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Arkuskosinus (Integrationsregel)

Die Stammfunktion der Arkuskosinus-Funktion (abgekürzt: arccos, acos) lässt sich mithilfe von partieller Integration bestimmen. Dieser Artikel bietet eine detaillierte Schritt-für-Schritt-Herleitung der Stammfunktion, demonstriert deren Anwendung an einigen Beispielen und beschäftigt sich mit den Integrationsregeln für ganzzahlige Potenzen der Arkuskosinus-Funktion.

Grundlagen

Die Arkuskosinus-Funktion ist eine der Arkusfunktionen. Sie kann für alle reellen Zahlen $x \in \R$ mit $-1 \leq x \leq 1$ als Umkehrfunktion der Kosinus-Funktion formal wie folgt definiert werden (mit $y \in \R$ und $0 \leq y \leq \pi$):

\[ \arccos(x) = y \quad\Leftrightarrow\quad \cos(y) = x. \]

Integrationsregel

Die Stammfunktion der Arkuskosinus-Funktion (abgekürzt: arccos, acos) ist für alle $x \in \R$ mit $-1 \lt x \lt 1$ wie folgt definiert:

\[ \int{\arccos(x)\ dx} = x \cdot \arccos(x) - \sqrt{1 - x^2} + \mathcal{C} \]

Für Potenzen der Arkuskosinus-Funktion mit positiven ganzzahligen Exponenten $n \gt 1$ existiert darüber hinaus die folgende Integrationsregel:

\begin{align*} \int{\arccos^n(x)\ dx} &= x \cdot \arccos^n(x) - n \cdot \sqrt{1-x^2} \cdot \arccos^{n-1}(x) \\[0.5em] &\qquad {} - n \cdot (n-1) \cdot \int{\arccos^{n-2}(x)\ dx} \end{align*}

Hinweis: Bei $\mathcal{C}$ handelt es sich wie üblich um die Integrationskonstante. Für Potenzen der Arkuskosinus-Funktion mit negativen ganzzahligen Exponenten $n \leq -1$ existiert keine geschlossene Integrationsregel – diese sind nicht elementar integrierbar.

Beispiele

Beispiel 1

Gegeben sei die folgende Funktion, deren Stammfunktion mithilfe der Integrationsregel der Arkuskosinus-Funktion bestimmt werden soll:

\[ f(x) = \arccos(3x) \]

Mithilfe der Integration durch Substitution und der Faktorregel für Integrale ergibt sich für die gesuchte Stammfunktion von $f(x)$ die folgende Lösung. Hierbei wird $t=3x$ substituiert, woraus sich $dt = 3\ dx$ bzw. $dx = \frac{1}{3}\ dt$ ergibt.

\begin{align*} \int{f(x)\ dx} &= \int{\arccos(3x)\ dx} \\[0.75em] &= \int{\arccos(t) \cdot \frac{1}{3}\ dt} \\[0.75em] &= \frac{1}{3} \cdot \int{\arccos(t)\ dt} \\[0.75em] &= \frac{1}{3} \cdot \left( t \cdot \arccos(t) - \sqrt{1 - t^2} \right) \\[0.75em] &= \frac{1}{3} \cdot \left( 3x \cdot \arccos(3x) - \sqrt{1 - {(3x)}^2} \right) \\[0.75em] &= x \cdot \arccos(3x) - \frac{1}{3} \cdot \sqrt{1 - 9x^2} + \mathcal{C} \end{align*}

Beispiel 2

Gegeben sei die folgende Funktion, deren Stammfunktion mithilfe der Integrationsregel der Arkuskosinus-Funktion bestimmt werden soll:

\[ g(x) = \arccos\left(x^2\right) \cdot x \]

Mithilfe der Integration durch Substitution und der Faktorregel für Integrale ergibt sich für die gesuchte Stammfunktion von $g(x)$ die folgende Lösung. Hierbei wird $t=x^2$ substituiert, woraus sich $dt = 2x\ dx$ bzw. $x\ dx = \frac{1}{2}\ dt$ ergibt.

