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Arkuskotangens (Funktion)

Die Arkuskotangens-Funktion (abgekürzt: arccot, acot; manchmal auch cot^-1) gehört zu den Arkusfunktionen und ist die Umkehrfunktion der Kotangens-Funktion. Sie ist eine elementare mathematische Funktion und wird beispielsweise in der Trigonometrie verwendet (z. B. bei der Bestimmung von Winkeln, falls der Kotangens des Winkels bekannt ist), aber auch in der Physik und in verschiedenen Ingenieurswissenschaften.

Definition

Bei der Arkuskotangens-Funktion (abgekürzt: arccot, acot; manchmal auch cot^-1) handelt es sich um die Umkehrfunktion der Kotangens-Funktion. Sie ordnet dem Kotangens eines Winkels wieder den ursprünglichen Winkel zu. (Hinweis: Da die Kotangens-Funktion periodisch und nicht bijektiv ist, wird sie auf das Intervall $\bigl( 0, \pi \bigr)$ eingeschränkt, damit sie umgekehrt werden kann.)

Die Arkuskotangens-Funktion kann wie folgt formal definiert werden (mit $x,\varphi \in \R$):

\arccot(x) = \varphi \quad\Leftrightarrow\quad \cot(\varphi) = x.

Hierbei gilt:

Die Arkuskotangens-Funktion ist für alle Werte $x \in \R$ definiert, da die Kotangens-Funktion alle Funktionswerte im Intervall $\bigl( -\infty,\infty \bigr)$ annimmt.
Bei $\arccot(x)$ handelt es sich um einen Winkel $\varphi \in \R$ im Intervall $\bigl( 0, \pi \bigr)$, aber nie um die Werte $0$ und $\pi$, da der Kotangens für $0$ und für $\pi$ nicht definiert ist.

Zusammengefasst: Die Arkuskotangens-Funktion $\arccot(x)$ gibt den Winkel $\varphi$ im Intervall $\bigl( 0, \pi \bigr)$ an, für den der Kotangens den Wert $x$ annimmt.

Funktionsgraph

Eigenschaften

Die Arkuskotangens-Funktion besitzt die folgenden Eigenschaften:

Definitionsbereich	$-\infty \lt x \lt \infty$
Wertebereich	$0 \lt \arccot(x) \lt \pi$
Periodizität	keine
Monotonie	streng monoton fallend
Krümmung	streng konkav für $x \leq 0$ streng konvex für $x \geq 0$
Symmetrien	punktsymmetrisch zum Punkt $\left( 0, \frac{\pi}{2} \right)$
Asymptoten	$\arccot(x) \rightarrow \pi$ für $x \rightarrow -\infty$ $\arccot(x) \rightarrow 0$ für $x \rightarrow \infty$
Nullstellen	keine
Sprungstellen	keine
Polstellen	keine
Extremstellen	keine
Wendepunkte	$x_0=0$

Ableitung

Hauptartikel: Arkuskotangens (Ableitungsregel)

Die Ableitung der Arkuskotangens-Funktion ist für alle reellen Zahlen $x \in \R$ wie folgt definiert:

\begin{align*} {\Bigl[ \arccot(x) \Bigr]}' &= \frac{d}{dx} \Bigl[ \arccot(x) \Bigr] \\[0.75em] &= \frac{-1}{1+x^2} \end{align*}

Stammfunktion

Hauptartikel: Arkuskotangens (Integrationsregel)

Die Stammfunktion der Arkuskotangens-Funktion lautet:

\int{\arccot(x)\ dx} = x \cdot \arccot(x) + \frac{1}{2} \cdot \ln\left( x^2+1 \right) + \mathcal{C}

Reihenentwicklung

Hauptartikel: Arkuskotangens (Reihenentwicklung)

Die Arkuskotangens-Funktion besitzt die folgende Reihenentwicklung:

\begin{align*} \arccot(x) &= \frac{\pi}{2} - \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{{(-1})^k}{2k+1} \cdot x^{2k+1}} \\[0.75em] &= \frac{\pi}{2} - x + \frac{1}{3} x^3 - \frac{1}{5} x^5 + \frac{1}{7} x^7 - \frac{1}{9} x^9 + \ldots \end{align*}

Identitäten

Mithilfe der folgenden Formeln kann die Arkuskotangens-Funktion durch die anderen Arkusfunktionen dargestellt werden:

\begin{align*} \arccot(x) &= \frac{\pi}{2} - \arcsin\left( \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \right) \\[0.75em] &= \arccos\left( \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \right) \\[0.75em] &= \frac{\pi}{2} - \arctan(x) \\[0.75em] &= \arcsec\left( \frac{\sqrt{1+x^2}}{x} \right) \\[0.75em] &= \frac{\pi}{2} - \arccsc\left( \frac{\sqrt{1+x^2}}{x} \right) \end{align*}