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Arkuskosinus (Ableitungsregel)

Die Ableitungsregel der Arkuskosinus-Funktion (abgekürzt: arccos oder acos) kann direkt aus der Definition der Arkuskosinus-Funktion als Umkehrfunktion der Kosinus-Funktion hergeleitet werden. Dieser Artikel bietet eine detaillierte Schritt für Schritt Herleitung der Ableitungsregel und demonstriert deren Anwendung an einigen Beispielen.

Grundlagen

Die Arkuskosinus-Funktion kann für alle reellen Zahlen $x \in \R$ mit $-1 \leq x \leq 1$ als Umkehrfunktion der Kosinus-Funktion formal wie folgt definiert werden (mit $y \in \R$ und $0 \leq y \leq \pi$):

\[ \arccos(x) = y \quad\Leftrightarrow\quad \cos(y) = x. \]

Ableitungsregel

Die Ableitung der Arkuskosinus-Funktion (abgekürzt: arccos oder acos) ist für alle reellen Zahlen $x \in \R$ mit $-1 \lt x \lt 1$ wie folgt definiert:

\begin{align*} {\Bigl[ \arccos(x) \Bigr]}' &= \frac{d}{dx} \Bigl[ \arccos(x) \Bigr] \\[0.75em] &= \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}} \end{align*}

Herleitung der Ableitungsregel

Die Herleitung der Ableitungsregel der Arkuskosinus-Funktion basiert auf der Tatsache, dass es sich bei der Arkuskosinus-Funktion um die Umkehrfunktion der Kosinus-Funktion handelt. Aus der Definition $\arccos(x)=y$ folgt unmittelbar die Aussage $x = \cos(y)$. Diese kann mittels impliziter Differentiation unter Zuhilfenahme der Ableitungsregel der Kosinus-Funktion und der Kettenregel direkt abgeleitet und umgestellt werden. Es gilt:

\begin{align*} x &= \cos(y) \\[1.5em] \Rightarrow\ \frac{d}{dx}\Bigl[ x \Bigr] &\overset{(1)}{=} \frac{d}{dx}\Bigl[ \cos(y) \Bigr] \\[0.75em] 1 &\overset{(2)}{=} -\sin(y) \cdot \frac{d}{dx}\Bigl[ y \Bigr] \\[1.5em] \Rightarrow\ \frac{d}{dx}\Bigl[ y \Bigr] &\overset{(3)}{=} \frac{-1}{\sin(y)} \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} \frac{-1}{\sqrt{1 - \cos^2(y)}} \\[0.75em] &\overset{(5)}{=} \frac{-1}{\sqrt{1 - x^2}} \\[1.5em] \Rightarrow\ \frac{d}{dx} \Bigl[ \arccos(x) \Bigr] &\overset{(6)}{=} \frac{-1}{\sqrt{1 - x^2}} \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
  • Implizite Differentiation
  • Ableiten der Gleichung nach der Variable $x$
(2)
(3)
  • Umstellen nach $\frac{d}{dx} \bigl[ y \bigr]$
(4)
  • Ersetzen von $\sin(y)$ durch $\sqrt{1 - \cos^2(y)}$.
  • Diese Gleichheit ergibt sich aus dem trigonometrischen Pythagoras:
    \begin{align*} \sin^2(y) + \cos^2(y) &= 1 \\[0.5em] \Rightarrow\ \sin^2(y) &= 1 - \cos^2(y) \\[0.5em] \Rightarrow\ \sin(y) &= \pm \sqrt{1 - \cos^2(y)} \end{align*}
    Aus der Definition der Arkuskosinus-Funktion und der Gleichheit $\arccos(x) = y$ folgt $0 \leq y \leq \pi$. Für diese Werte von $y$ ist die Sinus-Funktion stets nichtnegativ, sodass nur die positive Lösung der Wurzel infrage kommt:
    \[ \sin(y) = \sqrt{1 - \cos^2(y)} \]
(5)
  • Ersetzen von $\cos(y)$ durch $x$ gemäß der laut Definition geltenden Gleichheit $x = \cos(y)$
(6)
  • Ersetzen von $y$ durch $\arccos(x)$ gemäß der laut Definition geltenden Gleichheit $\arccos(x) = y$

Beispiele

Beispiel 1

Gegeben sei die folgende Funktion, deren Ableitung mithilfe der Ableitungsregel der Arkuskosinus-Funktion bestimmt werden soll:

\[ f(x) = \arccos(5x) \]

Für die Ableitung der Funktion $f(x)$ ergibt sich:

\begin{align*} f'(x) &= {\Bigl[ \arccos(5x) \Bigr]}' \\[0.75em] &= \frac{-1}{\sqrt{1 - {(5x)}^2}} \cdot {\Bigl[ 5x \Bigr]}' \\[0.75em] &= \frac{-1}{\sqrt{1 - 25x^2}} \cdot 5 \\[0.75em] &= \frac{-5}{\sqrt{1 - 25x^2}} \end{align*}

Beispiel 2

Gegeben sei die folgende Funktion, deren Ableitung mithilfe der Ableitungsregel der Arkuskosinus-Funktion bestimmt werden soll:

\[ g(x) = \arccos\left( x^3 \right) \]

Für die Ableitung der Funktion $g(x)$ ergibt sich:

\begin{align*} g'(x) &= {\Bigl[ \arccos\left( x^2 \right) \Bigr]}' \\[0.75em] &= \frac{-1}{\sqrt{1 - {\left(x^2\right)}^2}} \cdot {\Bigl[ x^2 \Bigr]}' \\[0.75em] &= \frac{-1}{\sqrt{1 - x^4}} \cdot 2x \\[0.75em] &= \frac{-2x}{\sqrt{1 - x^4}} \end{align*}