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Arkuskosekans (Funktion)

Die Arkuskosekans-Funktion (abgekürzt: arccsc, acsc; manchmal auch csc-1) gehört zu den Arkusfunktionen und ist die Umkehrfunktion der Kosekans-Funktion. Sie ist eine elementare mathematische Funktion und wird beispielsweise in der Trigonometrie verwendet (z. B. bei der Bestimmung von Winkeln, falls der Kosekans des Winkels bekannt ist), aber auch in der Physik und in verschiedenen Ingenieurswissenschaften.

Definition

Bei der Arkuskosekans-Funktion (abgekürzt: arccsc, acsc; manchmal auch csc-1) handelt es sich um die Umkehrfunktion der Kosekans-Funktion. Sie ordnet dem Kosekans eines Winkels wieder den ursprünglichen Winkel zu. (Hinweis: Da die Kosekans-Funktion periodisch und nicht bijektiv ist, wird sie auf das Intervall $\bigl[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \bigr]$ eingeschränkt, damit sie umgekehrt werden kann.)

Die Arkuskosekans-Funktion kann wie folgt formal definiert werden (mit $x,\varphi \in \R$):

\[ \arccsc(x) = \varphi \quad\Leftrightarrow\quad \csc(\varphi) = x. \]

Hierbei gilt:

  • Die Arkuskosekans-Funktion ist nur für Werte $x \in \R$ mit $-\infty \lt x \leq -1$ bzw. $1 \leq x \lt \infty$ definiert, da die Kosekans-Funktion keine Funktionswerte im Intervall $\bigl( -1,1 \bigr)$ annimmt.
  • Bei $\arccsc(x)$ handelt es sich um einen Winkel $\varphi \in \R$ im Intervall $\bigl[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \bigr]$, aber nie um den Wert $0$, da der Kosekans für $0$ nicht definiert ist.

Zusammengefasst: Die Arkuskosekans-Funktion $\arccsc(x)$ gibt den Winkel $\varphi$ im Intervall $\bigl[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \bigr]$ an, für den der Kosekans den Wert $x$ annimmt.

Funktionsgraph

Funktionsgraph der Arkuskosekans-Funktion arccsc(x)
Funktionsgraph der Arkuskosekans-Funktion $\arccsc(x)$

Eigenschaften

Die Arkuskosekans-Funktion besitzt die folgenden Eigenschaften:

Definitionsbereich
  • $-\infty \lt x \leq -1$
  • $1 \leq x \lt \infty$
Wertebereich
  • $-\frac{\pi}{2} \leq \arccsc(x) \leq \frac{\pi}{2}$
  • $\arccsc(x) \neq 0$
Periodizität
  • keine
Monotonie
  • streng monoton fallend für $x \leq -1$
  • streng monoton fallend für $x \geq 1$
Krümmung
  • streng konkav für $x \leq -1$
  • streng konvex für $x \geq 1$
Symmetrien
  • punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung
  • ungerade Funktion
Asymptoten
  • $\arccsc(x) \rightarrow 0$ für $x \rightarrow \pm\infty$
Nullstellen
  • keine
Sprungstellen
  • keine
Polstellen
  • keine
Extremstellen
  • globales Minimum bei $\left( -1, -\frac{\pi}{2} \right)$
  • globales Maximum bei $\left( 1, \frac{\pi}{2} \right)$
Wendepunkte
  • keine

Ableitung

Hauptartikel: Arkuskosekans (Ableitungsregel)

Die Ableitung der Arkuskosekans-Funktion ist für alle reellen Zahlen $x \in \R$ mit $|x| \geq 1$ wie folgt definiert:

\begin{align*} {\Bigl[ \arccsc(x) \Bigr]}' &= \frac{d}{dx} \Bigl[ \arccsc(x) \Bigr] \\[0.75em] &= \frac{-1}{x^2 \cdot \sqrt{1 - \frac{1}{x^2}}} \\[0.75em] &= \frac{-1}{|x| \cdot \sqrt{x^2-1}} \end{align*}

Stammfunktion

Hauptartikel: Arkuskosekans (Integrationsregel)

Die Stammfunktion der Arkuskosekans-Funktion lautet:

\[ \int{\arccsc(x)\ dx} = x \cdot \arccsc(x) + \ln\left( \sqrt{x^2-1} + x \right) + \mathcal{C} \]

Reihenentwicklung

Hauptartikel: Arkuskosekans (Reihenentwicklung)

Die Arkuskosekans-Funktion besitzt die folgende Reihenentwicklung:

\begin{align*} \arccsc(x) &= \sum\limits_{k=1}^{\infty}{\frac{{\left( \frac{1}{2} \right)}_{n-1}}{(2n-1) \cdot (n-1)!} \cdot x^{1-2k}} \\[0.75em] &= \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{(2k-1)!!}{(2k+1) \cdot (2k)!!} \cdot x^{-1-2k}} \\[0.75em] &= x^{-1} + \frac{1}{6} x^{-3} + \frac{3}{40} x^{-5} + \frac{5}{112} x^{-7} + \ldots \end{align*}

Identitäten

Mithilfe der folgenden Formeln kann die Arkuskosekans-Funktion durch die anderen Arkusfunktionen dargestellt werden:

\begin{align*} \arccsc(x) &= \arcsin\left( \frac{1}{x} \right) \\[0.75em] &= \frac{\pi}{2} - \arccos\left( \frac{1}{x} \right) \\[0.75em] &= \arctan\left( \frac{\sgn(x)}{\sqrt{x^2-1}} \right) \\[0.75em] &= \frac{\pi}{2} - \arccot\left( \frac{\sgn(x)}{\sqrt{x^2-1}} \right) \\[0.75em] &= \frac{\pi}{2} - \arcsec(x) \end{align*}

Bei $\sgn$ handelt es sich hierbei um die Vorzeichenfunktion.