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Kosinus (Funktion)

Die Kosinus-Funktion (abgekürzt: cos) ist eine der wichtigsten trigonometrischen Funktionen. Sie ist eine elementare mathematische Funktion und spielt unter anderem in verschiedenen Bereichen der Mathematik (z. B. in der Geometrie), in der Physik, in der Technik sowie in verschiedenen Ingenieurswissenschaften eine Rolle. Wie alle trigonometrischen Funktionen beschreibt die Kosinus-Funktion eine Beziehung zwischen den Winkeln eines rechtwinkligen Dreiecks und den Verhältnissen der Seitenlängen – genauer gesagt handelt es sich beim Kosinus eines Winkels um das Verhältnis von Ankathete zu Hypotenuse. Durch ihre periodische Natur eignet sie sich zudem hervorragend zur Modellierung von zyklisch verlaufenden Prozessen, beispielsweise von Wellenbewegungen oder Schwingungen. Die zur Kosinus-Funktion zugehörige Umkehrfunktion ist die Arkuskosinus-Funktion.

Definition

Die Kosinus-Funktion (abgekürzt: cos) gehört zu den trigonometrischen Funktionen. In einem rechtwinkligen Dreieck beschreibt sie für einen gegebenen Winkel $\varphi \in \R$ das Verhältnis von Ankathete zu Hypotenuse.

\cos(\varphi) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}

Alternativ kann die Kosinus-Funktion mithilfe des Einheitskreises beschrieben werden. Für einen Winkel $\varphi \in \R$, der von der positiven $x$-Achse aus gemessen wird, beschreibt der Kosinus des Winkels $\varphi$ die $x$-Koordinate des Punkts auf dem Einheitskreis, der durch $\varphi$ erreicht wird (Hinweis: Der Einheitskreis ist der Kreis mit Radius 1, dessen Mittelpunkt im Ursprung des Koordinatensystems liegt.)

\cos(\varphi) = x

Für alle reellen Zahlen $x \in \R$ kann die Kosinus-Funktion alternativ auch durch eine Potenzreihe dargestellt bzw. definiert werden.

\cos(x) = \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{{(-1)}^k}{(2k)!} \cdot x^{2k}}

Die Kosinus-Funktion ist eine periodische Funktion und hat eine Periodenlänge von $2\pi$. Sie ist für alle reellen Zahlen definiert.

Funktionsgraph

Eigenschaften

Die Kosinus-Funktion besitzt die folgenden Eigenschaften:

Definitionsbereich	$-\infty \lt x \lt \infty$
Wertebereich	$-1 \leq \cos(x) \leq 1$
Periodizität	periodisch mit Periodenlänge $2\pi$
Monotonie	streng monoton fallend für $2k\pi \leq x \leq 2n\pi + \pi$ (mit $k \in \Z$) streng monoton steigend für $2k\pi + \pi \leq x \leq 2k\pi + 2\pi$ (mit $k \in \Z$)
Krümmung	streng konkav für $2k\pi \leq x \leq 2k\pi + \frac{\pi}{2}$ (mit $k \in \Z$) streng konvex für $2k\pi + \frac{\pi}{2} \leq x \leq 2k\pi + \frac{3\pi}{2}$ (mit $k \in \Z$) streng konkav für $2k\pi + \frac{3\pi}{2} \leq x \leq 2k\pi + 2\pi$ (mit $k \in \Z$)
Symmetrien	achsensymmetrisch zur $y$-Achse gerade Funktion
Asymptoten	keine
Nullstellen	$x = k\pi + \frac{\pi}{2}$ (mit $k \in \Z$)
Sprungstellen	keine
Polstellen	keine
Extremstellen	Maximum bei $x = 2k\pi$ (mit $k \in \Z$) Minimum bei $x = 2k\pi + \pi$ (mit $k \in \Z$)
Wendepunkte	$x_1 = 2k\pi + \frac{\pi}{2}$ (mit $k \in \Z$) $x_2 = 2k\pi + \frac{3\pi}{2}$ (mit $k \in \Z$)

Ableitung

Hauptartikel: Kosinus (Ableitungsregel)

Die Ableitung der Kosinus-Funktion ist für alle reellen Zahlen $x \in \R$ wie folgt definiert:

\begin{align*} {\Bigl[ \cos(x) \Bigr]}' &= \frac{d}{dx} \Bigl[ \cos(x) \Bigr] \\[0.75em] &= -\sin(x) \end{align*}

Stammfunktion

Hauptartikel: Kosinus (Integrationsregel)

Die Stammfunktion der Kosinus-Funktion lautet:

\int{\cos(x)\ dx} = \sin(x) + \mathcal{C}

Weitere Stammfunktionen:

\begin{align*} \int{\cos^n(x)\ dx} &= \frac{1}{n} \cdot \sin(x) \cdot \cos^{n-1}(x) + \frac{n-1}{n} \cdot \int{\cos^{n-2}(x)\ dx} + \mathcal{C} \\[1.5em] \int{\cos^{-1}(x)\ dx} &= \int{\frac{1}{\cos(x)}\ dx} \\[0.75em] &= \frac{1}{2} \cdot \ln \bigl| \sin(x) + 1 \bigr| - \frac{1}{2} \cdot \ln \bigl| \sin(x) - 1 \bigr| + \mathcal{C} \\[1.5em] \int{\cos^{-n}(x)\ dx} &= \int{\frac{1}{\cos^n(x)}\ dx} \\[0.75em] &= \frac{1}{(n-1)} \cdot \sin(x) \cdot \cos^{-n+1}(x) + \frac{n-2}{n-1} \cdot \int{\cos^{-n+2}(x)\ dx} + \mathcal{C} \end{align*}

Reihenentwicklung

Hauptartikel: Kosinus (Reihenentwicklung)

Die Kosinus-Funktion besitzt die folgende Reihenentwicklung:

\begin{align*} \cos(x) &= \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{{(-1)}^k}{(2k)!} \cdot x^{2k}} \\[0.75em] &= 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \frac{x^8}{8!} - \frac{x^{10}}{10!} + \ldots \end{align*}

Identitäten

Mithilfe der folgenden Formeln kann die Kosinus-Funktion durch die anderen trigonometrischen Funktionen dargestellt werden:

\begin{align*} \cos(x) &= \pm \sqrt{1 - \sin^2(x)} \\[0.75em] &= \pm \frac{1}{\sqrt{\tan^2(x) + 1}} \\[0.75em] &= \pm \frac{\bigl| \cot(x) \bigr|}{\sqrt{\cot^2(x) + 1}} \\[0.75em] &= \frac{1}{\sec(x)} \\[0.75em] &= \pm \frac{\sqrt{\csc^2(x) - 1}}{\bigl| \csc(x) \bigr|} \end{align*}

An den Stellen, an denen $\pm$ verwendet wird, gilt (mit $k \in \Z$):

für $2k\pi \leq x \leq 2k\pi + \frac{\pi}{2}$ muss als Vorzeichen $+$ verwendet werden;
für $2k\pi + \frac{\pi}{2} \leq x \leq 2k\pi + \frac{3\pi}{2}$ muss als Vorzeichen $-$ verwendet werden;
für $2k\pi + \frac{3\pi}{2} \leq x \leq 2k\pi + 2\pi$ muss als Vorzeichen $+$ verwendet werden.