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Kotangens

Kotangens (abgekürzt: $\cot$) gehört zu den trigonometrischen Funktionen.

Inhalt

Definition

Die Funktion lässt sich durch die folgende Formel ausdrücken:

\cot(x) := \frac{\cos(x)}{\sin(x)}

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Graph der Kotangensfunktion $\cot(x)$

Definitionsbereich	$\R \setminus \Bigl\{ k \cdot \pi \mid k \in \Z \Bigr\}$
Wertebereich	$\R$
Periodizität	Periodisch mit Periodenlänge $\pi$ $\cot(x + \pi) = \cot(x)$
Monotonie	streng monoton fallend in allen Intervallen
Krümmung	streng konvex für $x \in \Bigl( k \cdot \pi,\ k \cdot \pi + \frac{\pi}{2} \Bigr]$ streng konkav für $x \in \Bigl[ k \cdot \pi + \frac{\pi}{2},\ (k+1) \cdot \pi \Bigr)$
Symmetrien	Punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung ungerade Funktion
Asymptoten	Senkrechte Asymptoten bei den Polstellen
Nullstellen	$x = k \cdot \pi + \frac{\pi}{2}$ (mit $k \in \Z$)
Sprungstellen	keine
Polstellen	$x = k \cdot \pi$ (mit $k \in \Z$)
Extrema	keine
Wendepunkte	$x = k \cdot \pi + \frac{\pi}{2}$ (mit $k \in \Z$)

Die Ableitung von Kotangens lautet:

\Bigl[ \cot(x) \Bigr]' = \frac{d}{dx} \cot(x) = -1 - \tan^2(x) = \frac{-1}{\sin^2(x)} = -\csc^2(x)

Die Stammfunktion von Kotangens lautet:

\int{\cot(x)\ dx} = \ln\bigl|\sin(x)\bigr| {\color{lightgray}{} + \mathcal{C}}

Weitere Stammfunktionen:

\begin{align*} \int{\cot^n(x)\ dx} &= -\frac{1}{n-1} \cdot \cot^{n-1}(x) - \int{\cot^{n-2}(x)\ dx} {\color{lightgray}{} + \mathcal{C}} \\[0.75em] \int{\frac{1}{\cot(x)}\ dx} = \int{\cot^{-1}(x)\ dx} &= -\ln\bigl|\cos(x)\bigr| {\color{lightgray}{} + \mathcal{C}} \\[0.75em] \int{\frac{1}{\cot^n(x)}\ dx} = \int{\cot^{-n}(x)\ dx} &= -\frac{1}{(n-1) \cdot \cot^{n-1}(x)} - \int{\frac{1}{\cot^{n-2}(x)}\ dx} {\color{lightgray}{} + \mathcal{C}} \end{align*}

Die Reihenentwicklung von Kotangens ist

\begin{align*} \cot(x) &= \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{{(-1)}^k \cdot 2^{2k} \cdot B_{2k}}{(2k)!} \cdot x^{2k-1}} \\[0.75em] &= \frac{1}{x} - \frac{1}{3} x - \frac{1}{45} x^3 - \frac{2}{945} x^5 - \frac{1}{4725} x^7 - \ldots \end{align*}