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Kosinus

Kosinus (abgekürzt: $\cos$) gehört zu den trigonometrischen Funktionen.

Inhalt

Definition

Die Funktion lässt sich durch die folgende Formel ausdrücken:

\[ \]

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Graph der Kosinusfunktion $\cos(x)$

Definitionsbereich	$-\infty \lt x \lt \infty$
Wertebereich	$-1 \leq \cos(x) \leq 1$
Periodizität	Periodisch mit Periodenlänge $2\pi$ $\cos(x+2\pi) = \cos(x)$
Monotonie	streng monoton fallend für $2n \cdot \pi \leq x \leq \left(2n+1 \right) \cdot \pi$ streng monoton steigend für $\left(2n+1 \right) \cdot \pi \leq x \leq \left(2n+2 \right) \cdot \pi$
Krümmung	streng konkav für $2n \cdot \pi \leq x \leq \left(2n + \frac{1}{2} \right) \cdot \pi$ streng konvex für $\left(2n + \frac{1}{2} \right) \cdot \pi \leq x \leq \left(2n + \frac{3}{2} \right) \cdot \pi$ streng konkav für $\left(2n + \frac{3}{2} \right) \cdot \pi \leq x \leq \left(2n + 2 \right) \cdot \pi$
Symmetrien	Achsensymmetrisch zur Ordinate gerade Funktion
Asymptoten	keine
Nullstellen	$x = \left(n + \frac{1}{2} \right) \cdot \pi$
Sprungstellen	keine
Polstellen	keine
Extrema	Maximum bei $x = 2n \cdot \pi$ Minimum bei $x = \left( 2n+1 \right) \cdot \pi$
Wendepunkte	$x_1 = \left( 2n + \frac{1}{2} \right) \cdot \pi$ $x_2 = \left( 2n + \frac{3}{2} \right) \cdot \pi$

Die Ableitung von Kosinus lautet:

\Bigl[ \cos(x) \Bigr]' = \frac{d}{dx} \cos(x) = -\sin(x)

Die Stammfunktion von Kosinus lautet:

\int{\cos(x)\ dx} = \sin(x) {\color{lightgray}{} + \mathcal{C}}

Weitere Stammfunktionen:

\begin{align*} \int{\cos^n(x)\ dx} &= \frac{1}{n} \cdot \sin(x) \cdot \cos^{n-1}(x) + \frac{n-1}{n} \int{\cos^{n-2}(x)\ dx} {\color{lightgray}{} + \mathcal{C}} \\[0.75em] \int{\frac{1}{\cos(x)}\ dx} = \int{\cos^{-1}(x)\ dx} &= \frac{1}{2} \ln \left| \sin(x) + 1 \right| - \frac{1}{2} \ln \left| \sin(x) - 1 \right| {\color{lightgray}{} + \mathcal{C}} \\[0.75em] \int{\frac{1}{\cos^n(x)}\ dx} = \int{\cos^{-n}(x)\ dx} &= \frac{\sin(x)}{(n-1) \cdot \cos^{n-1}(x)} + \frac{n-2}{n-1} \cdot \int{\frac{1}{\cos^{n-2}(x)}\ dx} {\color{lightgray}{} + \mathcal{C}} \end{align*}

Die Reihenentwicklung von Kosinus ist

\begin{align*} \cos(x) &= \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{{(-1)}^k}{(2k)!} \cdot x^{2k}} \\[0.75em] &= 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \frac{x^8}{8!} - \frac{x^{10}}{10!} + \ldots \end{align*}