\begin{align*} \int{g(x)\ dx} &= \int{\arccos\left(x^2\right) \cdot x\ dx} \\[0.75em] &= \int{\arccos(t) \cdot \frac{1}{2}\ dt} \\[0.75em] &= \frac{1}{2} \cdot \int{\arccos(t)\ dt} \\[0.75em] &= \frac{1}{2} \cdot \left( t \cdot \arccos(t) - \sqrt{1 - t^2} \right) \\[0.75em] &= \frac{1}{2} \cdot \left( x^2 \cdot \arccos\bigl(x^2\bigr) - \sqrt{1 - x^4} \right) + \mathcal{C} \end{align*}

Beispiel 3

Gegeben sei die folgende Funktion, deren Stammfunktion mithilfe der Integrationsregel der Arkuskosinus-Funktion bestimmt werden soll:

\[ h(x) = \arccos^2(x) \]

Die Funktion $\arccos^2(x)$ kann nicht unmittelbar integriert werden, da hierfür keine explizite Integrationsregel existiert. Das Integral kann jedoch durch Anwenden der Rekursionsformel für $n \gt 1$ zunächst umgeformt (bzw. vereinfacht) und anschließend aufgelöst werden, nachdem der Exponent auf $0$ reduziert wurde. Es gilt:

\begin{align*} \int{h(x)\ dx} &\overset{\phantom{(n=2)}}{=} \int{\arccos^2(x)\ dx} \\[0.75em] &\overset{(n=2)}{=} x \cdot \arccos^2(x) - 2 \cdot \sqrt{1-x^2} \cdot \arccos(x) - 2 \cdot 1 \cdot \int{\arccos^0(x)\ dx} \\[0.75em] &\overset{(n=0)}{=} x \cdot \arccos^2(x) - 2 \cdot \sqrt{1-x^2} \cdot \arccos(x) - 2 \cdot \int{1\ dx} \\[0.75em] &\overset{\phantom{(n=0)}}{=} x \cdot \arccos^2(x) - 2 \cdot \sqrt{1-x^2} \cdot \arccos(x) - 2x + \mathcal{C} \end{align*}

Herleitung der Integrationsregel von arccos(x)

Die Herleitung der Integrationsregel bzw. der Stammfunktion der Arkuskosinus-Funktion erfolgt mithilfe von partieller Integration. Es gilt:

\begin{align*} \int{\arccos(x)\ dx} &\overset{(1)}{=} \int{1 \cdot \arccos(x)\ dx} \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} x \cdot \arccos(x) - \int{x \cdot \left( -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \right)\ dx} \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} x \cdot \arccos(x) - \int{\left( -\frac{1}{\sqrt{t}} \right) \cdot \left( -\frac{1}{2} \right)\ dt} \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} x \cdot \arccos(x) - \int{\frac{1}{2 \cdot \sqrt{t}}\ dt} \\[0.75em] &\overset{(5)}{=} x \cdot \arccos(x) - \sqrt{t} \\[0.75em] &\overset{(6)}{=} x \cdot \arccos(x) - \sqrt{1-x^2} + \mathcal{C} \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
  • Umschreiben von $\arccos(x)$ als Produkt $1 \cdot \arccos(x)$, um partielle Integration anwenden zu können
(2)
  • Anwenden von partieller Integration mit
    \begin{align*} u' &= 1 \\[0.75em] v &= \arccos(x) \end{align*}
  • Mithilfe der Ableitungsregel der Arkuskosinus-Funktion ergibt sich:
    \begin{align*} u &= x \\[0.75em] v' &= -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \end{align*}
  • Es gilt $\int{u'v} = uv - \int{uv'}$
(3)
  • Anwenden von Integration durch Substitution
  • Ersetzen von $t = 1 - x^2$
  • Mithilfe der Ableitungsregel für Potenzen ergibt sich:
    \begin{align*} dt &= -2x\ dx \\[0.75em] x\ dx &= -\frac{1}{2}\ dt \end{align*}
(4)
  • Zusammenfassen des Terms im Integral
(5)
(6)
  • Resubstitution von $t = 1-x^2$
  • Hinzufügen der Integrationskonstante $\mathcal{C}$

