcal{R}\), aus dem sämtliche Elemente stammen – beispielsweise ganze, rationale, reelle oder komplexe Zahlen –, sowie eine $m \times n$ Matrix \(A \in \mathcal{R}^{m \times n}\) mit den Zeilenvektoren \(z_1,\ldots,z_m \in \mathcal{R}^n\):

\[ A = \begin{bmatrix} \quad — & z_1 & — \quad \\[0.25em] & \vdots & \\[0.25em] \quad — & z_m & — \quad \end{bmatrix}. \]

Beim Zeilenraum $Z(A)$ der Matrix $A$ handelt es sich um die lineare Hülle der Zeilenvektoren – also um die Menge aller Linearkombinationen der Zeilenvektoren $z_1,\ldots,z_m$:

\begin{align*} Z(A) &= \Lin\bigl( z_1,\ldots,z_m \bigr) \\[0.5em] &= \Bigl\{ \lambda_1 \cdot z_1 + \ldots + \lambda_m \cdot z_m \mid \lambda_1,\ldots,\lambda_m \in \mathcal{R} \Bigr\}. \end{align*}

Eigenschaften

Für den Zeilenraum $Z(A)$ der Matrix $A \in \mathcal{R}^{m \times n}$ gelten die folgenden Eigenschaften:

  • Der Zeilenraum $Z(A)$ ist ein Untervektorraum des Koordinatenraums $\mathcal{R}^n$.
  • Der Zeilenraum der Matrix $A$ entspricht dem Spaltenraum der transponierten Matrix $A^T$.
  • Die Dimension des Zeilenraums wird als Zeilenrang der Matrix bezeichnet und ist die maximale Anzahl linear unabhängiger Vektoren des Zeilenraums.
  • Zusammen mit dem Nullraum $N(A)$ der Matrix $A$ gilt die folgende Dimensionsformel:
    \[ \dim\bigl(Z(A)\bigr) + \dim\bigl(N(A)\bigr) = n. \]
    Die Summe der Dimensionen des Zeilen- und des Nullraums der Matrix $A$ entspricht der Anzahl der Spalten von $A$.

Basis des Zeilenraums

Das Verfahren zur Bestimmung einer Basis des Zeilenraums einer Matrix beruht auf der Eigenschaft, dass elementare Zeilenumformungen den Zeilenraum einer Matrix nicht verändern: Wird die Matrix $A$ durch elementare Zeilenumformungen in Zeilenstufenform überführt, so bilden die Nichtnullzeilen der erhaltenen Matrix eine Basis des Zeilenraums $Z(A)$.

Beispiel

Gegeben sei die Matrix $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}$. Überführen in Zeilenstufenform liefert:

\begin{array}{rrr|r|l} 1 & 2 & 3 & \\[0.25em] 4 & 5 & 6 & \text{II} - 4 \cdot \text{I} \\[0.25em] 7 & 8 & 9 & \text{III} - 7 \cdot \text{I} \\[0.25em] \hline 1 & 2 & 3 & \\[0.25em] 0 & -3 & -6 & \text{II} \cdot (-\frac{1}{3}) \\[0.25em] 0 & -6 & -12 & \\[0.25em] \hline 1 & 2 & 3 & \\[0.25em] 0 & 1 & 2 & \\[0.25em] 0 & -6 & -12 & \text{III} + 6 \cdot \text{II} \\[0.25em] \hline 1 & 2 & 3 & \text{I} - 2 \cdot \text{II} \\[0.25em] 0 & 1 & 2 & \\[0.25em] 0 & 0 & 0 & \\[0.25em] \hline 1 & 0 & -1 & \\[0.25em] 0 & 1 & 2 & \\[0.25em] 0 & 0 & 0 & \end{array}

Die Nichtnullzeilen $(1,2,3)$ und $(0,1,2)$ der in Zeilenstufenform vorliegenden Matrix im vorletzten Schritt bilden eine Basis des Zeilenraums $Z(A)$. Eine weitere Basis wird durch die Vektoren $(1,0,-1)$ und $(0,1,2)$ gebildet, die dadurch erhalten wurden, dass die Matrix $A$ nicht nur in Zeilenstufenform, sondern in die reduzierte Zeilenstufenform überführt wurde.

Allgemein gilt: Wird anstelle der Zeilenstufenform die reduzierte Zeilenstufenform verwendet, so sind die Elemente der Basis des Zeilenraums stets eindeutig bestimmt und nicht abhängig von den durchgeführten elementaren Zeilenumformungen.