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Kotangens (Funktion)

Die Kotangens-Funktion (abgekürzt: cot) gehört zu den trigonometrischen Funktionen. Sie ist eine elementare mathematische Funktion und spielt unter anderem in verschiedenen Bereichen der Mathematik (z. B. in der Geometrie), in der Physik, in der Technik sowie in verschiedenen Ingenieurswissenschaften eine Rolle. Wie alle trigonometrischen Funktionen beschreibt die Kotangens-Funktion eine Beziehung zwischen den Winkeln eines rechtwinkligen Dreiecks und den Verhältnissen der Seitenlängen – genauer gesagt handelt es sich beim Kotangens eines Winkels um das Verhältnis von Ankathete zu Gegenkathete, was alternativ auch als der Quotient von Kosinus und Sinus dargestellt werden kann. Die zur Kotangens-Funktion zugehörige Umkehrfunktion ist die Arkuskotangens-Funktion.

Definition

Die Kotangens-Funktion (abgekürzt: cot) gehört zu den trigonometrischen Funktionen. In einem rechtwinkligen Dreieck beschreibt sie für einen gegebenen Winkel $\varphi \in \R$ das Verhältnis von Ankathete zu Gegenkathete.

\cot(\varphi) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Gegenkathete}}

Für reelle Zahlen $x \in \R$ kann die Kotangens-Funktion ebenfalls als Quotient von Kosinus und Sinus dargestellt werden.

\cot(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}

Die Kotangens-Funktion ist eine periodische Funktion und hat eine Periodenlänge von $\pi$. Sie ist an den Stellen $k\pi$ (mit $k \in \Z$) nicht definiert, da der Sinus dort den Wert null annimmt.

Funktionsgraph

Eigenschaften

Die Kotangens-Funktion besitzt die folgenden Eigenschaften:

Definitionsbereich	$-\infty \lt x \lt \infty$ $x \neq k\pi$ (mit $k \in \Z$)
Wertebereich	$-\infty \lt \cot(x) \lt \infty$
Periodizität	periodisch mit Periodenlänge $\pi$
Monotonie	streng monoton fallend in allen Intervallen
Krümmung	streng konvex für $k\pi \lt x \leq k\pi + \frac{\pi}{2}$ (mit $k \in \Z$) streng konkav für $k\pi + \frac{\pi}{2} \leq x \lt k\pi + \pi$ (mit $k \in \Z$)
Symmetrien	punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung ungerade Funktion
Asymptoten	senkrechte Asymptoten bei den Polstellen
Nullstellen	$x = k\pi + \frac{\pi}{2}$ (mit $k \in \Z$)
Sprungstellen	keine
Polstellen	$x = k\pi$ (mit $k \in \Z$)
Extremstellen	keine
Wendepunkte	$x = k\pi + \frac{\pi}{2}$ (mit $k \in \Z$)

Ableitung

Hauptartikel: Kotangens (Ableitungsregel)

Die Ableitung der Kotangens-Funktion ist für alle reellen Zahlen $x \in \R$ mit $x \neq k\pi$ (für $k \in \Z$) wie folgt definiert:

\begin{align*} {\Bigl[ \cot(x) \Bigr]}' &= \frac{d}{dx} \Bigl[ \cot(x) \Bigr] \\[0.75em] &= \frac{-1}{\sin^2(x)} \\[0.75em] &= -\csc^2(x) \\[0.75em] &= -1 - \cot^2(x) \end{align*}

Stammfunktion

Hauptartikel: Kotangens (Integrationsregel)

Die Stammfunktion der Kotangens-Funktion lautet:

\int{\cot(x)\ dx} = \ln\bigl|\sin(x)\bigr| + \mathcal{C}

Weitere Stammfunktionen:

\begin{align*} \int{\cot^n(x)\ dx} &= -\frac{1}{n-1} \cdot \cot^{n-1}(x) - \int{\cot^{n-2}(x)\ dx} + \mathcal{C} \\[1.5em] \int{\cot^{-1}(x)\ dx} &= \int{\frac{1}{\cot(x)}\ dx} \\[0.75em] &= -\ln\bigl|\cos(x)\bigr| + \mathcal{C} \\[1.5em] \int{\cot^{-n}(x)\ dx} &= \int{\frac{1}{\cot^n(x)}\ dx} \\[0.75em] &= -\frac{1}{(n-1)} \cdot \cot^{-n+1}(x) - \int{\cot^{-n+2}(x)\ dx} + \mathcal{C} \end{align*}

Reihenentwicklung

Hauptartikel: Kotangens (Reihenentwicklung)

Die Kotangens-Funktion besitzt die folgende Reihenentwicklung:

\begin{align*} \cot(x) &= \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{{(-1)}^k \cdot 2^{2k} \cdot B_{2k}}{(2k)!} \cdot x^{2k-1}} \\[0.75em] &= \frac{1}{x} - \frac{1}{3} x - \frac{1}{45} x^3 - \frac{2}{945} x^5 - \frac{1}{4725} x^7 - \ldots \end{align*}

Identitäten

Mithilfe der folgenden Formeln kann die Kotangens-Funktion durch die anderen trigonometrischen Funktionen dargestellt werden:

\begin{align*} \cot(x) &= \pm \frac{\sqrt{1 - \sin^2(x)}}{\bigl| \sin(x) \bigr|} \\[0.75em] &= \pm \frac{\bigl| \cos(x) \bigr|}{\sqrt{1 - \cos^2(x)}} \\[0.75em] &= \frac{1}{\tan(x)} \\[0.75em] &= \pm \frac{1}{\sqrt{\sec^2(x) - 1}} \\[0.75em] &= \pm \sqrt{\csc^2(x) - 1} \end{align*}

An den Stellen, an denen $\pm$ verwendet wird, gilt (mit $k \in \Z$):

für $k\pi \lt x \leq k\pi + \frac{\pi}{2}$ muss als Vorzeichen $+$ verwendet werden;
für $k\pi + \frac{\pi}{2} \leq x \lt k\pi + \pi$ muss als Vorzeichen $-$ verwendet werden.