Herleitung der Integrationsregel von arccosn(x) für n > 1

Für positive ganzzahlige Exponenten $n \gt 1$ können Potenzen der Arkuskosinus-Funktion nicht direkt integriert werden, da hierfür keine explizite Integrationsregel existiert. Stattdessen kann eine Rekursionsformel hergeleitet werden, die das Integral $\int{\arccos^n(x)\ dx}$ auf das einfachere Integral $\int{\arccos^{n-2}(x)\ dx}$ zurückführt. Die Herleitung erfolgt mithilfe von partieller Integration.

\begin{align*} \int{\arccos^n(x)\ dx} &\overset{(1)}{=} \int{\arccos(x) \cdot \arccos^{n-1}(x)\ dx} \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} \left( x \cdot \arccos(x) - \sqrt{1-x^2} \right) \cdot \arccos^{n-1}(x) \\[0.5em] &\qquad - \int{\left( x \cdot \arccos(x) - \sqrt{1-x^2} \right) \cdot \bigl(-(n-1)\bigr) \cdot \arccos^{n-2}(x) \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\ dx} \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} x \cdot \arccos(x) \cdot \arccos^{n-1}(x) - \sqrt{1-x^2} \cdot \arccos^{n-1}(x) \\[0.5em] &\qquad + (n-1) \cdot \left( \int{\frac{x \cdot \arccos(x) \cdot \arccos^{n-2}(x)}{\sqrt{1-x^2}}\ dx} - \int{\frac{\sqrt{1-x^2} \cdot \arccos^{n-2}(x)}{\sqrt{1-x^2}}\ dx} \right) \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} x \cdot \arccos^n(x) - \sqrt{1-x^2} \cdot \arccos^{n-1}(x) \\[0.5em] &\qquad + (n-1) \cdot \int{\frac{x \cdot \arccos^{n-1}(x)}{\sqrt{1-x^2}}\ dx} - (n-1) \cdot \int{\arccos^{n-2}(x)\ dx} \\[0.75em] &\overset{(5)}{=} x \cdot \arccos^n(x) - \sqrt{1-x^2} \cdot \arccos^{n-1}(x) \\[0.5em] &\qquad + (n-1) \cdot \left( x \cdot \left(-\frac{1}{n}\right) \cdot \arccos^n(x) + \frac{1}{n} \cdot \int{\arccos^n(x)\ dx} \right) - (n-1) \cdot \int{\arccos^{n-2}(x)\ dx} \\[0.75em] &\overset{(6)}{=} \frac{1}{n} \cdot x \cdot \arccos^n(x) - \sqrt{1-x^2} \cdot \arccos^{n-1}(x) \\[0.5em] &\qquad + \frac{n-1}{n} \cdot \int{\arccos^n(x)\ dx} - (n-1) \cdot \int{\arccos^{n-2}(x)\ dx} \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
  • Umschreiben von $\arccos^n(x)$ zu $\arccos(x) \cdot \arccos^{n-1}(x)$ mithilfe von Potenzgesetz I-a
(2)
(3)
(4)
  • Zusammenfassen von $\arccos(x) \cdot \arccos^{n-1}(x)$ zu $\arccos^n(x)$ mithilfe von Potenzgesetz I-a
  • Zusammenfassen von $\arccos(x) \cdot \arccos^{n-2}(x)$ zu $\arccos^{n-1}(x)$ mithilfe von Potenzgesetz I-a
  • Kürzen von $\sqrt{1-x^2}$
  • Auflösen der Klammern
(5)
  • Umformen des Integrals $\int{\frac{x \cdot \arccos^{n-1}(x)}{\sqrt{1-x^2}}\ dx}$ durch partielle Integration mit
    \begin{align*} u &= x \\[0.75em] v' &= \frac{\arccos^{n-1}(x)}{\sqrt{1-x^2}} \end{align*}
  • Mithilfe der Ableitungsregel für Potenzen, der Integrationsregel der Potenzfunktion, der Umkehrung der Ableitungsregel der Arkuskosinus-Funktion und der Umkehrung der Kettenregel ergibt sich:
    \begin{align*} u' &= 1 \\[0.75em] v &= -\frac{1}{n} \cdot \arccos^n(x) \end{align*}
  • Es folgt
    \begin{align*} \int{uv'} &= uv - \int{u'v} \\[0.75em] &= x \cdot \left(-\frac{1}{n}\right) \cdot \arccos^n(x) \\[0.75em] &\qquad {} + \frac{1}{n} \cdot \int{\arccos^n(x)\ dx} \end{align*}
(6)
  • Ausmultiplizieren der Klammer
  • Zusammenfassen der Konstanten
  • Zusammenfassen der $x \cdot \arccos^n(x)$ Terme

