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Arkuskosekans

Arkuskosekans (abgekürzt: $\arccsc$, $\acsc$; manchmal auch $\csc^{-1}$) gehört zu den Arkusfunktionen und ist die Umkehrfunktion von Kosekans.

Inhalt

Definition

Die Funktion lässt sich durch die folgende Formel ausdrücken:

\[ \]

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Graph der Arkuskosekansfunktion $\arccsc(x)$

Definitionsbereich	$-\infty \lt x \leq -1$, $1 \leq x \lt \infty$
Wertebereich	$-\frac{\pi}{2} \leq \arccsc(x) \leq \frac{\pi}{2}$
Periodizität	keine
Monotonie	streng monoton fallend für $x \leq -1$ streng monoton fallend für $x \geq 1$
Krümmung	streng konkav für $x \leq -1$ streng konvex für $x \geq 1$
Symmetrien	Punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung ungerade Funktion
Asymptoten	$\arccsc(x) \rightarrow 0$ für $x \rightarrow \pm\infty$
Nullstellen	keine
Sprungstellen	keine
Polstellen	keine
Extrema	Minimum bei $\left( -1, -\frac{\pi}{2} \right)$ Maximum bei $\left( 1, \frac{\pi}{2} \right)$
Wendepunkte	keine

Die Ableitung von Arkuskosekans lautet:

\Bigl[ \arccsc(x) \Bigr]' = \frac{d}{dx} \arccsc(x) = \frac{-1}{x^2 \cdot \sqrt{1 - \frac{1}{x^2}}}

Die Stammfunktion von Arkuskosekans lautet:

\int{\arccsc(x)\ dx} = x \cdot \arccsc(x) + \ln\left( \sqrt{x^2-1} + x \right) {\color{lightgray}{} + \mathcal{C}}

Die Reihenentwicklung von Arkuskosekans ist

\begin{align*} \arccsc(x) &= \sum\limits_{k=1}^{\infty}{\frac{{\left( \frac{1}{2} \right)}_{n-1}}{(2n-1) \cdot (n-1)!} \cdot x^{1-2k}} \\[0.75em] &= \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{(2k-1)!!}{(2k+1) \cdot (2k)!!} \cdot x^{-1-2k}} \\[0.75em] &= x^{-1} + \frac{1}{6} x^{-3} + \frac{3}{40} x^{-5} + \frac{5}{112} x^{-7} + \ldots \end{align*}