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Kosekans

Kosekans (abgekürzt: $\csc$) gehört zu den trigonometrischen Funktionen.

Inhalt

Definition

Die Funktion lässt sich durch die folgende Formel ausdrücken:

\csc(x) := \frac{1}{\sin(x)}

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Graph der Kosekansfunktion $\csc(x)$

Definitionsbereich	$-\infty \lt x \lt \infty$; $x \neq k \cdot \pi$ (mit $k \in \Z$)
Wertebereich	$-\infty \lt \csc(x) \leq -1$; $1 \leq \csc(x) \lt \infty$
Periodizität	Periodisch mit Periodenlänge $2\pi$ $\csc(x+2\pi) = \csc(x)$
Monotonie	streng monoton fallend für $2k \cdot \pi \lt x \leq \left( 2k+\frac{1}{2} \right) \cdot \pi$ ($k \in \Z$) streng monoton steigend für $\left( 2k+\frac{1}{2} \right) \cdot \pi \leq x \left( 2k+1 \right) \cdot \pi$ ($k \in \Z$) streng monoton steigend für $\left( 2k+1 \right) \cdot \pi \lt x \leq \left( 2k+\frac{3}{2} \right) \cdot \pi$ ($k \in \Z$) streng monoton fallend für $\left( 2k+\frac{3}{2} \right) \cdot \pi \leq x \lt \left( 2k+2 \right) \cdot \pi$ ($k \in \Z$)
Krümmung	streng konvex für $2k \cdot \pi \lt x \lt \left( 2k+1 \right) \cdot \pi$ ($k \in \Z$) streng konkav für $\left( 2k+1 \right) \cdot \pi \lt x \lt \left( 2k+2 \right) \cdot \pi$ ($k \in \Z$)
Symmetrien	Punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung ungerade Funktion
Asymptoten	Senkrechte Asymptoten bei den Polstellen
Nullstellen	keine
Sprungstellen	keine
Polstellen	$x = k \cdot \pi$ (mit $k \in \Z$)
Extrema	Minimum bei $x = \left( 2k+\frac{1}{2} \right) \cdot \pi$ Maximum bei $x = \left( 2k+\frac{3}{2} \right) \cdot \pi$
Wendepunkte	keine

Die Ableitung von Kosekans lautet:

\Bigl[ \csc(x) \Bigr]' = \frac{d}{dx} \csc(x) = -\frac{\cos(x)}{\sin^2(x)} = -\frac{\csc^2(x)}{\sec(x)} = -\frac{\cot(x)}{\sin(x)} = -\csc(x) \cdot \cot(x)

Die Stammfunktion von Kosekans lautet:

\begin{align*} \int{\csc(x)\ dx} &= \ln\left| \frac{\sin(x)}{1 + \cos(x)} \right| {\color{lightgray}{} + \mathcal{C}} \\[0.75em] &= \ln\left| \tan\left( \frac{x}{2} \right) \right| {\color{lightgray}{} + \mathcal{C}} \end{align*}

Weitere Stammfunktionen:

\begin{align*} \int{\csc^n(x)\ dx} &= -\frac{1}{n-1} \cdot \cot(x) \cdot \csc^{n-2}(x) + \frac{n-2}{n-1} \int{\csc^{n-2}(x)\ dx} {\color{lightgray}{} + \mathcal{C}} \\[0.75em] \int{\frac{1}{\csc(x)}\ dx} = \int{\csc^{-1}(x)\ dx} &= -\cos(x) {\color{lightgray}{} + \mathcal{C}} \\[0.75em] \int{\frac{1}{\csc^n(x)}\ dx} = \int{\csc^{-n}(x)\ dx} &= TODO {\color{lightgray}{} + \mathcal{C}} \end{align*}

Die Reihenentwicklung von Kosekans ist

\begin{align*} \csc(x) &= \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{{(-1)}^{k+1} \cdot 2 \cdot \left( 2^{2k-1} - 1\right) \cdot B_{2k}}{(2k)!} \cdot x^{2k-1}} \\[0.75em] &= \frac{1}{x} + \frac{1}{6} x + \frac{7}{360} x^3 + \frac{31}{15120} x^5 + \ldots \end{align*}