In der gefundenen Formel taucht das Integral $\int{\arccos^n(x)\ dx}$ auf beiden Seiten mit unterschiedlicher Vielfachheit auf. Abschließendes Umstellen nach dem Integral liefert die gesuchte Rekursionsformel:

\begin{align*} \int{\arccos^n(x)\ dx} - \frac{n-1}{n} \cdot \int{\arccos^n(x)\ dx} &\overset{(7)}{=} \frac{1}{n} \cdot x \cdot \arccos^n(x) - \sqrt{1-x^2} \cdot \arccos^{n-1}(x) \\[0.5em] &\qquad - (n-1) \cdot \int{\arccos^{n-2}(x)\ dx} \\[0.75em] \frac{1}{n} \cdot \int{\arccos^n(x)\ dx} &\overset{(8)}{=} \frac{1}{n} \cdot x \cdot \arccos^n(x) - \sqrt{1-x^2} \cdot \arccos^{n-1}(x) \\[0.5em] &\qquad - (n-1) \cdot \int{\arccos^{n-2}(x)\ dx} \\[0.75em] \int{\arccos^n(x)\ dx} &\overset{(9)}{=} x \cdot \arccos^n(x) - n \cdot \sqrt{1-x^2} \cdot \arccos^{n-1}(x) \\[0.5em] &\qquad - n \cdot (n-1) \cdot \int{\arccos^{n-2}(x)\ dx} \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(7)
  • Subtraktion von $\frac{n-1}{n} \cdot \int{\arccos^n(x)\ dx}$ auf beiden Seiten der Gleichung
(8)
  • Ausklammern von $\int{\arccos^n(x)\ dx}$ auf der linken Seite mithilfe des Distributivgesetzes.
(9)
  • Multiplikation beider Seiten mit $n$

Die gesuchte Rekursionsformel für $n \gt 1$ lautet damit:

\begin{align*} \int{\arccos^n(x)\ dx} &= x \cdot \arccos^n(x) - n \cdot \sqrt{1-x^2} \cdot \arccos^{n-1}(x) \\[0.5em] &\qquad - n \cdot (n-1) \cdot \int{\arccos^{n-2}(x)\ dx} \end{align*}

Diese Formel führt das Integral $\int{\arccos^n(x)\ dx}$ auf das Integral $\int{\arccos^{n-2}(x)\ dx}$ zurück (für $n \gt 1$), dessen Exponent $n-2$ stets kleiner als der ursprüngliche Exponent $n$ ist. Durch wiederholtes Anwenden wird der Exponent schrittweise auf $0$ oder $1$ gebracht. Beide Fälle fungieren als Rekursionsanker bzw. Basisfall, da sie eine bekannte Stammfunktion besitzen – und erlauben somit ein vollständiges Auflösen des Integrals:

\begin{align*} \int{\arccos(x)\ dx} &= x \cdot \arccos(x) - \sqrt{1-x^2} + \mathcal{C} \\[0.75em] \int{\arccos^0(x)\ dx} &= \int{1\ dx} = x + \mathcal{C} \end{align*}

Herleitung der Integrationsregel von arccosn(x) für n ≤ -1

Für negative ganzzahlige Exponenten $n \leq -1$ können Potenzen der Arkuskosinus-Funktion nicht integriert werden. Es existiert weder eine explizite Integrationsregel noch eine Rekursionsformel. Partielle Integration führt stets zu Integralen, die nicht elementar integrierbar sind.

Die Nicht-Integrierbarkeit ist ein bekanntes Resultat der Differentialalgebra und kann beispielsweise mithilfe des Risch-Algorithmus formal bewiesen werden.