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Zeilenraum einer Matrix

Beim Zeilenraum einer Matrix handelt es sich um den Vektorraum, der durch die Zeilenvektoren der Matrix aufgespannt wird.

Definition

Gegeben seien zwei natürliche Zahlen $m,n \in \N$, ein Ring oder Körper $\mathcal{R}$, aus dem sämtliche Elemente stammen – beispielsweise ganze, rationale, reelle oder komplexe Zahlen –, sowie eine $m \times n$ Matrix $A \in \mathcal{R}^{m \times n}$ mit den Zeilenvektoren $z_1,\ldots,z_m \in \mathcal{R}^n$:

\[ A = \begin{bmatrix} \quad — & z_1 & — \quad \\[0.25em] & \vdots & \\[0.25em] \quad — & z_m & — \quad \end{bmatrix}. \]

Beim Zeilenraum $Z(A)$ der Matrix $A$ handelt es sich um die lineare Hülle der Zeilenvektoren – also um die Menge aller Linearkombinationen der Zeilenvektoren $z_1,\ldots,z_m$:

\begin{align*} Z(A) &= \Lin\bigl( z_1,\ldots,z_m \bigr) \\[0.5em] &= \Bigl\{ \lambda_1 \cdot z_1 + \ldots + \lambda_m \cdot z_m \mid \lambda_1,\ldots,\lambda_m \in \mathcal{R} \Bigr\}. \end{align*}

Eigenschaften

Für den Zeilenraum $Z(A)$ der Matrix $A \in \mathcal{R}^{m \times n}$ gelten die folgenden Eigenschaften:

  • Der Zeilenraum $Z(A)$ ist ein Untervektorraum des Koordinatenraums $\mathcal{R}^n$.
  • Der Zeilenraum der Matrix $A$ entspricht dem Spaltenraum der transponierten Matrix $A^T$.
  • Die Dimension des Zeilenraums wird als Zeilenrang der Matrix bezeichnet und ist die maximale Anzahl linear unabhängiger Vektoren des Zeilenraums.
  • Zusammen mit dem Nullraum $N(A)$ der Matrix $A$ gilt die folgende Dimensionsformel:
    \[ \dim\bigl(Z(A)\bigr) + \dim\bigl(N(A)\bigr) = n. \]
    Die Summe der Dimensionen des Zeilen- und des Nullraums der Matrix $A$ entspricht der Anzahl der Spalten von $A$.

Basis des Zeilenraums

Das Verfahren zur Bestimmung einer Basis des Zeilenraums einer Matrix beruht auf der Eigenschaft, dass elementare Zeilenumformungen den Zeilenraum einer Matrix nicht verändern: Wird die Matrix $A$ durch elementare Zeilenumformungen in Zeilenstufenform überführt, so bilden die Nichtnullzeilen der erhaltenen Matrix eine Basis des Zeilenraums $Z(A)$.

Beispiel

Gegeben sei die Matrix $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}$. Überführen in Zeilenstufenform liefert:

\begin{array}{rrr|r|l} 1 & 2 & 3 & \\[0.25em] 4 & 5 & 6 & \text{II} - 4 \cdot \text{I} \\[0.25em] 7 & 8 & 9 & \text{III} - 7 \cdot \text{I} \\[0.25em] \hline 1 & 2 & 3 & \\[0.25em] 0 & -3 & -6 & \text{II} \cdot (-\frac{1}{3}) \\[0.25em] 0 & -6 & -12 & \\[0.25em] \hline 1 & 2 & 3 & \\[0.25em] 0 & 1 & 2 & \\[0.25em] 0 & -6 & -12 & \text{III} + 6 \cdot \text{II} \\[0.25em] \hline 1 & 2 & 3 & \text{I} - 2 \cdot \text{II} \\[0.25em] 0 & 1 & 2 & \\[0.25em] 0 & 0 & 0 & \\[0.25em] \hline 1 & 0 & -1 & \\[0.25em] 0 & 1 & 2 & \\[0.25em] 0 & 0 & 0 & \end{array}

Die Nichtnullzeilen $(1,2,3)$ und $(0,1,2)$ der in Zeilenstufenform vorliegenden Matrix im vorletzten Schritt bilden eine Basis des Zeilenraums $Z(A)$. Eine weitere Basis wird durch die Vektoren $(1,0,-1)$ und $(0,1,2)$ gebildet, die dadurch erhalten wurden, dass die Matrix $A$ nicht nur in Zeilenstufenform, sondern in die reduzierte Zeilenstufenform überführt wurde.

Allgemein gilt: Wird anstelle der Zeilenstufenform die reduzierte Zeilenstufenform verwendet, so sind die Elemente der Basis des Zeilenraums stets eindeutig bestimmt und nicht abhängig von den durchgeführten elementaren Zeilenumformungen.