Arkuskotangens (Ableitungsregel)
Die Ableitungsregel der Arkuskotangens-Funktion (abgekürzt: arccot oder acot) kann direkt aus der Definition der Arkuskotangens-Funktion als Umkehrfunktion der Kotangens-Funktion hergeleitet werden. Dieser Artikel bietet eine detaillierte Schritt für Schritt Herleitung der Ableitungsregel und demonstriert deren Anwendung an einigen Beispielen.
Grundlagen
Die Arkuskotangens-Funktion kann für alle reellen Zahlen $x \in \R$ als Umkehrfunktion der Kotangens-Funktion formal wie folgt definiert werden (mit $y \in \R$ und $0 \lt y \lt \pi$):
Ableitungsregel
Die Ableitung der Arkuskotangens-Funktion (abgekürzt: arccot oder acot) ist für alle reellen Zahlen $x \in \R$ wie folgt definiert:
Herleitung der Ableitungsregel
Die Herleitung der Ableitungsregel der Arkuskotangens-Funktion basiert auf der Tatsache, dass es sich bei der Arkuskotangens-Funktion um die Umkehrfunktion der Kotangens-Funktion handelt. Aus der Definition $\arccot(x)=y$ folgt unmittelbar die Aussage $x = \cot(y)$. Diese kann mittels impliziter Differentiation unter Zuhilfenahme der Ableitungsregel der Kotangens-Funktion und der Kettenregel direkt abgeleitet und umgestellt werden. Es gilt:
Erklärungen zu den Schritten | |
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(1) |
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(5) |
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Beispiele
Beispiel 1
Gegeben sei die folgende Funktion, deren Ableitung mithilfe der Ableitungsregel der Arkuskotangens-Funktion bestimmt werden soll:
Für die Ableitung der Funktion $f(x)$ ergibt sich:
Beispiel 2
Gegeben sei die folgende Funktion, deren Ableitung mithilfe der Ableitungsregel der Arkuskotangens-Funktion bestimmt werden soll:
Für die Ableitung der Funktion $g(x)$ ergibt sich: