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Arkuskosinus

Arkuskosinus (abgekürzt: $\arccos$, $\acos$; manchmal auch $\cos^{-1}$) gehört zu den Arkusfunktionen und ist die Umkehrfunktion von Kosinus.

Inhalt

Definition

Die Funktion lässt sich durch die folgende Formel ausdrücken:

\[ \]

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Graph der Arkuskosinusfunktion $\arccos(x)$

Definitionsbereich	$-1 \leq x \leq 1$
Wertebereich	$0 \leq \arccos(x) \leq \pi$
Periodizität	keine
Monotonie	streng monoton fallend
Krümmung	streng konvex für $x \leq 0$ streng konkav für $x \geq 0$
Symmetrien	Punktsymmetrisch zum Punkt $\left(0, \frac{\pi}{2} \right)$
Asymptoten	$\arccos(x) \rightarrow \pi$ für $x \rightarrow -1$ $\arccos(x) \rightarrow 0$ für $x \rightarrow 1$
Nullstellen	$x_0=1$
Sprungstellen	keine
Polstellen	keine
Extrema	keine
Wendepunkte	$x_0=0$

Die Ableitung von Arkuskosinus lautet:

\Bigl[ \arccos(x) \Bigr]' = \frac{d}{dx} \arccos(x) = \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}

Die Stammfunktion von Arkuskosinus lautet:

\int{\arccos(x)\ dx} = x \cdot \arccos(x) - \sqrt{1-x^2} {\color{lightgray}{} + \mathcal{C}}

Weitere Stammfunktionen:

\int{\arccos^n(x)\ dx} = x \cdot \arccos^n(x) - n \cdot \sqrt{1-x^2} \cdot \arccos^{n-1}(x) - n \cdot (n-1) \cdot \int{\arccos^{n-2}(x)\ dx} {\color{lightgray}{} + \mathcal{C}}

Die Reihenentwicklung von Arkuskosinus ist

\begin{align*} \arccos(x) &= \frac{\pi}{2} - \sum\limits_{k=1}^{\infty}{\frac{{\left( \frac{1}{2} \right)}_{n-1}}{(2k-1) \cdot (k-1)!} \cdot x^{2k-1}} \\[0.75em] &= \frac{\pi}{2} - \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{(2k-1)!!}{(2k+1) \cdot (2k)!!} \cdot x^{2k+1}} \\[0.75em] &= \frac{\pi}{2} - \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\binom{2k}{k} \cdot \frac{1}{(2k+1) \cdot 4^k} \cdot x^{2k+1}} \\[0.75em] &= \frac{\pi}{2} - x - \frac{1}{6} x^3 - \frac{3}{40} x^5 - \frac{5}{112} x^7 - \frac{35}{1152} x^9 + \ldots \end{align*}