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Arkuskosinus (Funktion)

Die Arkuskosinus-Funktion (abgekürzt: arccos, acos; manchmal auch cos^-1) gehört zu den Arkusfunktionen und ist die Umkehrfunktion der Kosinus-Funktion. Sie ist eine elementare mathematische Funktion und wird beispielsweise in der Trigonometrie verwendet (z. B. bei der Bestimmung von Winkeln, falls der Kosinus des Winkels bekannt ist), aber auch in der Physik und in verschiedenen Ingenieurswissenschaften.

Definition

Bei der Arkuskosinus-Funktion (abgekürzt: arccos, acos; manchmal auch cos^-1) handelt es sich um die Umkehrfunktion der Kosinus-Funktion. Sie ordnet dem Kosinus eines Winkels wieder den ursprünglichen Winkel zu. (Hinweis: Da die Kosinus-Funktion periodisch und nicht bijektiv ist, wird sie auf das Intervall $\bigl[ 0, \pi \bigr]$ eingeschränkt, damit sie umgekehrt werden kann.)

Die Arkuskosinus-Funktion kann wie folgt formal definiert werden (mit $x,\varphi \in \R$):

\arccos(x) = \varphi \quad\Leftrightarrow\quad \cos(\varphi) = x.

Hierbei gilt:

Die Arkuskosinus-Funktion ist nur für Werte $x \in \R$ mit $-1 \leq x \leq 1$ definiert, da die Kosinus-Funktion keine Funktionswerte außerhalb des Intervalls $\bigl[ -1,1 \bigr]$ annimmt.
Bei $\arccos(x)$ handelt es sich um einen Winkel $\varphi \in \R$ im Intervall $\bigl[ 0, \pi \bigr]$.

Zusammengefasst: Die Arkuskosinus-Funktion $\arccos(x)$ gibt den Winkel $\varphi$ im Intervall $\bigl[ 0, \pi \bigr]$ an, für den der Kosinus den Wert $x$ annimmt.

Funktionsgraph

Eigenschaften

Die Arkuskosinus-Funktion besitzt die folgenden Eigenschaften:

Definitionsbereich	$-1 \leq x \leq 1$
Wertebereich	$0 \leq \arccos(x) \leq \pi$
Periodizität	keine
Monotonie	streng monoton fallend
Krümmung	streng konvex für $x \leq 0$ streng konkav für $x \geq 0$
Symmetrien	punktsymmetrisch zum Punkt $\left(0, \frac{\pi}{2} \right)$
Asymptoten	keine
Nullstellen	$x_0=1$
Sprungstellen	keine
Polstellen	keine
Extremstellen	keine
Wendepunkte	$x_0=0$

Ableitung

Hauptartikel: Arkuskosinus (Ableitungsregel)

Die Ableitung der Arkuskosinus-Funktion ist für alle reellen Zahlen $x \in \R$ mit $-1 \lt x \lt 1$ wie folgt definiert:

\begin{align*} {\Bigl[ \arccos(x) \Bigr]}' &= \frac{d}{dx} \Bigl[ \arccos(x) \Bigr] \\[0.75em] &= \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}} \end{align*}

Stammfunktion

Hauptartikel: Arkuskosinus (Integrationsregel)

Die Stammfunktion der Arkuskosinus-Funktion lautet:

\int{\arccos(x)\ dx} = x \cdot \arccos(x) - \sqrt{1-x^2} + \mathcal{C}

Weitere Stammfunktionen:

\int{\arccos^n(x)\ dx} = x \cdot \arccos^n(x) - n \cdot \sqrt{1-x^2} \cdot \arccos^{n-1}(x) - n \cdot (n-1) \cdot \int{\arccos^{n-2}(x)\ dx} + \mathcal{C}

Reihenentwicklung

Hauptartikel: Arkuskosinus (Reihenentwicklung)

Die Arkuskosinus-Funktion besitzt die folgende Reihenentwicklung:

\begin{align*} \arccos(x) &= \frac{\pi}{2} - \sum\limits_{k=1}^{\infty}{\frac{{\left( \frac{1}{2} \right)}_{n-1}}{(2k-1) \cdot (k-1)!} \cdot x^{2k-1}} \\[0.75em] &= \frac{\pi}{2} - \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{(2k-1)!!}{(2k+1) \cdot (2k)!!} \cdot x^{2k+1}} \\[0.75em] &= \frac{\pi}{2} - \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\binom{2k}{k} \cdot \frac{1}{(2k+1) \cdot 4^k} \cdot x^{2k+1}} \\[0.75em] &= \frac{\pi}{2} - x - \frac{1}{6} x^3 - \frac{3}{40} x^5 - \frac{5}{112} x^7 - \frac{35}{1152} x^9 - \ldots \end{align*}

Identitäten

Mithilfe der folgenden Formeln kann die Arkuskosinus-Funktion durch die anderen Arkusfunktionen dargestellt werden:

\begin{align*} \arccos(x) &= \frac{\pi}{2} - \arcsin\left( x \right) \\[0.75em] &= \frac{\pi}{2} - \arctan\left( \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \right) \\[0.75em] &= \arccot\left( \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \right) \\[0.75em] &= \arcsec\left( \frac{1}{x} \right) \\[0.75em] &= \frac{\pi}{2} - \arccsc\left( \frac{1}{x} \right) \end{align*}