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Kosekans (Funktion)

Die Kosekans-Funktion (abgekürzt: csc) gehört zu den trigonometrischen Funktionen. Sie ist eine elementare mathematische Funktion und spielt unter anderem in verschiedenen Bereichen der Mathematik (z. B. in der Geometrie), in der Physik, in der Technik sowie in verschiedenen Ingenieurswissenschaften eine Rolle. Wie alle trigonometrischen Funktionen beschreibt die Kosekans-Funktion eine Beziehung zwischen den Winkeln eines rechtwinkligen Dreiecks und den Verhältnissen der Seitenlängen – genauer gesagt handelt es sich beim Kosekans eines Winkels um das Verhältnis von Hypotenuse zu Gegenkathete, was alternativ auch als der Kehrwert des Sinus dargestellt werden kann. Die zur Kosekans-Funktion zugehörige Umkehrfunktion ist die Arkuskosekans-Funktion.

Definition

Die Kosekans-Funktion (abgekürzt: csc) gehört zu den trigonometrischen Funktionen. In einem rechtwinkligen Dreieck beschreibt sie für einen gegebenen Winkel $\varphi \in \R$ das Verhältnis von Hypotenuse zu Gegenkathete.

\csc(\varphi) = \frac{\text{Hypotenuse}}{\text{Gegenkathete}}

Für reelle Zahlen $x \in \R$ kann die Kosekans-Funktion ebenfalls als Kehrwert der Sinus-Funktion definiert werden.

\csc(x) = \frac{1}{\sin(x)}

Die Kosekans-Funktion ist eine periodische Funktion und hat eine Periodenlänge von $2\pi$. Sie ist an den Stellen $k\pi$ (mit $k \in \Z$) nicht definiert, da der Sinus dort den Wert null annimmt.

Funktionsgraph

Eigenschaften

Die Kosekans-Funktion besitzt die folgenden Eigenschaften:

Definitionsbereich	$-\infty \lt x \lt \infty$ $x \neq k\pi$ (mit $k \in \Z$)
Wertebereich	$-\infty \lt \csc(x) \leq -1$ $1 \leq \csc(x) \lt \infty$
Periodizität	periodisch mit Periodenlänge $2\pi$
Monotonie	streng monoton fallend für $2k\pi \lt x \leq 2k\pi+\frac{\pi}{2}$ (mit $k \in \Z$) streng monoton steigend für $2k\pi + \frac{\pi}{2} \leq x \lt 2k\pi + \pi$ (mit $k \in \Z$) streng monoton steigend für $2k\pi + \pi \lt x \leq 2k\pi + \frac{3\pi}{2}$ (mit $k \in \Z$) streng monoton fallend für $2k\pi + \frac{3\pi}{2} \leq x \lt 2k\pi + 2\pi$ (mit $k \in \Z$)
Krümmung	streng konvex für $2k\pi \lt x \lt 2k\pi + \pi$ (mit $k \in \Z$) streng konkav für $2k\pi + \pi \lt x \lt 2k\pi + 2\pi$ (mit $k \in \Z$)
Symmetrien	punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung ungerade Funktion
Asymptoten	senkrechte Asymptoten bei den Polstellen
Nullstellen	keine
Sprungstellen	keine
Polstellen	$x = k\pi$ (mit $k \in \Z$)
Extremstellen	Minimum bei $x = 2k\pi + \frac{\pi}{2}$ (mit $k \in \Z$) Maximum bei $x = 2k\pi + \frac{3\pi}{2}$ (mit $k \in \Z$)
Wendepunkte	keine

Ableitung

Hauptartikel: Kosekans (Ableitungsregel)

Die Ableitung der Kosekans-Funktion ist für alle reellen Zahlen $x \in \R$ mit $x \neq k\pi$ (für $k \in \Z$) wie folgt definiert:

\begin{align*} {\Bigl[ \csc(x) \Bigr]}' &= \frac{d}{dx} \Bigl[ \csc(x) \Bigr] \\[0.75em] &= -\frac{\cos(x)}{\sin^2(x)} \\[0.75em] &= -\frac{\csc^2(x)}{\sec(x)} \\[0.75em] &= -\frac{\cot(x)}{\sin(x)} \\[0.75em] &= -\csc(x) \cdot \cot(x) \end{align*}

Stammfunktion

Hauptartikel: Kosekans (Integrationsregel)

Die Stammfunktion der Kosekans-Funktion lautet:

\begin{align*} \int{\csc(x)\ dx} &= \ln\left| \frac{\sin(x)}{1 + \cos(x)} \right| + \mathcal{C} \\[0.75em] &= \ln\left| \tan\left( \frac{x}{2} \right) \right| + \mathcal{C} \end{align*}

Weitere Stammfunktionen:

\begin{align*} \int{\csc^n(x)\ dx} &= -\frac{1}{n-1} \cdot \cot(x) \cdot \csc^{n-2}(x) + \frac{n-2}{n-1} \cdot \int{\csc^{n-2}(x)\ dx} + \mathcal{C} \\[1.5em] \int{\csc^{-1}(x)\ dx} &= \int{\frac{1}{\csc(x)}\ dx} \\[0.75em] &= -\cos(x) + \mathcal{C} \\[1.5em] \int{\csc^{-n}(x)\ dx} &= \int{\frac{1}{\csc^n(x)}\ dx} \\[0.75em] &= -\frac{1}{n} \cdot \cos(x) \cdot \csc^{-n+1}(x) + \frac{n-1}{n} \cdot \int{\csc^{-n+2}(x)\ dx} + \mathcal{C} \end{align*}

Reihenentwicklung

Hauptartikel: Kosekans (Reihenentwicklung)

Die Kosekans-Funktion besitzt die folgende Reihenentwicklung:

\begin{align*} \csc(x) &= \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{{(-1)}^{k+1} \cdot 2 \cdot \left( 2^{2k-1} - 1\right) \cdot B_{2k}}{(2k)!} \cdot x^{2k-1}} \\[0.75em] &= \frac{1}{x} + \frac{1}{6} x + \frac{7}{360} x^3 + \frac{31}{15120} x^5 + \ldots \end{align*}

Identitäten

Mithilfe der folgenden Formeln kann die Kosekans-Funktion durch die anderen trigonometrischen Funktionen dargestellt werden:

\begin{align*} \csc(x) &= \frac{1}{\sin(x)} \\[0.75em] &= \pm \frac{1}{\sqrt{1 - \cos^2(x)}} \\[0.75em] &= \pm \frac{\sqrt{\tan^2(x) + 1}}{\bigl| \tan(x) \bigr|} \\[0.75em] &= \pm \sqrt{\cot^2(x) + 1} \\[0.75em] &= \pm \frac{\bigl| \sec(x) \bigr|}{\sqrt{\sec^2(x) - 1}} \end{align*}

An den Stellen, an denen $\pm$ verwendet wird, gilt (mit $k \in \Z$):

für $2k\pi \lt x \lt 2k\pi + \pi$ muss als Vorzeichen $+$ verwendet werden;
für $2k\pi + \pi \lt x \lt 2k\pi + 2\pi$ muss als Vorzeichen $-$ verwendet werden.